学案3空间图形基本关系与公理

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1、返回目录返回目录 1.空间图形的基本关系空间图形的基本关系（1）点与直线的位置关系有）点与直线的位置关系有 两种；两种；（2）点与平面的位置关系有个）点与平面的位置关系有个 两种两种.（3）空间两条直线的位置关系：）空间两条直线的位置关系：点在直线上和点在直线外点在直线上和点在直线外点在平面内和点在平面外点在平面内和点在平面外返回目录返回目录 直线直线a和直线和直线b在同一个平面内，而且没有公共点，在同一个平面内，而且没有公共点，这样的两条直线叫作这样的两条直线叫作 ；直线直线b和和c只有一个公共点，这样的两条直线叫只有一个公共点，这样的两条直线叫作作 ；不同在任何的一个平面内的两条直线不同在

2、任何的一个平面内的两条直线叫作叫作 .（4）直线与平面的位置关系）直线与平面的位置关系直线和平面有无数个公共点称直线和平面有无数个公共点称 ；直线；直线和平面没有公共点称和平面没有公共点称 ；直线和平面只；直线和平面只有一个公共点称有一个公共点称 .（5）平面与平面的位置关系）平面与平面的位置关系异面直线异面直线 平行直线平行直线 相交直线相交直线 直线在平面内直线在平面内 直线和平面平行直线和平面平行 直线和平面相交直线和平面相交返回目录返回目录 平面平面和平面和平面没有公共点，称平面没有公共点，称平面与平面与平面为为 ；两个平面不重合且有公共点，称两个；两个平面不重合且有公共点，称两个平面

3、为平面为 .平行平面平行平面相交平面相交平面 位置关系 点与线 点在直线上点不在直线上 点与面 点在平面内点不在平面内 线与线 平行直线相交直线（垂直）异面直线 线与面 直线在平面内 直线与平面相交（垂直）直线与平面平行 面与面 平行平面相交平面（垂直）返回目录返回目录 平面平面和平面和平面没有公共点，称平面没有公共点，称平面与平面与平面为为 ；两个平面不重合且有公共点，称两个；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为平面为 .2.空间图形的公理空间图形的公理公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的线上的 都在这个平面内（即直线在

4、平面都在这个平面内（即直线在平面内）内）.直线直线a在平面在平面内，记作内，记作 .公理公理2 经过不在同一条直线上的三点，经过不在同一条直线上的三点，一个一个平面（即可以确定一个平面）平面（即可以确定一个平面）.平行平面平行平面相交平面相交平面 所有的点所有的点 a有且只有有且只有返回目录返回目录 公理公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有它们有且只有 .平面平面与与平面平面的公共直线为的公共直线为a，记作，记作 .公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线 .定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，定理空间

5、中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角那么这两个角 .相等或互补相等或互补 一条通过这个点的公共直线一条通过这个点的公共直线=a 平行平行 返回目录返回目录 如图所示，空间四边形如图所示，空间四边形ABCD中，中，E，F，G分别在分别在AB，BC，CD上，且满足上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过，过E，F，G的平面交的平面交AD于于H，连接，连接EH.（1）求）求AH:HD；（2）求证：）求证：EH，FG，BD三线共点三线共点.证明线共点的问题实质上是证明点在线上证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，的问题，其基

6、本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理点看作是两平面的公共点，由公理3得证得证.返回目录返回目录 返回目录返回目录（1）=2，EFAC.EF平面平面ACD.而而EF平面平面EFGH，且平面，且平面EFGH平面平面ACD=GH，EFGH.而而EFAC，ACGH.=3，即，即AH:HD=3:1.G GD DC CG GH HD D A AH H=F FB BC CF FE EB BA AE E=返回目录返回目录（2）证明：）证明：EFGH，且，且 ，EFGH,四边形四边形EFGH为梯形为梯形.令令EHFG=P,则则PEH,而而EH 平面平面ABD，PFG，FG 平面平面BC

7、D，平面，平面ABD平面平面BCD=BD，PBD.EH，FG，BD三线共点三线共点.3 31 1ACACEFEF=4 41 1A AC CG GH H=所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在

8、直线上的问题来处理都可以转化为点在直线上的问题来处理.返回目录返回目录 如图所示，已知空间四边形如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是分别是AB，AD的中点，的中点，G，H分别是分别是BC，CD上的点上的点.且且CG=BC，CH=DC.求证：求证：（1）E，F，G，H 四点共面；四点共面；（2）三直线）三直线FH，EG，AC共点共点.3 31 13 31 1返回目录返回目录 返回目录返回目录（1）连接）连接EF，GH.由由E,F分别为分别为AB,AD中点，中点，EF BD,由由CG=BC CH=DC，HG BD，EFHG且且EFHG.EF,HG可确定平面可确定平面,E,F,G,H四点共

9、面四点共面.2 21 13 31 13 31 13 31 1（2）由（）由（1）知）知,EFHG为平面图形，且为平面图形，且EFHG，EFHG.四边形四边形EFHG为梯形，设直线为梯形，设直线FH直线直线EG=O，点点O直线直线FH，直线，直线FH 面面ACD，点点O平面平面ACD.同理点同理点O平面平面ABC.又面又面ACD面面ABC=AC，点点O直线直线AC（公理（公理2）.三直线三直线FH，EG，AC共点共点.返回目录返回目录 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,对角线对角线A1C与平面与平面BDC1交于点交于点O,AC,BD交于点交于点M,求证求证:点点C1,O,M共线共线.

10、证明三点共线常用方法是取其中两点确定一证明三点共线常用方法是取其中两点确定一直线直线,再证明其余点也在该直线上再证明其余点也在该直线上.返回目录返回目录 如图如图,A1AC1C,A1A,C1C确定平面确定平面A1C.A1C 平面平面A1C,OA1C,O平面平面A1C,而而O=平面平面BDC1线线A1C,O平面平面BDC1,O在平面在平面BDC1与平面与平面A1C的交线上的交线上.ACBD=M,M平面平面BDC1且且M平面平面A1C,平面平面BDC1平面平面A1C=C1M,OCM,即即M,O,C1三点共线三点共线.返回目录返回目录 返回目录返回目录 证证 明若干点共线也可用基本性质明若干点共线也

11、可用基本性质3 为依据为依据,找出两找出两个平面的交线个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点然后证明各个点都是这两平面的公共点.返回目录返回目录 如图所示如图所示,已知已知ABC在在平面平面外外,AB,BC,AC的的延长线分别交平面延长线分别交平面于于P,Q,R三点三点.求证求证:P,Q,R三点共线三点共线.:设设ABC所在平面为所在平面为,因为因为AP=P,AP,所以所以与与相交于过点相交于过点P的直线的直线l,即即Pl.因为因为BQ=Q,BQ,所以所以Q,Q.所以所以Ql.同理可证同理可证Rl.所以所以P,Q,R三点共线三点共线.返回目录返回目录 四条直线两两相交且不共点四条直线

12、两两相交且不共点,有两种情况有两种情况:一一是恰有三条直线共点是恰有三条直线共点;二是任意三条直线均不共点二是任意三条直线均不共点,故应故应分两种情况证明分两种情况证明.证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.(1)如图如图,设直线设直线a,b,c相交于相交于O点点,直线直线d和和a,b,c分别分别交于交于M,N,P三点三点,份直线份直线d和点和点O确定平面确定平面.O直线直线a,M直线直线a,直线直线a平面平面.同理同理b平面平面,c平面平面.a,b,c,d四线共面四线共面.返回目录返回目录(2)如图如图,设直线设直线a,b,c,d两

13、两相交两两相交,且任意三条不共点且任意三条不共点.直线直线ab=M,直线直线a和和b确定平面确定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平面都在平面内内.直线直线a,b,c,d共面于共面于.综合（综合（1），（），（2）知）知,两两两相交而不过同一点的两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内四条直线必在同一平面内.返回目录返回目录 返回目录返回目录 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题个平面内的问题.（1）证明点线共面的主要依据：）证明点线共面的主要依据：如如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的果一条直线上的两点在一个

14、平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理所有点都在这个平面内（公理1）.经过不在同一条直经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理线上的三点，有且只有一个平面（公理2）.（2）证明点）证明点线共面的常用方法线共面的常用方法:纳入平面内：先确定一个平面，再纳入平面内：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内证明有关点、线在此平面内.辅助平面法：先证明有关辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，再证明其余元素确定平面，最后，最后证明平面证明平面,重合重合.反证法反证法.（3）具体操作方法：）具体操作方法：证证明几点共面的问题可先取三点（不

15、共线的三点）确定一明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内个平面，再证明其余各点都在这个平面内.证明空间几证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内个平面，再证明其余直线均在这个平面内.返回目录返回目录 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，判断下列命题是否正确，并说明理由判断下列命题是否正确，并说明理由.（1）直线）直线AC1平面平面CC1B1B；（2）设正方形）设正方形ABCD与与A1B1C1D1的中心分别为的中心分别为O，O1，

16、平面，平面AA1C1C 平面平面BB1D1D=OO1；（3）点）点A，O，C可以确定一个平面；可以确定一个平面；（4）由点）由点A，C1，B1确定的平面是确定的平面是ADC1B1；（5）由）由A，C1，B1确定的平面和由确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面确定的平面是同一平面.返回目录返回目录(1)错误，若错误，若AC1平面平面CC1B1B，则，则A平面平面 CC1B1B，这与，这与A 平面平面CC1B1B的几何事实矛盾的几何事实矛盾.(2)正确，正确，O，O1是这两个平面的两个公共点是这两个平面的两个公共点.(3)错误错误,点点A，O，C在同一直线上在同一直线上.(4)正确，正确，

17、A，C1，B1不共线，不共线，确定平面确定平面.AB1C1D是平行四边形，过是平行四边形，过AD与与B1C1两平行线确定两平行线确定一平面一平面,又又,都过不共线三点都过不共线三点A,C1,B1，与与重合重合.点点D平面平面AC1B1，即，即A,C1,B1确定的平面是确定的平面是ADC1B1.(5)正确，同（正确，同（4）.返回目录返回目录 如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是A1B1，B1C1的中点的中点.问：问：（1）AM和和CN是否是异面直线？是否是异面直线？（2）D1B和和CC1是否是异面直是否是异面直 线？请说明理由线？请说明理由.（1）

18、由于）由于M,N分别是分别是A1B1和和B1C1的中点，可的中点，可证明证明MNAC，因此，因此AM与与CN不是异面直线不是异面直线.（2）由空）由空间图形可感知间图形可感知D1B和和CC1为异面直线的可能性较大，判为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法断的方法可用反证法.（1）不是异面直线）不是异面直线.理由如下：理由如下：M,N分别是分别是A1B1,B1C1的中点的中点,MNA1C1，又又A1A D1D,而而D1D C1C，A1A C1C，四边形四边形A1ACC1为平行四边形为平行四边形.A1C1AC，得到，得到MNAC，A,M,N,C在同一个平面内，故在同一个平面内，故AM和和CN

19、不是异面直线不是异面直线.返回目录返回目录 返回目录返回目录（2）是异面直线，证明如下：）是异面直线，证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，内，则则B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，这与正方体这与正方体ABCDA1B1C1D1中中BC面面CC1D1相矛盾相矛盾.假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1是异面直线是异面直线.返回目录返回目录 判定异面直线的常用方法有：（判定异面直线的常用方法有：（1）定义法；（）定义法；（2）反证法；（反证法；（3）判定定理法，应用异面直线判定定理来判）判定定理法，应用异面直线判定定理来判定

20、时，应注意是否满足它的定时，应注意是否满足它的“四要素四要素”，即，即点点A平平面面,B,直线直线a,A a,则直线则直线AB与与a异面异面.返回目录返回目录 如图所示，如图所示，E,F在在AD上，上，G,H在在BC上，图中上，图中8条线条线段所在的直线，哪些直线段所在的直线，哪些直线互为异面直线？互为异面直线？先找规律性较强的直线，如先找规律性较强的直线，如AB与与CD，AC与与BD，AD与与BC互为异面直线，然后再把互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得添入，那么易得EG分别分别与与AB,AC,BD,DC成异面直线成异面直线.同理，同理，FH也与它们分别成也与它们分别成 异面直线，异面直

21、线，EG与与FH也互为异面直线也互为异面直线.每两条异面直线称每两条异面直线称 为为“一对一对”，则共有，则共有12对异面直线对异面直线.返回目录返回目录 本题首先要考虑将题目中的直线本题首先要考虑将题目中的直线AB与与 CD所成的角是所成的角是60反映在图形上反映在图形上，故要考虑添加辅，故要考虑添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解助线，通常取中点将其中的直线进行平移，从而得解.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60，点，点M,N分别是分别是BC,AD的中点的中点.求直线求直线AB与与MN所所成的角成的角.取取AC的中点的中点P，

22、连结，连结PM,PN，则有，则有 PMAB，且，且PM=AB.PNCD，且，且PN=CD.又又AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60，PM=PN，MPN=120或或60.MPN=60或或30，即直线即直线AB与与MN所成的角为所成的角为60或或30.返回目录返回目录 2 21 12 21 1返回目录返回目录 求异面直线所成的角主要有定义法求异面直线所成的角主要有定义法(平移法平移法)和向量法和向量法.利用定义法利用定义法(平移法平移法)求异面直线所成角的一般步骤为求异面直线所成角的一般步骤为:(1)平移平移:选择适当的点选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条平移异面直线中的一条或两条成为

23、相交直线成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的如线段的中点或端点中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.(2)证明证明:证明所作的角是异面直线所成的角证明所作的角是异面直线所成的角.(3)寻找寻找:在立体图形中在立体图形中,寻找或作出含有此角的三角形寻找或作出含有此角的三角形,并解之并解之.(4)取舍取舍:因为异面直线所成角因为异面直线所成角的取值范围是的取值范围是090,所以所作的角为钝角时所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线应取它的补角作为异面直线所成的角所成的角.如图所示，在四棱锥如图所

24、示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为中，底面是边长为2的菱的菱形，形，DAB=60,对角线对角线AC与与BD交于点交于点O，PO平平面面ABCD，PB与平面与平面ABCD所成角为所成角为60.(1)求四棱锥的体积；求四棱锥的体积；(2)若若E是是PB的中点，的中点，求异面直线求异面直线DE与与PA所成角的余弦值所成角的余弦值.返回目录返回目录 返回目录返回目录（1）在四棱锥）在四棱锥PABCD中，中，PO平面平面ABCD，PBO是是PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，即即PBO=60,在在RtPOB中，中，BO=ABsin30=1,又又POOB，PO=BOtan60=,底面菱形的面

25、积底面菱形的面积S=2 22 =2 ，四棱锥四棱锥PABCD的体积的体积VPABCD=2 =2.3 32 21 12 23 33 33 31 13 33 3返回目录返回目录(2)取取AB的中点的中点F，连接，连接EF，DF，E为为PB中点，中点，EFPA.DEF为异面直线为异面直线DE与与PA所成角（或其补角）所成角（或其补角）.在在RtAOB中，中，AO=ABcos30=OP,在在RtPOA中，中，PA=，EF=.在正三角形在正三角形ABD和正三角形和正三角形PDB中，中，DF=DE=，由余弦定理得由余弦定理得cosDEF=异面直线异面直线DE与与PA所成角的余弦值为所成角的余弦值为 .3 36 62 26 63 32DEEF2DEEFDFDF-EFEFDEDE2 22 22 2+.4 42 22 23 34 46 62 26 63 32 2)3 3(-)2 26 6()3 3(2 22 22 2=+=4 42 2返回目录返回目录 返回目录返回目录