克罗内克德国LeopoldKronecker82389

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1、克罗内克（德国）Leopold Kronecker（18231891）God made the natural numbers,all else is the work of man.第第 8 讲讲数学危机The Crisis in Mathematics 第一次数学危机 第二次数学危机 万物皆数！无理数的发现 万物皆数？数与量的分离毕达哥拉斯Pythagoras(ca 560ca 480 BC)点是位置的单位元素 任意两条线段都是可公度的万物皆数Everything is a number 宇宙的和谐:一切事物都可以归结为整数与整数之比112222bacabcyx2x、y互素222yx zx

2、22224yz 222zy x、y均为偶数希帕苏斯Hippasus(公元前470年左右）2是一个不可公度的数 不可公度量的发现 自然数是一切的基础 素数:数的原子 不可公度:数的原子？芝诺 Zeno 约495 BC 430 BCO 原子论:点是位置的单位元素 芝诺悖论（伽利略的模型）CDBAQPCD=2ABCD=AB?欧多克斯Eudoxus（409356 BC)几何原本 第5卷 不可公度量的比例理论 穷竭法 Exhaustion 比例的定义（将比例理论由可公度量推广到不可公度量）若 ma nb，则 mc nd若 ma nb，则 mc nd若 ma nb，则 mc nd则称dcba 设a、b;c

3、、d是两对同类的几何量。如果对于任意的自然数m、n，满足关系:亚里士多德Aristotle(384-322 BC)范畴篇 数（有理数）离散的 量（线段、时间、角度）连续的欧几里得Euclid(ca.325-ca.270BC)必须承认，直觉是不可靠的 几何原本 1482年 威尼斯 数学的基本问题:什么是量？无理数不过是一些记号，脱离了几何量这个载体，便不复存在了。巴罗Isaac Barrow(1630-1677)万物皆数万物皆量 第二次数学危机 第一次数学危机 万物皆数！微积分与无穷级数 无穷小是什么？分析严格化 运动 微分:速度、切线、极值 积分:距离、面积、体积运动是不存在的ts,时刻t2)

4、(ttss222)(2ttttst2)(2ttts自由落体:2ts 牛顿Isaac Newton(1642-1727)2)(2tttsttts2ttsv20t贝克莱主教Bishop George Berkeley(1685-1753)微分与积分:无穷级数的形式 微积分的应用 牛顿求积分:二项式定理86422111xxxxx011)11()11(）（432111xxxxx111)11()11(1）（1111121(x=1)1684211(x=-2)危机的加剧达朗贝尔（法国）J.-le-R.dAlembert(17171783)人们总是热衷于扩大数学的范畴，却很少阐明其来源，注重向高层次发展，而很

5、少考虑加固它的基础。(1743)1800年前后:庞大的分析学陷入困境 证明的严密性 函数概念的模糊 无穷级数的发散 罗尔(法国,Michel Rolle,16521719)微积分只是一些精巧的谬误的集合 什么是连续？雅典学园 演绎数学的兴起 第一次数学危机的产物 拉克鲁瓦（法国,S.F.Lacroix,17651843)微积分教程:希腊人所烦恼的这种琐碎的东西，我们不再需要了！克莱洛（法国）Alexis-Claide Clairaut(17131765)欧几里得自找麻烦地去证明是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者，而这些人是以拒绝最明显的真理而自豪的。因此，象逻辑那样，集

6、合必须依赖形式推理去反驳他们。但是，一切都倒了个个，所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理，只能掩盖真理，使读者厌倦，在今天人们对它已不屑一顾了。西尔维斯特（英国）James Sylvester(18141897)我还没有证明这个结果，但是，我能像肯定任何必然事物一样肯定它。在这个基础上，我们证明 对不起，上节课假定的结果错了。让我们重新假设雅可比（德国）Jakob Jacobi(18041851)要达到像高斯那样的严密，我们没有时间！高斯(1812年):无穷级数的收敛性 严密性使数学家们丧失了兴趣柯西（法国）Augustin Cauchy(17891857)贡献贡献：函数、极限、连续、导数

7、、积分、收敛级数、微积分基本定理、柯西收敛准则 不足不足：无限趋近、想要多小就多小等含混描述，函数连续、连续则可导等错误认识外尔斯特拉斯（德国）Karl Weierstrass(18151897)1872年:处处不可微的连续函数-语言 一致收敛的必要性 重新定义基本概念 积分:病态函数的构造 无穷多间断点函数可积 对直觉的不信任 高斯（德国）Karl F.Gauss(1777-1855)分析应建立在算术的基础之上 1817年:真理只存在于算术之中 万物皆数！第一次数学危机 第二次数学危机 数系的扩张 无理数的逻辑基础 新的危机 当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，却发现它们无止境地往

8、远处跑，因而没有一个无理数实质上能被我们准确地掌握住。而本身缺乏准确性的东西，就不能称其为真正的数。因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。斯蒂费尔（德国,Michael Stifel,14861867)自然数整 数:加法、减法 整 数有理数:乘法、除法 有理数无理数:乘方、开方 整 数（加法、减法）自然数 有理数（乘法、除法）整 数 无理数（乘方、开方）有理数？1222)116(116?3524)2(4 加、减、乘、除、乘方、开方 无理数有理数？53初等无理数:352 复合无理数:01110nnnnaxaxaxa 代数数 所有有理系数多项式方程的根 勒

9、让德（法国,A.-M.Legendre,17521833）可能不是代数数实数无理数有理数超越数？代数数 欧拉(瑞士，Leonhard Euler,17071783)超越数:超越了代数的能力 有理数 初等无理数 复合无理数刘维尔（法国）Joseph Liouville(18091882)1844年 超越数的存在1873年:e是超越数埃尔米特（法国）Charles Hermite(18221901)林德曼（德国）Ferdinand Lindermann(18521939)1883年:是超越数康托尔（德国）Georg Cantor(18451918)戴德金（德国）Julius Dedekind(18

10、311916)定义实数:在有理数域上 建立实数的运算法则 康托尔:实数=有理数+无理数(1883)戴德金:连续性与无理数(1872)康托尔 实数:良序、无界、封闭、稠密 有理数:不完备（充满空隙）实数:“单调有界数列必收敛”实数:有理数的一个（柯西）序列(a1,a2,an,)an a戴德金 有理数=线段长度:数轴上的一个点 无理数:填补数轴上的空隙aA1A2 实数:有理数的一个集合实数a 分割(A1,A2)康托尔（德国）Georg Cantor(18451918)连续统:良序、完备的集合 实数的集合:算术连续统 直线上的点:线性连续统万物皆数 戴德金-康托公理:直线上任何一点都与实数域的一个数一一对应。The End