《高数最大值与最小》PPT课件

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1、二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点极值点或端点端点处达到.求函数最值的方法求函数最值的方法:(1)求求 在在 内的极值可疑点内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2)最大值最大值 maxM,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf最小值最小值 minm,)(1xf,)(2xf,)(,mxf,)(af)(bf机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别:当当 在在 内只有内只有一个一个极值可疑点时极值可疑点时,)(xf,ba当当 在在 上上单调单调时时,)(xf,ba最值必在端点处达到最值必在端点处达到.若在此点

2、取极大若在此点取极大 值值,则也是最大则也是最大 值值.(小小)对应用问题对应用问题,有时可根据有时可根据实际意义实际意义判别求出的判别求出的可疑点是否为最大可疑点是否为最大 值点或最小值点值点或最小值点.(小小)机动 目录 上页 下页 返回 结束)1292(2 xx1224)9(209681012922xx()f xx注：041x250 x140 x520 x例例3.求函数xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.解解:显然,)(2541Cxf且)(xf,)1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx,)2)(1(6xx,)2)(1(

3、6xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内有极值可疑点在,)(2541xf2,1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5)1(f,4)2(f5)(25f故函数在故函数在0 x取最小值取最小值 0;在在1x及及25取最大值取最大值 5.521214因此也可通过因此也可通过例例3.求函数说明说明:)()(2xfx)(x求最值点求最值点.)(xf与与最值点相同最值点相同,由于由于)(x令令(自己练习自己练习)xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.铁路上铁路上 AB 段的距离为段的

4、距离为100 km,工厂工厂C 距距 A 处处20AC AB,要在要在 AB 线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货为使货20AB100C物从物从B 运到工厂运到工厂C 的运费最省的运费最省,问问D D 点应如何选取点应如何选取?DKm,公路公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:设设,(km)xAD 则则,2022xCD)100(320522xkxky)1000(x,)34005(2xxky23)400(40052xky 令令,0 y得得,15x又又,015 xy所以所以 为唯一的为唯一

5、的15x极小点极小点,故故 AD=15 km 时运费最省时运费最省.总运费总运费从而为最小点从而为最小点,机动 目录 上页 下页 返回 结束 20AB100CxD(k 为某一常数为某一常数)例例5.要做一个上、下要做一个上、下 均有底的圆柱型容器，容积是均有底的圆柱型容器，容积是常量常量V0，问底半径问底半径r为多大时，容器表面积最小？为多大时，容器表面积最小？解解:设容器的高为设容器的高为h，则容器的表面积则容器的表面积222Srrh又因为又因为2002VVr hhr2022,(0)VSrrr30022244()2VVSrrrr 令令0S 得得 30.2Vr得目标函数得目标函数机动 目录 上

6、页 下页 返回 结束 rh03440VSr 故故 表面积最小，为表面积最小，为 .30.2Vr3203 2.V例例6.一个顶角为一个顶角为900 的圆锥形内盛有的圆锥形内盛有V0L水，现水，现往里灌水，从时刻往里灌水，从时刻t0到时刻到时刻t时灌入的水量为时灌入的水量为at2(a0)L，问何时水深问何时水深h上升的速度最快？上升的速度最快？解解:设经过时间设经过时间t，水深为水深为h，水面半径为水面半径为r，则则水的体积为水的体积为22013Vatr h又因为又因为rh13203()(0)hVatt12322300332()()()()9atv th tVatVat得得机动 目录 上页 下页

7、返回 结束 得目标函数得目标函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令0v 得唯一驻点得唯一驻点 03.Vta由题意，目标函数的最大值存在，且驻点唯一，由题意，目标函数的最大值存在，且驻点唯一，故故252223300033221()()()()399atav tVatVatVat时，水深时，水深h上升的速度最快。上升的速度最快。03.Vta例例7.7.某工厂生产电视机，固定成本某工厂生产电视机，固定成本a元，每生元，每生产一台电视机，成本增加产一台电视机，成本增加b元，已知总收益元，已知总收益R是是年产量年产量x的函数的函数,21()4,04.2RR xbxxxb机动 目录 上页 下页 返回

8、 结束 问每年生产多少台时，总利润最大，为多少？问每年生产多少台时，总利润最大，为多少？解解:根据题意总成本根据题意总成本C是年产量是年产量x的函数，得的函数，得()CC xabx总利润总利润=总收益总成本总收益总成本21()()()3,04.2LL xR xC xbxxaxb()3,04.L xbxxb所以所以L（x）有唯一驻点）有唯一驻点x3b所以当年产量所以当年产量x3b时，总利润最大，为时，总利润最大，为24.5(ba元）。机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.连续函数的极值连续函数的极值(1)极值可疑点极值可疑点:使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2)第

9、一充分条件第一充分条件)(xf 过过0 x由由正正变变负负)(0 xf为极为极大大值值)(xf 过过0 x由由负负变变正正)(0 xf为极为极小小值值(3)第二充分条件第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极为极大大值值)(0 xf为极为极小小值值0)(,0)(00 xfxf(4)判别法的推广判别法的推广(Th.3)定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习2.2.连续函数的最值连续函数的最值1.设,1)()()(lim2axafxfax则

10、在点 a 处().)()(xfA的导数存在,；且0)(af)()(xfB取得极大值;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设)(xf在0 x的某邻域内连续,且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A)不可导;(B)可导,且;0)0(f(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示提示:利用极限的保号性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.设)(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A)取得极大值;(B)取得极小值

11、;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA机动 目录 上页 下页 返回 结束 得令,0 xx 试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解解:)(xf由题意应有)32(f2a又)(xf)32(f )(xf取得极大值为3)(32f备用题备用题 1.coscos3,axx)32(3cos)32cos(a0,3sin3sin2xx 0求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束 上的在 1,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1()().(limnMn解解:)(xf,0)(x

12、f令(0,1)得内的唯一驻点)1(1)1(1xnxnn2.nxn)1(1)1(nxnxn机动 目录 上页 下页 返回 结束,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1()1nnn)11()(nfnM)(limnMn1e1)111(limnnn11nx例例5.把一根直径为把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高的高 h 和和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?解:由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为hbd261hbw,)(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd

13、22bdhd32即由实际意义可知由实际意义可知,所求最值存在所求最值存在,驻点只一个驻点只一个,故所求故所求结果就是最好的选择结果就是最好的选择.机动 目录 上页 下页 返回 结束 cossin)(sincos)(令,0)(解得arctan25.0arctan214,0)(而,)(214取最大值时因而因而 F 取最小值取最小值.解解:FP即令则问题转化为求的最大值问题.,sincos5gF,02sincos)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角 最大)?观察者的眼睛1.8 m,例例7.一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于x4.18.1解解:设观察者与墙的距离为 x m,则x8.14.1arctan,8.1arctanx),0(x222.32.3x228.18.1x)8.1)(2.3()76.5(4.122222xxx令,0得驻点),0(4.2x根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束