《线性代数》学习指南

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1、学习指南线性代数是理工科及经济管理各学科专业的一门重要数学基础课程。 它的课程目标是通过各个教学环节，充分利用数学软件工具，运用各种教学手段 和方法，系统地向学生阐述矩阵、向量、线性方程组的基本理论与基本方法，使 学生掌握线性代数的基本概念、基本原理与基本计算方法，理解具体与抽象、特 殊与一般、有限与无限等辨证关系，培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力、分 析问题与解决问题的能力、运用计算机解决与线性代数相关的实际问题的能力， 为学习后继课程的学习，从事工程技术、经济管理工作，科学研究以及开拓新技 术领域打下坚实的基础 。第一章 矩阵矩阵是研究线性方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主

2、要研 究对象之一。矩阵作为一种抽象数学结构的具体表现，其理论与方法在自然科学、 工程技术、经济管理、社会领域都具有广泛的应用。本章从实际问题出发，引出 矩阵的概念，讨论矩阵的运算及其性质，逆矩阵及其求法，矩阵的分块，矩阵的 初等变换与初等矩阵的概念与性质。重点是矩阵的运算，特别是矩阵的乘法运算， 逆矩阵及其性质，初等变换、初等矩阵的概念与性质，用初等变换化矩阵为阶梯 形与最简形，用初等变换和定义法求逆矩阵的方法。1. 矩阵是初学线性代数认识的第一个概念。矩阵不仅是线性代数主要讨论 的对象之一，而且是非常重要的数学工具,它的理论和方法贯穿于本课程始终。 本章的重点之一是矩阵的各种运算，其中又以矩

3、阵的乘法最为重要，它也是难点 之一。两个矩阵的乘积是有条件的，不是任何两个矩阵都能相乘的。 AB 有意义， 必须是A的列数等于B的行数，而积矩阵AB的行数等于A的行数，列数等于B 的列数。积矩阵AB的第i行第j列元素等于左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j 列对应元素乘积之和。读者务必掌握矩阵乘法的实质。矩阵的乘法与数的乘法不同。尤其要注意以下三点：(1) 矩阵乘法不满足交换律。当乘积 AB 有意义时， BA 不一定有意义，即 使BA有意义，也不一定有AB = BA。因此矩阵乘法有左乘和右乘之分，相乘矩 阵的顺序不可随便颠倒。如果有AB = BA，则称A与B乘法可交换。(2) 两个非零矩阵的乘积可

4、能是零矩阵。也就是:若AB = 0时，不能推出A = 0、 (1 1( 1 “或B = 0。例如：A =， B =， A,B均不是零矩阵，但AB是零矩U 1丿IT 1丿阵。(3) 矩阵乘法不满足消去律。也就是：若AB = AC且A丰0，但不能推出B=C。1 1、1 2、勺2、F 6、， B =， C =， AB =J 4 0 ；(2) 特征值法：A正定 A的特征值全大于0 ；(3) 顺序主子法：A正定 A的所有顺序主子式全大于0；(4) 正惯性指数法： A正定 A的正惯性指数等于其阶数；(5) 合同变换不改变矩阵的正定性3. 利用实对称矩阵的相似标准形，可将实对称矩阵A分解为A =九 ex e

5、x t + 九 ex ex t + L + 九 ex ex t1 1 1 2 2 2 n n n其中九,九,L ,九为矩阵A的特征值，x ,L ,x为对应于特征值九,九,L ,九的单1 2 n 1 2 n 1 2 n 位特征向量，且x ,x ,L ,a两两正交。1 2 n第七章 线性空间与线性变换线性空间是由n元数组向量构成的空间的推广，线性变换是线性空间之间保 持线性关系不变的映射，他们是线性代数的两个重要的基本概念和研究对象。它 们也是研究现实世界中各种线性问题的数学模型，它们的理论和方法，已经渗透 到自然科学、工程技术的各个领域，已成为线性代数的核心。本章简要介绍线性空间及其维数，基，坐

6、标，基变换与坐标变换，线性变换 的矩阵表示，线性变换的特征值与特征向量等。在学习中，要联系第四章关于n元数组向量有关概念、性质和结论。要注重线性变换与矩阵的联系。线性空间上的线性变换，在取定的一组后， 唯一地对应着一个方阵，即线性变换与矩阵是一一对应的，而且保持相同的运算。 线性变换的特征值与特征向量和与之对应的矩阵的特征值与特征向量之间的关 系一定要弄清楚，并注意区分它们的异同。注 此章是教改班的学习内容此外： 由刘三阳，马建荣，张鹏鸽编写的辅导教材线性代数辅导是我们根据教 学实践中积累的宝贵经验，针对学生在学习中存在的一些常见问题而编写的。此 教材共七章，每章五个模块，具体为：要点提示、疑难解析、范例精解、习题选 解、自测例题及答案，可以说是学习线性代数的一个比较系统与完整的辅导教材， 对于学好线性代数会具有很大的帮助。