傅立叶分析和小波分析

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1、傅立叶分析和小波分析都是数字信号处理中常用的基本方法。它们俩的共同点，都是用一些 基本的东西（fourier是用sin和cos,小波是用不同的wavelet,如haar）来组合出各种各样 的函数。傅立叶分析是联系时域（或者是空间域）与频率域的纽带，是一种纯频域的应用最为广泛的 信号分析方法，它在频域具有完全准确的定位性，但在时域无任何分辨能力。换句话说就是， 傅立叶分析反映了整个信号全部时间内的整体频域特性。小波分析，顾名思义，就是又小又波动的分析。“小”是指它在时域都具有紧支集或近似紧支 集，这使得小波母函数在时频域都具有较好的局部特征（紧密集中）；“波动”是指小波函数 具有正负交替的波动性

2、。若要用一句话来概括二者，可大致描述为：傅立叶分析是一种能在频域对信号进行准确分析的高效方法，小波则是针对傅立叶分析在时 域上的不足而提出的，可以局部集中地在时频域对信号进行分析的方法。通俗地说，傅立叶能联系空间（时间）域和频率域，但是不能有尺度的变化，另外，它对于 频率域上反转对应回时域的某处却缺乏相应的处理能力，这是它的缺点。也就是说，它可以 告诉你，信号中的哪个频率高，但是无法告诉你具体高多少，哪个位置高，为什么这么高， 却不能立刻告诉你。小波就不一样了，具有多尺度特性，可以把频率强度和位置（时刻）联系起来，一定程度上 解决了傅立叶分析分析的缺点。小波分析已经在很多信号分析领域取得了出色

3、的应用。 这并不是说小波分析方法可以替代傅立叶分析分析方法。如果是单纯进行频率域上面的分析 就没有必要使用小波分析方法，使用傅立叶方法更简单，效果也更好。其实如果仅仅是为了简单的用一用小波的话，只要知道数字滤波器是怎么回事就会做小波分 析了。简单的说，在普通工程应用中，小波分析就是对一个序列做一次滤波就完了， 只不过它这 个滤波不一定是为了平滑减噪之类的，它滤波的结果在不同领域有不同的用途，比如说在语 音信号压缩领域，就是利用它滤波以后，有很多 0 这样一个特点来达到压缩的目的，在信号 奇异性检测领域，就是利用它滤波之后，原来的信号有突变的地方，滤波结果是一个较大的 值，而没有突变的地方，滤波

4、结果是接近于0的值，不过原本小波分析和傅立叶分析一样， 都是很复杂的数学分析，只不过 Mallet 这个人通过一些方法证明了这个分析可以通过一个 简单的滤波操作来完成，所以以后的工程应用中只要直接滤波就行了。不过滤波算子有很多 种，这就对应于不同的小波分析了。【求助】请问小波和短时傅立叶的区别现在对多分量线性调频信号进行研究，短时傅立叶由于固定窗长的原因，频率分辨率是固定 的，但可以找到最优窗长，达到最佳的频率分辨率，但是存在时域和频域不能同时达到最佳 的矛盾；小波变换是一种多尺度变换，低频时分辨率高，高频时分辨率低，我想问的是如果 我想得到最佳的频率分辨率，小波是不是一定比短时傅立叶好呢？用

5、哪个更好一点？请大侠指点Re:【求助】请问小波和短时傅立叶的区别小波变换小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通 过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。 正如 1807 年法国的热学工程师 J.B.J.Fourier 提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数 的创新概念未能得到?名数学家J.L.Lagrange, P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。 幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基 的深入研究为小波变换的诞生做了理论

6、上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常 类似於现在的小波基；1986 年?名数学家 Y.Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法?多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起 来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）对小 波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比， 这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运 算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscal

7、e Analysis），解决了 Fourier变换不能解 决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的 进展。小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10 年的探索研究， 重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 Fourier 变换相比，小波变换是空 间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能 可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。小 波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多 个学科。数学家认为

8、，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、 Fourier 分析、样调 分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间尺度分析和多分 辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震 勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。小波（Wavelet）这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所骨小”是指它具有衰减性； 而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与 Fourier 变换相比，小波 变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细 化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可 聚焦到信号的任意细节，解决了 Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方 法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。