非稳态导热分析解法

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1、第三章非稳态导热第三章非稳态导热3-4;3-15;3-16;3-31;3-33;3-41;3-52;本章作业第三章非稳态热传导第三章非稳态热传导非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念零维问题的分析法集总参数法零维问题的分析法集总参数法典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解3.4 3.4 半无限大物体的非稳态导热半无限大物体的非稳态导热、重点内容：、重点内容：非稳态导热的基本概念及特点；非稳态导热的基本概念及特点；集总参数法的基本原理及应用；集总参数法的基本原理及应用；一维非稳态导热和半无限大物体导热问题。一维非稳态导热和半无限大物体导热问题。2 2、掌握内容：、掌握内容

2、：确定瞬时温度场的方法；确定瞬时温度场的方法；确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。方法。3.1 非稳态导热的基本概念非稳态导热的基本概念非稳态导热过程非稳态导热过程物体的物体的温度随时间而变化温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。的导热过程为非稳态导热。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f(t=f()例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室

3、内空气温度。境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。2 2 非稳态导热的分类非稳态导热的分类周期性非稳态导热：周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期物体的温度随时间而作周期性的变化性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。于周围介质温度，最终达到热平衡。物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值着重讨

4、论瞬态非稳态导热。着重讨论瞬态非稳态导热。非稳态导热过程必定是加热或冷却过程。非稳态导热过程必定是加热或冷却过程。非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是处处不同的；不同位置间导热量处的导热量是处处不同的；不同位置间导热量的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时间的变化，这是间的变化，这是区别与稳态导热的一个特点区别与稳态导热的一个特点。3 3、非稳态导热过程的特点、非稳态导热过程的特点对非稳态导热一般不能用热阻的方法来对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题的定量分析。作问题的定量分析。4 4 温度分

5、布温度分布一复合平壁，左侧金属一复合平壁，左侧金属壁，右侧保温层，层间壁，右侧保温层，层间接触良好，两种材料导接触良好，两种材料导热系数、密度和比热均热系数、密度和比热均为常数，初始温度为常数，初始温度t t0 0复合壁左侧表面温度突复合壁左侧表面温度突然升高到然升高到t t1 1，并保持不，并保持不变，右侧仍与温度为变，右侧仍与温度为t t0 0的空气接触的空气接触Dt1t0HCBAEFG5 两个不同的阶段两个不同的阶段依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为二个阶段。二个阶段。非正规状况阶段非正规状况阶段(右侧面不参与换热右侧面不参与换热 )：温

6、度：温度分布受环境和初始温度的综合影响，即：分布受环境和初始温度的综合影响，即：在此阶在此阶段物体温度分布受段物体温度分布受 t0 t0 分布的影响较大分布的影响较大。环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，环境的热影响不断向物体内部扩展的过程，即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布即物体（或系统）有部分区域受到初始温度分布控制的阶段。控制的阶段。必须用无穷级数描述。必须用无穷级数描述。二类非稳态导热的区别：二类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别瞬态导热存在着有区别的两个不同阶段，而周期性导热不存在。的两个不同阶段，而周期性导热不存在。正规状况阶段正规状况阶段(右侧面参与换热右侧面参与换

7、热 )：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。段。可以用初等函数描述。可以用初等函数描述。6 热量变化热量变化1 1板左侧导入的热流量板左侧导入的热流量2 2板右侧导出的热流量板右侧导出的热流量各阶段热流量的特征：各阶段热流量的特

8、征：非正规状况阶段：非正规状况阶段：1急剧减小急剧减小，2保持不变保持不变；正规状况阶段：正规状况阶段：1逐渐减小逐渐减小，2逐渐增大逐渐增大。非稳态导热问题的求解实质：非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要任务。任务。3.1.2 3.1.2 导热微分方程解的唯一性定律导热微分方程解的唯一性定律三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形式统一表示为：式统一表示为：()3-1aptcdiv grad t（）温度的拉普拉斯算子2t2 3-1bptatc（）初

9、始条件初始条件的一般形式的一般形式(,0)(,)t x y zf x y z简单特例简单特例 f(x,y,z)=f(x,y,z)=t t0 0边界条件边界条件：着重讨论第三类边界条件：着重讨论第三类边界条件()()wwfth ttn解的唯一性定理解的唯一性定理数学上可以证明，如果某一函数数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,)t(x,y,z,)满足满足方程（方程（3-1a3-1a）（）（3-1b3-1b）以及一定的初始和边界条件，）以及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。本章所介绍的各种分析解都被认为是满足特定问题本章所介绍的

10、各种分析解都被认为是满足特定问题的唯一解。的唯一解。pctat202t一般情况下，稳态导热的温度分布取决于物体的一般情况下，稳态导热的温度分布取决于物体的导热系数导热系数，但非稳态导热的温度分布则取决于，但非稳态导热的温度分布则取决于导热系数导热系数和和热扩散率热扩散率a a。3.1.3 3.1.3 第三类边界条件非稳态导热温度第三类边界条件非稳态导热温度分布的三种情形分布的三种情形在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。温度变化特征与边界条件参数的关系。已知：已知：平板厚平板厚 、初温、初温 、表面传热系数、表面传

11、热系数 h h、平板导热系数平板导热系数 ，将其突然置于温度为，将其突然置于温度为 的的流体中冷却。流体中冷却。20tt平板中温度场的变化会出现以下三种情形：平板中温度场的变化会出现以下三种情形：由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的特征数我们引入表征这两个热阻比值的特征数毕渥数。毕渥数。1 1）毕渥数的定义：）毕渥数的定义：1hBih 毕渥数属特征数（准则数）。毕渥数属特征数（准则数）。2 2）Bi Bi 物理意义：物理意义：固体内

12、部单位导热面积上的导热固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。热阻与单位表面积上的换热热阻之比。BiBi的大小反的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。3 3）特征数（准则数）：）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。程特征的无量纲数。4 4）特征长度：）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。是指特征数定义式中的几何尺度。毕渥数毕渥数1/h（1）t 这时，由于表面对流换这时，由于表面对流换热热阻热热阻 几乎可以忽略，因几乎可以忽略，因而而过程一开始平板的表面温过程一开始平板的表

13、面温度就被冷却到度就被冷却到 。并随着时。并随着时间的推移，逐渐趋近于间的推移，逐渐趋近于 。th/1t1hBih/1/h（2）这时，平板内部导热这时，平板内部导热热阻热阻 几乎可以忽略，几乎可以忽略，因而因而任一时刻平板中各点任一时刻平板中各点的温度接近均匀的温度接近均匀，并随着，并随着时间的推移，整体地下降，时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于逐渐趋近于 。t/1hBih 这时平板中不同时刻的温这时平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端度分布介于上述两种极端情况之间。情况之间。/1/h（3）与与 的数值比较接近的数值比较接近 1hBih 3.2 零维问题的分析法集总参数法 定义：定义：忽略

14、物体内部导热热阻、认为物体温度均忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。匀一致的分析方法。此时，此时，温度分布只，温度分布只与时间有关，即与时间有关，即 ，与空间位置无关，与空间位置无关，因此，也称为因此，也称为零维零维问题。问题。0Bi)(ft 物体的质量与热容量均集中到一点。物体的质量与热容量均集中到一点。由于物体温度与空间坐标无关，因此由于物体温度与空间坐标无关，因此集总参数法尤其易于处理形状不规则集总参数法尤其易于处理形状不规则的物体。的物体。3.2.1 3.2.1 集总参数法温度场的分析解集总参数法温度场的分析解h h,t t Ac,c,V,t0一个集总参数系统，其体积

15、为一个集总参数系统，其体积为V V、表面积为、表面积为A A、密度为、密度为、比、比热为热为c c以及初始温度为以及初始温度为t t0 0，突，突然放入温度为然放入温度为t t、换热系数为、换热系数为h h的环境中。的环境中。求物体温度随时间变化的依变求物体温度随时间变化的依变关系及物体与外界的换热量关系及物体与外界的换热量建立数学模型利用建立数学模型利用两种两种方法方法利用能量守恒利用能量守恒热平衡关系为：内热能随时间的变化率热平衡关系为：内热能随时间的变化率通通过表面与外界交换的热流量过表面与外界交换的热流量c c 。根据根据导热微分方程的一般形式导热微分方程的一般形式进行简化；进行简化；

16、方法一方法一椐非稳态有内热源的导热微分方程：椐非稳态有内热源的导热微分方程：cztytxtct222222物体内部导热热阻很小，忽略不计。物体内部导热热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t t仅是仅是的一元函数，与坐标的一元函数，与坐标x x、y y、z z无关，即无关，即 2222220tttxyztc可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）界（零维无任何边界）界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：)(ttAhV

17、物体被冷却，物体被冷却，应为负值应为负值()dtcVAh ttd 适用于本问题的导适用于本问题的导热微分方程式热微分方程式在导热问题中，将边界的对流换热在导热问题中，将边界的对流换热(或辐射换热或辐射换热)折算成折算成“计算源项计算源项”是是有条件的，即有条件的，即在所研究的方向上导热在所研究的方向上导热体内部热阻忽略不计体内部热阻忽略不计。当物体被冷却时（当物体被冷却时（t t t t）,由能量守恒可知由能量守恒可知ddtVctthA-)(方法二方法二适用于本问题的导适用于本问题的导热微分方程式热微分方程式物体与环境的对流散热热流量物体与环境的对流散热热流量=物体内能的变化率物体内能的变化率

18、过余温度令：tt00)0(-ttddVchAdVchAd方程式改写为：方程式改写为：00dVchAdVchA ln0dVchAd积分积分VchAetttt00其中的指数：其中的指数：222()()hAhVAcVA Vch V AaBi FoV A cVlA特征长度0exp(,)Bi Fo温度呈指数温度呈指数分布分布傅立叶数傅立叶数0Bi Fo应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线对数与时间的关系是一条负斜率直线 VchA ln0Vch

19、Aetttt003.2.2 3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数导热量计算式、时间常数与傅立叶数1 1、导热量计算、导热量计算 瞬态热流量瞬态热流量：VchAetttt00cVhAcVhAehAecVhAcVddcV00导热体在时间导热体在时间 0 0 内传给流体的总热量：内传给流体的总热量：当物体被加热时当物体被加热时(tt(tt)，计算式相同。，计算式相同。0000()()d ()1 JhAVchAVcQdtthAettcVe（）物体与环境的对流散热量物体与环境的对流散热量=物体内能的变化量物体内能的变化量)1()()()(00000cVcVttttcVttcVQ方程中指数的量纲：

20、方程中指数的量纲：2233Wm1m KkgJm K kgmhAWVcJs2、时间常数、时间常数VchAetttt00即与即与 的量纲相同的量纲相同1%8.36 10e上式表明：当传热时间等于上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的。称温度已经达到了初始过余温度的。称 为为时时间常数间常数，也称弛豫时间，用，也称弛豫时间，用 表示。表示。hAVchAVcc1cVhAhAcV/0/s0.368101如果导热体的热容量（如果导热体的热容量（cVcV ）小、换热条件好）小、换热条件好（hAhA大），那么单位时间所传递的热量大、导热大），那么单位时间所传递的热量

21、大、导热体的温度变化快，时间常数体的温度变化快，时间常数 (VcVc/h h A A)小小时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热的传热动态特征动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。间常数也是不相同。hAcVc/0/s0.368101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间

22、常数时，即数时，即=c c，则，则368.010e=4c，时，时工程上认为工程上认为=44c c时导热体已达到热平衡状态时导热体已达到热平衡状态01.0)4()(0eec3 3 FoFo物理意义物理意义FoFo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，各点越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，各点温度就越接近周围介质的温度。温度就越接近周围介质的温度。FoFo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。FoFo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，称之为傅里叶准则或傅里叶数，表征了给定表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能导热系统的导热性能

23、与其贮热（贮存热能）性能的对比关系的对比关系，是给定系统的动态特征量。，是给定系统的动态特征量。内能的变化率体积为的导热量面积厚为通过32322tctaFo3.2.3 3.2.3 集总参数系统的适用范围集总参数系统的适用范围 如何去判定一个任意的系统是集总参数系统如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？特征长度的取值特征长度的取值0.1hlBi,2,llRlR厚度为的平板圆柱，球特征长度工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5%5%M1.0)AV(hBiv对厚为对厚为2 2的的无限大平板无限大平板对半径为对半径为R R的无的无限长圆柱限长圆柱对半径为对

24、半径为R R的的 球球31M21M1M3BB3RR4R34AV2BB2RR2RAVBBAAAViiv23iiv2iiv是与物体几何形状是与物体几何形状有关的无量纲常数有关的无量纲常数由由BiBi数的定义，若表面传热系数数的定义，若表面传热系数h h或特征尺或特征尺度度(如直径如直径d)d)是未知时，事先无法知道是未知时，事先无法知道BiBi数数的大小。因而可以先假设集总参数法的条的大小。因而可以先假设集总参数法的条件成立，待求出件成立，待求出h h或或d d之后，进行校核，这之后，进行校核，这一点是非常重要的。一点是非常重要的。【例例】将一个初始温度为将一个初始温度为2020、直径为、直径为1

25、00mm100mm的的钢球投入钢球投入10001000的加热炉中加热，表面传热系数的加热炉中加热，表面传热系数为为h=50W/(mh=50W/(m2 2K)K)。已知钢球的密度为。已知钢球的密度为7790kg/m7790kg/m3 3，比热容为比热容为470J/(kg470J/(kgK)K)，导热系数为，导热系数为43.2W/(m43.2W/(mK)K)。试求钢球中心温度达到试求钢球中心温度达到800800所需要的时间。所需要的时间。【解解】首先判断能否用集总参数法求解：首先判断能否用集总参数法求解：毕渥数为毕渥数为 250W/(mK)0.050.0570.143.3W/(m K)mhRBi可

26、以用集总参数法求解。可以用集总参数法求解。00cVhAttett196832.8mins7790 4700.1503 2800 1000201000e在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的时间常数为件的时间常数为1s1s从传热学角度，你认为此从传热学角度，你认为此值可信吗值可信吗?在对非稳态流体温度场的测定中，时间常数在对非稳态流体温度场的测定中，时间常数是反映测温元件精度很重要的指标之一，它是反映测温元件精度很重要的指标之一，它表征导热体温度随流体温度变化的快慢。它表征导热体温度随流体温度变化的快慢。它不仅取决于几何参数不仅取决于几何参数(v(vA)

27、A)和物性参数和物性参数(c)c)，还取决于换热条件还取决于换热条件(h)(h)。而。而h h是过程量，因而是过程量，因而在不同换热条件下，时间常数是变化的，不在不同换热条件下，时间常数是变化的，不是常数。是常数。一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从从100100的热炒锅中取出一鸡肉丝，用嘴吹了的热炒锅中取出一鸡肉丝，用嘴吹了一会，待其降至一会，待其降至6565时再放入口中。试估算厨时再放入口中。试估算厨师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均师需要吹多长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为直径为2mm2mm的圆条，厨师口中吹出的气流温度的圆条，厨师

28、口中吹出的气流温度为为3030，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为，其与鸡肉丝之间的表面传热系数为100W/m100W/m2 2K K，鸡肉丝的物性参数，鸡肉丝的物性参数=810kg/m3,05.01.0045.0)2/()/(2MhrrllrhAVhBiVshcrhAcVc18.142sc83.95.0)exp(0解：首先检验是否可用集总参数法解：首先检验是否可用集总参数法故可以采用集总参数法故可以采用集总参数法典型一维物体非稳态导热的分析解典型一维物体非稳态导热的分析解3.3.1 3.3.1 三种几何形状物体的温度场分析解三种几何形状物体的温度场分析解3.3.2 3.3.2 非稳态导热正规状况

29、阶段分析解的简化非稳态导热正规状况阶段分析解的简化3.3.3 3.3.3 非稳态导热正规状况阶段工程计算方法非稳态导热正规状况阶段工程计算方法3.3.4 3.3.4 分析解应用范围的推广分析解应用范围的推广1、平板、平板厚度厚度 2 2 的无限大平壁，的无限大平壁，、a a为已知常数为已知常数；=0=0时时温度为温度为 t t0 0;突然把两侧介质温度降低突然把两侧介质温度降低为为t t 并保持不变；壁表面并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系与介质之间的表面传热系数为数为h h。两侧冷却情况相同、温度两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。分布对称。中心为原点。()()()ttttcx

30、xyyzz导热微分方程：导热微分方程：22xtat初始条件：初始条件：,00tt 边界条件：边界条件：(第三类第三类)0 ,0 xtx)(-,tthxtx()()()ttttcxxyyzz过余温度 ),(txt22xa00 ,0-tt0 ,0 xxxhxx-,2n 102(,)exp()cos();2sincossintanhBi=nnnnnnnnnnCFoaxFoBi n其中系数C特征值的确定：其中采用分离变量法求解：采用分离变量法求解：22102sin(,)cos()sincosnannnnnnxe 与与FoFo数、数、BiBi数及数及有关有关使无穷级数满足使无穷级数满足初始条件初始条件2

31、、圆柱、圆柱半径为半径为R R的一实心圆柱，的一实心圆柱，、a a为已知常数为已知常数；初始初始温度温度为为 t t0 0;初始瞬间把周围介质温度降低为初始瞬间把周围介质温度降低为 t t 并保持不变；并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数圆柱表面与流体之间的表面传热系数h h为常数为常数。ztztrrtrrrtc211与与FoFo数、数、BiBi数及数及有关有关第一类贝塞尔函数查表P572附录1422rrrrahrRrrr,0,0,003、球、球半径为半径为R R的一实心球，的一实心球，、a a为已知常数为已知常数；初始初始温度为温度为 t t0 0;初始瞬间把两侧介质温度降低为初始瞬

32、间把两侧介质温度降低为 t t 并保持不变；并保持不变；球表面与流体之间的表面传热系数球表面与流体之间的表面传热系数h h为常数为常数。2222222111()(sin)sinsinttttarrrrrrc22222rrrrrahrRrrr,0,0,00与与FoFo数、数、BiBi数及数及有关有关0(,)(,)(Bi,Fo,)ttxftt 平板、圆柱与球中的无量纲过余温度与平板、圆柱与球中的无量纲过余温度与FoFo数、数、BiBi数及无量纲距离数及无量纲距离有关。有关。教材错误！教材错误！3.3.2 非稳态导热正规状况阶段分析解的简化非稳态导热正规状况阶段分析解的简化1、非稳态导热正规状况的物

33、理概念和数学含义非稳态导热正规状况的物理概念和数学含义物理概念物理概念：非周期性的非稳态导热过程在进行到一：非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决于边界条件的影响，响基本消失，温度分布主要取决于边界条件的影响，非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。数学含义数学含义：取无穷级数第一项。：取无穷级数第一项。tannnBi可查表求部分可查表求部分B Bi i数下的数下的n n值值n n为超越方程的根：为超越方程的根：nnctgBi22102sin(,)

34、cos()sincosnannnnnnxe 以平板为例进行说明以平板为例进行说明0.8 6 0 3 3.4 2 5 6 6.4 3 7 3 9.5 2 9 3 特征值特征值n n是是BiBi数的函数。在一定的数的函数。在一定的BiBi下，特征值下，特征值n n随随n n的增加而迅速增长。的增加而迅速增长。当当BiBi1 1时，时，n n的前的前4 4个值：个值：无穷级数第一项后各项随无穷级数第一项后各项随FoFo数的增大而迅速减小。数的增大而迅速减小。22102sin(,)cos()sincosnannnnnnxe 数值计算表明，数值计算表明，FoFo后，略去无穷级数中的第二项后，略去无穷级数

35、中的第二项及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于果的偏差小于1%1%。3210III211101112 s in(,)e x p()c o s()c o s s inF o 平 板2、正规状况三个分析解的简化表达式正规状况三个分析解的简化表达式21110122010111()(,)2 exp()()()()JFo JJJ 圆柱2111101112 sincossin()(,)exp()sinFo （-）球FoFo时，进入正规状时，进入正规状况阶段，平壁内所况阶段，平壁内所有各点过余温度的有各点过余温度的对数都随时间按线对数都随时间按线性

36、规律变化，变化性规律变化，变化曲线的斜率都相等曲线的斜率都相等。eoFx21)cos(cossinsin2),(111110 FoFo0.2 Fo0.2 时，取其级数首项即可时，取其级数首项即可2 2、图线法、图线法P129P129图图3-73-70)(Fo)(Bi,m)(),()Bi,(mxxP130P130图图3-83-8P130P130图图3-93-900,rrFoBiftttt无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析1.1.无限长圆柱无限长圆柱t tr rt tt tt t0 0h hh h0020,hraB iF or式中式中r r0 0 为无限长

37、圆柱体的半径为无限长圆柱体的半径 02100,rrBifFoBifcc类似有类似有 ：和和FoBifQQ,30tttt00P573P573附录附录16162.2.球体球体ttrt0 00球体处理方法与无限大圆柱球体处理方法与无限大圆柱体完全相同，相应的线算图体完全相同，相应的线算图示于示于P575P575附录附录1717之中。之中。这里要注意的是特征尺寸这里要注意的是特征尺寸R R为球体的半径，为球体的半径，r r为球体的为球体的径向方向。径向方向。如何利用线算图如何利用线算图a a）对于）对于由时间求温度的步骤由时间求温度的步骤为，计算为，计算BiBi数、数、FoFo数和数和x/x/，从图，

38、从图3-73-7中查找中查找mm/0 0 和从图和从图3-83-8中中查找查找/mm ，计算出，计算出 ，最后求出温度，最后求出温度00QQQQb)b)对于对于由温度求时间步骤由温度求时间步骤为，计算为，计算BiBi数、数、x/x/和和/0 0,从图从图3-83-8中查找中查找/mm,，计算，计算mm/0 0然后从图然后从图3-73-7中查找中查找FoFo,再求出时间再求出时间 。c c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算）平板吸收（或放出）的热量，可在计算QQ0 0、BiBi数、数、FoFo数之后，从图数之后，从图3-93-9中中Q/QQ/Q0 0查找，再计算出查找，再计算出 0m目前，随着

39、计算技术的发展，直接应用分析解目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。及简化拟合公式计算的方法受到重视。线算图法评述线算图法评述优点：简洁方便。优点：简洁方便。缺点：准确度有限，误差较大。缺点：准确度有限，误差较大。3.3.4 分析解应用范围的推广及准数对过程的影响分析解应用范围的推广及准数对过程的影响 分析解对物体被加热或冷却均适用分析解对物体被加热或冷却均适用对一维平板，还可应用于以下边界条件对一维平板，还可应用于以下边界条件(1)(1)平板一侧绝热，另一侧第三类边界；平板一侧绝热，另一侧第三类边界；(2)(2)平板两侧均为第一类边界。平板两侧均为第一类边

40、界。FoFo对温度场的影响对温度场的影响物体中各点过余温度随时间增加而减少，所以物体中各点过余温度随时间增加而减少，所以也随也随FoFo的增加而减少。的增加而减少。BiBi对温度场的影响对温度场的影响FoFo一定时，一定时，BiBi越大，越大，越小越小BiBi大小还决定物体中温度趋于均匀的程度大小还决定物体中温度趋于均匀的程度463.0K)W/(m2.43m1.0 K)W/(m3002 hBi 求解非稳态导热问题的一般步骤：求解非稳态导热问题的一般步骤：非稳态导热求解方法非稳态导热求解方法 1 1、先校核、先校核BiBi是否满足集总参数法条件，若满是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考虑集总

41、参数法；若性质属于足，则优先考虑集总参数法；若性质属于h h或或未知，可先假设，然后校核；未知，可先假设，然后校核；2 2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟图、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟图或近似公式；或近似公式；3 3、若上述方法都不行则采用数值解。、若上述方法都不行则采用数值解。4 4、确定温度分布、加热或冷却时间、热量、确定温度分布、加热或冷却时间、热量。【例例】一块厚一块厚200mm200mm的大钢板，钢材的密度为的大钢板，钢材的密度为=7790kg/m=7790kg/m3 3，比热容，比热容c cp p=170J/(kg=170J/(kgK)K)，导热系数为，导热系数为43.2W

42、/(m43.2W/(mK)K)，钢板的初始温度为，钢板的初始温度为2020，放入，放入10001000的加热炉中加热，表面传热系数为的加热炉中加热，表面传热系数为 h=300W/(mh=300W/(m2 2K)K)。试求加热试求加热4040分钟时钢板的中心温度。分钟时钢板的中心温度。解：根据题意，。解：根据题意，。毕渥数为毕渥数为 83.2m1.0s6040/sm1018.12252aFo傅里叶数为傅里叶数为 m00.32查图可得查图可得 m00.3 2 0.3 22 0 C 1 0 0 0 C1 0 0 0 C 6 8 6ttt tC 531018.1K)J/(kg470kg/m7790K)

43、W/(m2.43pca32.00m0mtttt钢材的热扩散率为钢材的热扩散率为)/(9.63,/434,/7832300260203KmWKkgJcmkgKT一壁厚一壁厚40mm40mm，直径，直径1m1m的钢制输油管的钢制输油管(AISI1010)(AISI1010)。管道外壁有很厚的隔热层。在输油前，管壁处管道外壁有很厚的隔热层。在输油前，管壁处于于-20-20的均匀温度，流动开始时用泵使的均匀温度，流动开始时用泵使6060的的热油通过管道，在管内壁，形成相当于热油通过管道，在管内壁，形成相当于h=500h=500W/mKW/mK的对流条件。的对流条件。1.1.开始流动开始流动8min8m

44、in后，后，FoFo，BiBi值？值？时，覆盖了隔热层的管子外壁温度？时，覆盖了隔热层的管子外壁温度？时，油对管壁传热的热流？时，油对管壁传热的热流？4.4.在在8min8min时间内，热油传给每时间内，热油传给每mm长管道的能量？长管道的能量？2.064.51.0313.02aFohBi214.00m解：解：AIAI1010AIAI1010钢钢管壁厚度远小于管道直径，管壁可近似为平壁管壁厚度远小于管道直径，管壁可近似为平壁特征长度取壁厚特征长度取壁厚 9.42min8,0 tmin)8,(min)8,(tt hq862.0m185.00mm20/7381185.0min)8,(mWt t h

45、hq80.00QQ(2)(2)由于，故不可采用集总参数法；，可用一维分析由于，故不可采用集总参数法；，可用一维分析解的简化形式，求绝热表面的温度解的简化形式，求绝热表面的温度查图查图3-73-7(3)(3)在在x=x=处处查图查图3-83-8mkJd cQQ/273008.08.000(4)(4)油传给每米管道能量能量油传给每米管道能量能量查图查图3-93-9半无限大物体非稳态导热半无限大物体非稳态导热 x=0 x=0界面开始，界面开始，可向正向及上下方可向正向及上下方向无限延伸，而在向无限延伸，而在每个与每个与x x坐标垂直坐标垂直的截面上物体温度的截面上物体温度相等。相等。处理非稳态导热初

46、始阶段问题的方法处理非稳态导热初始阶段问题的方法，三种边界条件之一，000022xttxttxtat第一类：边界温度突然升至第一类：边界温度突然升至t tww，并保持恒定；，并保持恒定；第二类：边界受到恒定热流密度加热；第二类：边界受到恒定热流密度加热；第三类：受到温度为第三类：受到温度为t t的流体加热。的流体加热。)4(24002axerfdyaxye完整的数学描述完整的数学描述)4()4exp(2),(0200axerfcxqaxaqtxt第一类：第一类：第二类：第二类：)4()exp()4(),(2200ahaxerfcahhxaxerfctttxt第三类：第三类：1)(1)(2)(0

47、2xerfxxerfxdvexerfxv有限大小时，误差函数：误差函数：ax4以第一类边界条件为例，对分析解进行讨论以第一类边界条件为例，对分析解进行讨论无量纲无量纲坐标坐标)(0erf物理意义物理意义？)4()4exp(2),(0200axerfcxqaxaqtxt9953.09953.0)2(240erfaxax42 2 2时，时，x x处温度仍为处温度仍为t t0 0无量纲过余温度变化小于无量纲过余温度变化小于0.5%0.5%几何位置几何位置若若对一原为对一原为2 2的平板，若的平板，若时间时间若若惰性时间惰性时间局部局部FoFo数数a4ax162206.01612xa2401xaxqx

48、ae 则均则均可作可作为半为半无限无限大物大物体来体来处理处理 以第一类边界条件为例，导出以第一类边界条件为例，导出00 时刻物体与时刻物体与外界换热量外界换热量0wqa任意截面任意截面x x处热流密度：处热流密度：令令x=0 x=0即得边界面上的热流量即得边界面上的热流量002cdzqQw)4()4exp(2),(0200axerfcxqaxaqtxt0,0,内累计传热量内累计传热量00ttcattqwww吸热系数吸热系数吸热系数表征了物体向其接触的高温物体的吸热能力吸热系数表征了物体向其接触的高温物体的吸热能力铜和混凝土在温度为铜和混凝土在温度为2323的房间中已经放置很的房间中已经放置很

49、久。用手分别接触这两种材料，问哪一块材料久。用手分别接触这两种材料，问哪一块材料使人感觉更凉使人感觉更凉?假定材料可当作半无限大物体，假定材料可当作半无限大物体，人手的温度为人手的温度为3737。手指的感觉与其感受到的热流密度有关手指的感觉与其感受到的热流密度有关混凝土铜混凝土铜ccqqww)/(385,/8933KmW/4013KkgJc mkg，)/(880,/2300KmW/4.13KkgJcmkg，1.22混凝土铜wwqq温度为温度为2323时，铜和混凝土的物性：时，铜和混凝土的物性：铜：铜：混凝土：混凝土：即铜块上的热流是混凝土上热流的即铜块上的热流是混凝土上热流的2020多倍，多倍

50、，因此，人手的感觉是铜块要比混凝土凉因此，人手的感觉是铜块要比混凝土凉2.Bi2.Bi准则对温度分布的影响准则对温度分布的影响Bi Bi（Bi=Bi=h h /）表征了给定导热系统内的导热热表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。当当 BiBi 时，意味着表时，意味着表面传热系数面传热系数 h h ，对，对流换热热阻趋于流换热热阻趋于0 0。平壁。平壁的表面温度几乎从冷却的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降过程一开始，就立刻降到流体温度到流体温度 t t 。当当BiBi0 0时，意味着物体时，意味着物体的热导率很大、导热热阻的热

51、导率很大、导热热阻 0 0（Bi=Bi=h h/）。物体）。物体内的温度分布趋于均匀一内的温度分布趋于均匀一致。致。可用集总参数法求解可用集总参数法求解.2Fo a 傅里叶准则傅里叶准则FoFo：称之为傅里叶准则或傅里叶数，称之为傅里叶准则或傅里叶数，表征了给定表征了给定导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能导热系统的导热性能与其贮热（贮存热能）性能的对比关系的对比关系，是给定系统的动态特征量。，是给定系统的动态特征量。内能的变化率体积为的导热量面积厚为通过32322tctaFo答：红砖的导热系数小，以致答：红砖的导热系数小，以致BiBi较大，即在非稳较大，即在非稳态导热现象中，内部热阻较

52、大，当一块被烧至高态导热现象中，内部热阻较大，当一块被烧至高温的红砖被迅速投入一桶冷水中后，其内部温差温的红砖被迅速投入一桶冷水中后，其内部温差较大，从而产生较大的热应力，则红砖会自行破较大，从而产生较大的热应力，则红砖会自行破裂。裂。【例例】一块被烧至高温一块被烧至高温(超过超过400)400)的红砖，迅的红砖，迅速投入一桶冷水中，红砖自行破裂，而铁块则速投入一桶冷水中，红砖自行破裂，而铁块则不会出现此现象。试解释其原因。不会出现此现象。试解释其原因。wtt)4(24002axerfdyaxye引入引入过余温度过余温度:0,0wttx以第一类边界条件为例进行分析以第一类边界条件为例进行分析NoImage解的应用范围解的应用范围教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且加热及冷却过程，并且