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1、专题 15角含半角模型破题策略1 等腰直角三角形角含半角如图，在 ABC 中，AB=AC,ZBAC=90。，点 D, E在 BC 上且ZDAE=45（1）BAEsADEsACDA（2）BD2CE2=DE2证明（1）易得 ZADC=ZB+ZBAD=ZEAB,所以 BAEsADEsCDA.（2）方法一（旋转法）：如图1,将厶ABD绕点A逆时针旋转90。得到 ACF,连结EF.则ZEAF=ZEAD=45, AF=AD, 所以 ADEAFAE ( SAS ). 所以DE= EF.而 CF=BD,ZFCE=ZFCA+ZACE=90,所以 BD2+ CE2 = CF2 + CE2 = EF2 = DE2
2、.方法二(翻折法)：如图2,作点B关于AD的对称点F,连结AF, DF, EF.C因为 ZBAD+ZEAC=ZDAF+ZEAF, 又因为 ZBAD=ZDAF,则 ZFAE=ZCAE, AF=AB=AC, 所以 FAEsCAE (SAS). 所以EF= EC.而 DF=BD, ZDFE=ZAFD+ ZAFE=90, 所以 BD2+ EC2= FD2+ EF2= DE2.【拓展】如图，在 ABC中，AB=AC, ZBAC=90，点D在BC上，点E在BC的 延长线上，且ZDAE=45，贝BDs+CE2 = DE2.可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：B D C EB D C E将等腰直角三角形变成
3、任意的等腰三角形：如图，在ABC中，AB=AC，点D, E在BC上,且ZDAE= 1 ZBAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为1802Z BAC.可以通过旋转、翻折的方法将BD, DE, EC转移到一个三角形中，如图:C2 正方形角含半角如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在边BC, CD上，ZEAF=45，连结EF,贝呱图11)2)3)1)EF=BE+DF;如图2,过点A作AG丄EF于点G,则AG=AD；如图3,连结BD交AE于点H,连结FH.则FH丄AE.如图4,将厶ABE绕点A逆时针旋转90得到AADI证明.I则 ZIAF=ZEAF=45, AI=AE,所以
4、AEFsAIF (SAS), 所以 EF=IF=DIDF=BEDF(2) 因为 AEFsAIF, AG丄EF, AD丄IF, 所以 AG=AD(3) 由ZHAF=ZHDF=45。可得A, D, F, H 四点共圆， 从而 ZAHF=180-ZADF=90,即FH丄AE.【拓展】如图，在正方形ABCD中，点E, F分别在边CB, DC的延长线上，ZEAF= 45，连结 EF,则 EF=DFBE.可以通过旋转的方法来证明.如图:如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD+ZC=1801点 E, F 分别在 BC、CD 上, ZEAF= ZBAD，连结 EF，则 EF=B
5、E+DF.可以通过旋转的方法来证明.如图:例题讲解例1如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上, ZEAF=45 .(1) 试判断BE、EF、FD之间的数量关系.(2) 如图 2,在四边形 ABCD 中，ZBADH90。，AB=AD.ZB+ZD=180，点 E、F分别在BC、CD 上，则当ZEAF与ZBAD满足关系时，仍有 EF=BE+FD.(3)如图3.在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD = 80m,ZB=60,ZADC=120,ZBAD=150，道路 BC, CD 上分别有景点E, F,且AE丄AD. DF=40 (朽-1) m.现要在E、F之
6、间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长.(结果取整数，参考数据:込=1.41, *3 =1.73)解：(1)由“正方形内含半角模型”可得EF=BE+FD. (2)ZBAD=2ZEAF,理由如下：如图4,延长CD至点G,使得DG=BE.连结AG. 易证 ABEADG (SAS).所以AE=AG, 即 EF=BE+DF=DG+DF=GF. 从而证得厶AEFAGF ( SSS).11所以 ZEAF=ZGAF= ZEAG= ZBAD.22(3)如图5,将厶ABE绕点A逆时针旋转1 50至厶ADG.连结AF. 由题意可得ZBAE=60所以 ABE和厶ADG均为等腰直角三角形. 过点A作AH丄DG于点H.
7、贝y1DH=心4血AD=40 *3 m.而 DF=40 ( *3 1)m.所以ZEAF=ZGAF=45 .可得 EAFGAF (SAS).所以 EF =GF=80m+40 ( 丫3 l) m109. 2m.例2如图，正方形ABCD的边长为a, BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足ZMAN = 45 .连结 MC、NC、MN.(1) 与厶ABM相似的三角形是, BMDN= (用含有a的代数式表示)；(2) 求ZMCN的度数；（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.N解：(l)ANDA, a2.2)由可得BMDADABND所以BMBCDCDN易证 ZCBM=ZNDC
8、=45, 所以 BCMsDNC.则 ZBCM=ZDNC,所以ZMCN =360 一ZBCD一ZBCM一ZDCN= 270 (ZDNC+ZDCN) = 270(180ZDNC) = 135.(3) BM2 + DN2 二 MN2，证明如下：如图，将 ADN绕点A顺时针旋转90，得到 ABE,连结EM. 易得 AE=AN. ZMAE=ZMAN=45，ZEBM=90，所以AA MEAMN. (SAS).则 ME=MN.在 RtABME 中，BM2 + BE2 二 EM2所以 BM 2 + DN 2 = EM 2.N倒 3 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,ZBCD=90, AB=BC+AD,
9、为CD 上一点，且ZBAE=45 若CD=4,求厶ABE的面积.ZDAC=45, E解：如图1.过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点F.由ZDAC=45 得 AD=CD.所以四边形ADCF为正方形.从而 AF= FC=4.令 BC=m,则 AB=4+m, BF=4m.在 RtAAFB 中，有 16+(4m) 2(4+m) 2 所以 AB=5, BF=3.如图2.将 ADE绕点A逆时针旋转90至厶AFG. 易证 AGH今AAEB.令 DE=n,则 CE=4 n, BE=BG=3+n4在 RtABCE 中，有 1+ (4n)2=(3+n)2,解得 n= 7.25所以BG= 丁.1 50从而 S二
10、 S 二 AF BG =.AABEAABG,ZADC=90。，可图2进阶训练,BD=CD,ZMDN =1. 如图，等边ABC的边长为1,。是厶ABC外一点且ZBDC=120 60，求AAMN的周长.AMN的周长是2【提示】如图，延长AC至点E,使得CE =BM，连结DE.先证 BMDACED,再证 MDN EDN即可.E2. 如图，在正方形ABCD中，连结BD, E、F是边BC, CD 上的点，ACEF的周长是正方形ABCD 周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N,试判断线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证 明.解：BM2 + DN2 = MN2.【提示】由厶CEF周长是正方形ABCD
11、周长的一半，想到“正方形角含半角”，从而旋转构 造辅助线解决问题（如图1）,证厶AEF9AAGF,得ZMAN=斗ZBAD=4,然后，再由“等 腰直角三角形含半角”（如图 2）即可证得.图1图23. 如图，在 ABC中，ZACB=90。，点D在边AB上，DE丄BC于点E,且DE=BC，点F在 边AC 上，连结BF交DE于点G,若ZDBF=45，DG=斗，BE=3，求CF的长.解：cf=m .【提示】如图，将DE向左平移至BH，连结HD并延长交AC于点I,则四边形HBCI为正方形.将 BHD绕点B顺时针旋转90至厶BCJ，则点J在AC的延长线上.连结DF，由“正方形角 含半角模型”可得DF=DH+CF，ZDFB=ZJFB=ZDGF，所以DF=DG，从而求得CF的长.FC
专题15《角含半角模型》
