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1、12/16/2022 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 12/16/2022一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C
2、.022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.)(tyy)(tzz M机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022例例1.将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数,txcost
3、ysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022例例2.求空间曲线:)(tx)(ty)(tz)(t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:,)(,)(,)(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程.12/16/2022例如例如,直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转
4、曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 ,得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz)0(200说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如),(tsxx),(tsyy),(tszz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投
5、影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022zyxC1o例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为002222zyyx1)1()1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022zxyo1C又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222
6、yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(如,圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）12/16/2022P324 题1 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022(3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022P324
7、题2(1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022yz2x3思考思考:by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP324 题2(2)19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022P325 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/2022P324 3，4，5，6,8作业作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束 12/16/202222yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束
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