《诱导公式》专题复习与训练

《《诱导公式》专题复习与训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《诱导公式》专题复习与训练（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、5.3诱导公式专题复习与训练（第1课时）学习目标核心素养1. 了解公式二、公式三和公式四的推导 方法.2能够准确记忆公式二、公式三和公 式四.（重点、易混点）3掌握公式二、公式三和公式四，并 能灵活应用.（难点）1借助公式进行运算，培养数学运算素 养.2通过公式的变形进行化简和证明， 提升逻辑推理素养.【新课导入】1. 公式二(1) 角n + a与角a的终边关于原点对称如图 所示.(2) 公式:sin(n + a)= sin_a,cos(n + a) =_cos_ a ,t an(n + a ) =t an_ a .2. 公式三(1) 角一a与角a的终边关于x轴对称如图所示.(2) 公式：si

2、n ( a ) = sin_ a , cos ( a ) =cos_ a ,tan ( a ) =_tan_ a .3公式四角n a与角a的终边关于y轴对称.如图所示.(2)公式:sin(n a ) =sin_ a , cos(n a ) =cos _ a , tan(n a ) =_tan_ a .思考：（1）诱导公式中角a只能是锐角吗?（2）诱导公式一四改变函数的名称吗？提示：（1）诱导公式中角a可以是任意角，要注意正切函数中要求aknnI- ， kZ.（2）诱导公式一四都不改变函数名称1.如果a, B满足a + B = n，那么下列式子中正确的个数是（）sin a=sin B； sin

3、a= sin B； cos a=cos B； cos a= cos B ；tan a=tan B .A1B2C3D4C 因为 a + B = n，所以 sin a =sin(n B ) =sin B，故正确，错误;cos a =cos(n B )=cos B，故正确，错误;tan a =tan(n B )= tan B，正确.故选 C.2(4n tan等于（AC-肩(4n tan= tan 2皿 +2n丁)2n= tan 3= tan nni=tan 3 3342n求值：（Dsing(2)cos7n)育)已知 tan a =3，贝tan(n + a) = tan(n + a) =tan a=3

4、.3、32 n( n罟-罟(l)sin 丁二sinn-创sin(7 n 7 nk 6 Jcos门-cos62 n(2)coscosn2【合作探究】给角求值问题陛型1/【例1】求下列各三角函数值：(31n(1)sin 1 320； (2)cos -厂；(3)tan( 945).k 6丿解(1)法一：sin 1 320=sin(3X360+240)=sin 240 =sin(18060=sin 602法二：sin 1 320=sin(4X360120)=sin(120)sin(18060)=sin 60(2)法一：cos31 n31 n= cos6= cos 4 n7n= cos n +nn= c

5、os =6法二：cos31 nJ=cos-6n+6丿= cos nny3= cos =62(3)tan(945)=tan 945=tan(225+ 2X360)=tan 225=tan(180+45)=tan45=1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤“负化正”一一用公式一或三来转化;(2) “大化小”用公式一将角化为0到360间的角;(3) “小化锐”一一用公式二或四将大于90。的角转化为锐角;(4) “锐求值”得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练n2n3n4n1. 计算：(l)cos - cos +cos +cos -;55 5 5(2)tan 10tan 170sin 1 866sin(

6、606).解原式二n4ncos - cos、55丿(2n3n+ cos - cosk 55丿n cosv52n、5 )2n-卜cos n |+ cos - cos n5丿nncoscos=55丿=0.(2n2n+ coscosk 55 丿(2)原式= tan 10+ tan(18010)+sin(5X360+66) sin( 2)X360+114=tan 10tan 10+sin 66sin(18066)=sin 66sin 66=0.给值(式)求值问题类熨2【例 2】(1)已知 sin(a360)cos(180a)=m,则 sin(180 +a) cos(180a)等于()m21A. 2m2

7、+1B. 21m2C. 2m2+1D.2已知 cos(a 75)=3，且a为第四象限角，求sin(105+ a )的值.思路点拨(1)化简已知和所求三角函数式f根据sin a cos a , sin a cos a的关系求值(105+a) (a 75 )=180(2)cos(a_75 )=_3, a为第四象限角求sin( a 75 ) f 用sin(180+a )= sin a 求值 (1)A sin(a360)cos(180a)=sin a+cos a=m, sin(180+a)cos(180a)=sin acos a(sin a +cos a )21 m21= 2 = 2 .解Vcos(a

8、 75)=30，且a为第四象限角, sin(a75)=*1 cos2( a75 )3sin(105+a)=sin180+(a75)=sin(a75母題探究1. 例2(2)条件不变，求cos(255a)的值.解cos(255a)=cos180(a75)= cos(a75)=.2.将例 2(2)的条件“cos(a75)=3” 改为 “tan(a 75)= 5”，其他条件不变，结果又如何？解因为tan(a75)=5acC.bcaD.cab7na=t an6n=tan =6b = cos 6n二cos*，.33n. n寸2c= 一 sin-4-= sin=2，.bac.3. 设 f(x)=asin(n

9、x+a)+bcos(nx+B)+7, a, B 均为实数，若 f(2 018)=8,则 f(2 019)的值为.6 因为 f(2 018)=asin(2 018n + a)+bcos(2 018n + B)+7 = asin a +bcosB+7，所以 asin a +bcos B +7 = 8,所以 asin a+bcos B=1,又 f(2 019)=asin(2 019n + a)+bcos(2 019 n+B)+7=-asin a - bcos B +7 = -1 + 7 = 6.所以 f(2 019)=6.sin nx(xVO),则f +诩的值为I 6丿 16丿2(fI11)石)si

10、nlln、丁)sin 2n4 已知 f(X)f(x_1)_1(x0), sinr石,62(11、fEf(ii、(5、1 丿 Tf6j1f(56、1 2丿(1、f6j2sin6丿 2 sin2 2 2 2 252,所以f(11、(11、22.5. 在AABC 中，若 sin(2nA) ：2sin(nB)，寸3cos A ；2cos(n B)，求 ABC的三个内角.解由条件得 sin A；2sin B, ：3cos A=.J2cos B,又 Ae(0,n 、3n),A丁或|n.当 A-|n时，cos B- VO,(nBw ,2A, B均为钝角，不合题意，舍去.nA亍cosnB石,Cn.nn综上所述

11、，A丁，B6,Cj第2课时学习目标核心素养1. 了解公式五和公式六的推导方法.2. 能够准确记忆公式五和公式六.(重 点、易混点)3. 灵活运用诱导公式进行三角函数式 的化简、求值和证明.(难点)1借助诱导公式求值，培养数学运算素 养.2.通过诱导公式进行化简和证明，提 示逻辑推理素养.【新课导入】1.公式五角a与角a的终边关于直线y=x对称，如图所示.(2)公式:12sina =cos_ a , 丿cosa =sin_ a . 丿2.公式六n(n(1) 公式五与公式六中角的联系+ a = n_=2- a(2)公式:12sina =cos_ a , 丿cosa =_sin_ a . 丿思考：如

12、何由公式四及公式五推导公式六?提示:12sin)(a =sin n丿Ia丿丿= sina =cos a. 丿cos12= cos ncos丿丿a =_sin 丿1.下列与sin0的值相等的是（）(nA.sin(n+0)B.sinV 20丿(n(nC.cos0D.cosV -0V2丿V2丿二初试身手二Csin(n+&)= sin 。； sincos= sin ； cos(n 一-+ 012+丿= sin & .2. 已知 sin 1955=m,则 cos( 705) =m cos( 705，)=cos 705/=cos(901955/) = sin 1955=m.3. 计算：sin211+sin

13、279=.1 因为 ll+79=90,所以 sin 79=cos 11所以原式= sin211+cos211=l.4.化简 sinpn+aV 2 丿 cos a(3n(nsin 2+ a =sin n+可+ aV 2丿V2= sinV2a =cos丿a.【合作探究】利用诱导公式化简求值类熨1【例 1】（1）已知 cos 31=m,则 sin 239tan 149 的值是（）1m2 A.mC.1m2mD.；1m2(n已知sin3(n 则cos+aJ的值为思路点拨(1)239=180+59149=1803159+31=90选择公式化简求值(n、c+(n、I cnLA. 13丿1 0.(6 1丿2(

14、2)2选择公式化简求值(1)B(l)sin 239tan 149=sin(180+59 )tan(180 31)= sin 59( t an 31)= sin(9031) (一tan 31)= cos 31(一tan 31)=sin 31=； 1 cos231= p 1m2.(2)cosa =cos 丿母题探究的值.I的值.I解因为a是第二象限角,所以一a是第二象限角,又sinIa丿a丿a丿a丿a丿所以sina是第二象限角,2.将例1(2)增加条件“ a是第二象限角”，求sin= COS= sin= sin解cosn 、-a1np，所以了n 、+ a 6+丿(7n(7n所以cos(n 、一 a

15、13丿(n(n 、 + a13+丿= sin n +n1.将例1(2)的条件中的“壬一a ”改为n“壬 + a”，求 cos1 2.(nna13丿= sinW(5n(nn-a= cos-aI 6丿123丿(5n162 解决化简求值问题的策略：(1) 首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差 异及联系.(2) 可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知 式转化.nnnn提醒：常见的互余关系有：-3- a与y+ a ,4+ a与孑一a等；n2nn3n常见的互补关系有：+ 0与丁一 0,4+0与乙一0等.利用诱导公式证明恒等式例 2】 (1)求证：sin 0

16、 +cossin 0 cos 02sin 03n、丁丿n 0 + + 2丿1 2sin2(n+ 0)cos1cos(6n+0 )sin( 2n0 )tan(2n0 )(2)求证：=tan 0 .+ 0丿(3ncossin(3n3卜02sin证明(1)右边二竺0、丿1 2sin2 02sin n +0丿sin 0112sin202sinsin 01 2cos 0 sin 0 1_(sin 0 +cos 0 )2cos2 0 +sin2 0 2sin2 0sin2 0 cos2 0sin 0cos 0二sin 0cos 0二左边所以原等式成立(nA(nA0 A)sin0 A)丿左边=cos 0 s

17、in( &)tan( 0)coscos 0sin 0tan 0二一sin 0cos 0一tan & 二右边所以原等式成立三角恒等式的证明的策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归，总之，应遵循化繁为简的原则.(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，1”的代换法.cos(5n1.求证：厂sin xA5n、亍J= 1.t an(6nx)证明cos 2n4sin x2n |tan(x)cos sin x(n A上n、2)sin x= =一1cos xtan xtan x=右边，所以原等式成立.诱导公式的综合应用类熨3探究问题1. 公式一四和公式五六的

18、主要区别是什么？提示：公式 四中函数名称不变，公式五六中函数名称改变.2如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？提示：“奇变偶不变、符号看象限”【例3】 已知sin a是方程5x2 7x6 = 0的根，a是第三象限角，求sin acos(3(n(n一 asin ca12丿12丿costan2(n a)的值.思路点拨解方程并根据sin a的取值范围确定sin a的值由同角三角函数关 系式求cos a , tan a用诱导公式化简求值解方程5x2 7x 6 0的两根为x 3 x 2,因为 1WsinaW1,521所以 sin3a 5，又a是第三象限角，所以4sin a3cos a ta

19、n a -5cos a4,(3sin a所以3 )-n cos - n a2丿I2 tan2 (n a)(n(nacos可-a12丿(2丿sinacosacos12sin12丿sintan2a_cos a (sin a) sin acos atan2a=tan2 a =摊律:方储诱导公式综合应用要“三看”看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘 一个式子变形.跟蹄训练(n(5n一 acosc一 a1 2丿I 2丿2已知 sin60 nn面且訂*，求sin a与 cos a

20、的值解 sin=coscos5n )a丿= cos 2n +=sinsin acos60a =,169即 2sin120 - a s a=丽又 sin2 a +cos2 a =1,+得（sinacosa )2 =289169,一得（sincosnsin acos a0,即sina+cos0,sincosa0,sina+cos_17 a=13,sin acos a善（+）三2得. 12sin a =13（一）三2得cos5a =匚课堂dQ1. 公式五反映了终边关于直线y=x对称的角的正、余弦函数值之间的关系, n其中角空一a的正弦(余弦)函数值，等于角a的余弦(正弦)函数值.n(n 、2. 由于

21、另+a = n=aJ,因此由公式四及公式五可以得到公式六.3. 利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化.在求任意角的 过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为02n的范围内的角，再将这 个范围内的角转化为锐角.也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角 的三角函数值表)”.【课堂达标练习】1.思考辨析(1)公式五和公式六中的角a 一定是锐角.(在 ABC中,.A+B C , sin =cos2(3)sin(n 、+ a12+丿= sin(n、b(a)J= cos(a)=cos a .()提示(1)错误.公式五和公式六中的角a可以是任意角.(2)正确.因为A+B C nA+BC2

22、一 2=2，由公式五可知sincos(3) 正确.答案(1)XV (3)V2.若sin9 0,贝V 9 是( 丿A.第一象限角B.第二象限角C.第三角限角D.第四象限角由于 sin= cos0，所以角9的终边落在第二象限，故选B.3已知込山5，且a为第四象限角那么込謬因为cos亠5，且为第四象限角,所以 sin a=、fl cos2a =2“J65，所以 cos一sin a5sin4.化简：(n(n-acos c-a1 2丿I 2丿sin(2n a )cosn 、a12丿cos( n + a )sin( n a )sin a解原式ros 叫-号 a) sin(a)sin a cos a= si

23、n a ( sin a)=2sin a第 2 课时 专题训练合格基础练、选择题1.若 sin(3n + a)=2,贝则 cos(7n等于（1B-21A，212,A sin(3n + a)= sin acos= coso,所以5+a是第35,四象限角，所以 sin(5+a )=”.Jl cos2(5+a )=所以 cos(a85)=cos(5+a90)3= sin(5+a)=匸.三、解答题(43、9. 已知角a的终边经过点P 5，一5(55丿(1) 求 sin a 的值；sin 2 a ltan( a n )(2) 求一(3-一 的值.sin( a + n )cos(3n a )(43、解因为点

24、p(5，5/所以 |OP|=1, sin3a =5,5、sin a |tan( a n )(2)丿sin( a + n )cos(3n a )_ cos a tan a _1 sin a (cos a) cos a，45 由三角函数定义知cos a =5,故所求式子的值为4.2sin 9 求证：32丿cos1tan(9n+ 9)+1tan( n+ 9 )1 证明42cos 9 sin 91sin2 9 +cos2 9 2sin2 9101 2sin2 9 (sin 9 +cos 9 )2(cos 9 +sin 9 )(cos 9 sin 9)sin 9 +cos 9sin 9cos 9tan(

25、8n + n+9 )+1tan( n+ 9 )1tan( n+ 9)+1 tan 9 +1 tan( n+ 9)1 tan 91sin 9 cos 9 sin 9 cos 91_sinsin9 +cos cos所以等式成立1AC2A等级过关练若 f (cos x)=cos 2x,则 f (sin 15)的值为()1D-2因为 f (sin 15)=f(cos 75)=cos 150 =並2 .计算sin21+sin22+sin23 sin289=()89B9089C9D45原式=(sin21+sin289) + (sin22+sin288) (sin244 +sin246)+sin245=44

26、+2=8|.3已知巴 sine +cos e cos=2,(3贝U sin(05n)sin 2皿一。=l2丿sinsine +cos e cos0e=2,sin e=3cos e，tan e =3.(3)sin(e5n)sin 2皿一 =sin e cos el2丿_ sin e cos esin2 e +cos2 e=tan e = 3 tan2 e +110.4.已知锐角a终边上一点P的坐标是(2sin 2,2cos 2),则a等于n22 cos2sin 2(2sin 2)2+( 2cos 2)2 a为锐角，na=2 2.n 、tan( n a )cos(2n a )sin H a5.已知f(a)12 丿cos( a n )(1)化简 f(a)；若f任-a丿=-5,且a是第二象限角，求tan a.tan( n a )cos(2n a )sin解(1)f(a)cos(a=sin tan a cos a cos cos a(2)由 sin35,得cos35,4又a是第二象限角，所以sin a=*l cos2 a =5,sin a4则 tana =cos a3