高数上第一章122数列极限的性质

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1、性性质质 1 1（唯唯一一性性）若若 nx收收敛敛，则则其其极极限限唯唯一一。证证明明：用用反反证证法法。假假设设axnn lim，bxnn lim，（ba），取取02 ab，NN1，1Nn 时时，恒恒有有 axn，NN2，2Nn 时时，恒恒有有 bxn，令令,max21NNN，则则当当Nn 时时上上面面两两个个不不等等式式同同时时成成立立，abaxxbaxxbabnnnn 2，矛矛盾盾。收收敛敛数数列列的的极极限限是是唯唯一一的的。1.2.2 1.2.2 数列极限的性质数列极限的性质证证明明：设设axnn lim，则则对对1，NN，Nn 时时，恒恒有有1 axn，性性质质 2 2（有有界界性

2、性）若若 nx收收敛敛，则则 nx必必有有界界，即即 0 M，MxNnn 有有 ,。从从而而aaaxaaxxNnnnn 1,有有，令令 1 ,max21axxxMN ，则则 ,MxNnn 有有。注注：性质：性质 2 2 的等价命题是的等价命题是:若若 nx无界，则无界，则 nx发散。发散。收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。例如例如)1(n 有界，但不收敛。有界，但不收敛。性质性质 3 3（保序性）（保序性）axnn lim若若，bynn lim，ba 且且，NN则则，nnyxNn 。证明证明：取取2ab 。axnn lim，bynn lim，NN1，1

3、Nn axn2baxn ，NN2，2Nn bynnyba 2，令令,max21NNN，则则当当Nn 时时，有有nnybax 2。注注：在在推推论论 1 1 中中nnyx ，可可能能有有ba。例例如如：两两个个收收敛敛数数列列1n 与与1n，对对 Nn，总总有有nn11 ，但但01lim)1(lim nnnn。推推论论 1 1 axnn lim若若，bynn lim，nnyx 且且，ba 则则。推推论论 2 2 axnn lim若若，)(baba 或或且且，NN 则则，)(bxbxNnnn 或或。特特别别地地，时时当当 0 b，)(0)(0 NnxNnxnn 或或有有，这这一一性性质质常常称称为

4、为极极限限的的保保号号性性。性性质质 3 3 及及其其两两个个推推论论的的条条件件与与结结论论可可整整理理成成下下表表 特点特点定理定理极限的特点极限的特点 项项 的特点的特点 )(Nn性质性质 3 3 推论推论 1 1 推论推论 2 2)(的的极极限限nxba)(的的极极限限nynnyx)(的的极极限限nxba)(的的极极限限nynnyx)(的的极极限限nxba)(或或bxn ba)(或或bxn 1 1.2 2.3 3 数数列列极极限限的的运运算算法法则则 定定理理 1 1 axnn lim设设，bynn lim，则则 （1 1）bayxyxnnnnnnn limlim)(lim；（2 2）

5、bayxyxnnnnnnn limlim)(lim；（4 4）)(limlimlim0 bbayxyxnnnnnnn。（3 3）)(limlim为常数为常数ccaxccxnnnn ；一般地，当一般地，当 Nmk,，时有时有且且 mk .0,lim1111mkm kbabnbnbananammmkkkn 例例 2 2求求下下列列极极限限：（1 1）322221limnnn ；解解：322221limnnn .31)12)(1(61lim3 nnnnn（2 2）)1(21 21 lim nnn 解：解：)1(2121lim nnn 2)1(2)1(lim nnnnn21lim22nnnnn nnn

6、nnn 222lim21nnn11112lim21 .21 例例 3 3求求)1(1431321211lim nnn。解解：111)1(1 nnnn，)1(1431321211 nn)111()4131()3121()211(nn,111 n1)111(lim)1(1431321211lim nnnnn。4若若数数列列nx与与ny发发散散，问问数数列列nnyx ，nnyx ，nnyx是是否否一一定定发发散散？答答：不不一一定定发发散散。例例如如：n)1(和和 1)1(n都都发发散散，但但 0)1()1(1 nn，1)1()1(1 nn 和和 1)1()1(1 nn收收敛敛。证明证明：azxnn

7、nn limlim，0 ，NNN21,，当当1Nn 时，有时，有 axn，从而，从而nxa ，当当2Nn 时时，有有 azn，从从而而 azn，取取),max(21NNN，则则当当Nn 时时，有有 azyxannn ayn，故故aynn lim。定定理理 1 1（夹夹逼逼定定理理）,nnnzyx 设设有有三三个个数数列列)(Nnzyxnnn 若若，azxnnnn limlim且且，aynn lim则则。夹夹逼逼定定理理在在肯肯定定收收敛敛ny的的同同时时也也给给出出了了其其极极 限限值值，在在实实际际应应用用时时，若若nny lim不不易易求求得得，则则将将 适适当当 ny缩缩小小、放放大大，

8、得得两两个个具具有有相相同同极极限限的的辅辅助助 nx 数数列列，nz，即即可可求求出出nny lim。aan lim，akann lim，例例 5 5（1 1）kaaa,21为为 k 个个给给定定的的正正数数，求求nnknnnaaa 21lim。解解：设设,max21kaaaa，则则 nnnnnknnn nkakaaaaaa 21，aaaannknnn 21lim。1lim nnk（2 2）求求nnn212654321lim .解解：令令nnx212)(654321 ，122)(765432 nny，则则有有yx 0，xyx 20，即即12102 nx，从从而而1210 nx。00lim n

9、，0121lim nn，0lim xn，即即0212654321lim nnn。例例 6 6证证明明：1lim nnn。222)1(1!2)1(1)1(nnnnnnnxnnxxnnnxxn ，即即)1(211 nnnn，但但1)21(lim nn，故故由由夹夹逼逼定定理理得得1lim nnn。可直接引用可直接引用！证证明明：当当1 n时时，1 nn，故故可可设设1 nnnx，则则0 nx，nnxn)1(，nxn20 ，nxn2111 ，1.2.4 1.2.4 单调有界原理单调有界原理 设设 nx为为一一数数列列，若若 Nn，都都有有1 nnxx（或或1 nnxx），则则称称 nx单单调调增增加

10、加（或或单单调调减减少少）；单单调调增增加加（严严格格单单调调增增加加）和和单单调调减减少少（严严格格单单 调调减减少少）的的数数列列统统称称为为单单调调数数列列。若若 Nn，都都有有1 nnxx（或或1 nnxx），则则称称 nx严严格格单单调调增增加加（或或严严格格单单调调减减少少）。Mx1x2x3xnx1 nxa定定理理的的几几何何解解释释：若若数数列列nx单单调调增增加加且且有有上上界界，即即 1 nnxx且且Mxn),2 ,1(n，则则在在数数轴轴上上nx点点随随着着 的的增增大大 n不不断断向向右右方方移移动动，因因为为有有上上界界，所所以以这这些些点点必必 无无限限地地趋趋向向于

11、于某某一一定定a 点点，即即nx收收敛敛于于a数数。定理定理3 3（单调有界原理单调有界原理）：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。证证明明数数列列 )11(nnnx的的极极限限存存在在。类类 似似 可可 计计 算算（1 1）先先证证 nx是是单单调调增增加加数数列列。2)1(!2)1(11)11(nnnnnnxnn nnnnnnnnnnn)1(!)1()1()1(!3)2)(1(3 )11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnn )121)(111(!31)111(!2111)111(11 nnnn

12、xnn)11()121)(111()!1(1 nnnnn（2 2）证证明明数数列列 nx有有上上界界。)11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111nnnnnnnnxn nnn )1(13212112!1!31!2111313)111()3121()211(2 nnn故故 nx是是单单调调增增加加且且有有上上界界的的数数列列，必必定定有有极极限限。比较比较1 nnxx 与与的展开式可知，的展开式可知，1 nnxx，故故 nx是单调增加数列。是单调增加数列。可可以以证证明明)590457182818284.2(eennn )11(lim 由由递递推推公公式式得得数数列列的的

13、前前几几项项：,3455 ,1321 ,58 ,23,1 猜猜想想此此数数列列单单调调增增加加且且有有上上界界。例例 7 7设设,11 ,11121xxxx ),3 ,2(1111 nxxxnnn，求，求nnx lim。解解：先先证证 nx单单调调增增加加。假假 设设1 kkxx成成 立立，0211111111112 xxxxxx，11 x，且且),3 ,2(1111 nxxxnnn，),3 ,2 ,1(0 nxn。12xx 。)11()11(111 kkkkkkxxxxxx则有则有2111111 nnnxxx，由由数数学学归归纳纳法法知知，),2 ,1(1 nxxnn，故故 nx 单单调调增

14、增加加。再证再证 nx有上界。有上界。nx有有上上界界。1111 kkkkxxxx,0)1)(1(11 kkkkxxxx 由由单单调调有有界界原原理理知知，nx必必有有极极限限，设设Axnn lim。由由已已知知111112111 nnnnnxxxxx，得得11lim1lim21lim nnnnnnxxx，即即AAA 121，012 AA，251lim nnx。解解得得251 A，0 nx，0 A，例例 7 7若若0 nx，且，且1lim1 rxxnnn，则，则0lim nnx。证证明明：1lim1 rxxnnn，由由极极限限的的保保序序性性知知，NN，Nn 时时，11 nnxx，当当Nn 时时，nx单单调调减减少少。又又0 nx，nx有有下下界界。故故由由单单调调有有界界原原理理知知，nx必必收收敛敛，设设Axnn lim。)(limlim11nnnnnnxxxx ，ArA ，0)1(Ar，1 r，0)1(r，故故0 A，即即0lim nnx。