c6 多元回归分析

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1、第6章多元回归分析：进一步的专题摘要：本章进一步讨论若干多元回归分析问题，对实证分析很有帮助。6.1OLS统计的数据缩放效应在C2中简单讨论了变量的单位变化对回归参数和心值的影响。由于/值实际上是y的拟合值和实际值相关系数的平方，所以其不会受数据缩放的影响。类似地，可以预期变量单位改变对回归参数及其标准误、回归标准误、置信区间、t统计量、F统计量的影响。见如下的例子：第二列改变了因变量的单位，从原来的盎司改为镑（数据缩小16倍）；第三列改变吸烟量这个自变量的单位,从原来的日支数变为日包数（数据缩小20倍）o相关回归结果如下表：DependentVariable(Dbwght(2)bwglitl

2、hs(3)hwghtIndependentVariables呃-.4634(.0916)*.0289(.0057)packs-9.268(1.832)famine.0927(.0292).0058(.0018).0927(.0292)intercept116.974(1.049)7.3109(.0656)J16.974(I.Q49)Observations1.38813881.388/-Squared029X.0298.0298SSR557485.512J77.6778557.485.51SER20.0631.253920.063Beta系数在某些实证分析中，自变量的现实意义是很难解释的，例如

3、,在劳动经济学中，经常收集一些得分数据，这些数据变量的分数设置是很任意的，从而解释起来比较困难。此外，我们有时也希望了解不同类型的自变量在模型中的重要程度。此时，对因变量和自变量进行标准化后，再进行回归建模，可能是一个不错的选择。也就是，我们可以讨论自变量增加或减少一个标准差后给因变量带来的影响。有如下的OLS回归方程:Yi=To+T1XU+T2Xi,2+TkXtk+Uif用它们的平均方程去减它们:Yi-y=Ti(xti一Xi)+可2(Xi,2一X2)+Tk(xtk一xk)+标准化后得到:yi-y.axxPl(Xij-Xx)jx2P2(Xi,2-X2)jGxkPk(x-Xr)|cryaxjay

4、ax2ayaxk或者改写成称：AAAZy=bZi+b2z2+bkzk+error.上述的z变量分别被称为y和各个自变量的Z-得分。问：哪些重要的统计量不会被改变？6.2函数形式的再讨论对数函数形式讨论如下的回归方程：logprice)=9.237181og(nox)+306rooms,在该问题中由于rooms的变化单位是1,这是自变量的很大变化。在固定nox的前提下，10002门00*.306来近似%可能不合适了，所以此时我们采用如下公式计算：%Ay=100*(exp(02Ax2)1),在此例子中，当增加1个房间时，%Ay=35.8%,而减少一个房间时，%Ay=-26.4%对变量取对数的优点7

5、)正态化y(对称化，减小厚尾和异方差现象)，使其更容易满足CLM；2)减小异常值的影响。含二次函数(Quadraticfunctions)的模型二次函数可用于对单增或单减的边际效应的建模。若回归方程为:歹=石0+T1X+T2x2,Ayu（Ti+T2x）Ax,请解释该边际效应；如何解释二次函数最小值（怎么计算）两边的完全反向的边际效应。带交叉项的模型(Modelswithinteractionterms)price=Po+P1sqrft+P2bdrms+Bgsqrft*bdrms+P4bthrms,请解释上述回归方程中交叉项所表示的含义?我们更倾向于在均值（中值）、上四分位数或下四分位数处讨论模

6、型。因此，对回归模型：Stndfnl=2.05-.0067atndrte-1.63priGPA-1.28ACT+.296priGPA2+.0045ACT2+.0056priGPA.atndrte(1.36)(.0102)(.48)(.098)(.101)(.0022)(.0043)N二680,R-方二.229,修正R-方等于二.222;讨论priGPA的均值2.59处的偏效应，则有AStndfnIu-.0067+.0056*2.59+.0056(priGPA-2.59)Aatndrte二.0078+.0056(priGPA-2.59)Aatndrte请检验.0078是否统计显著？6.3修正R-

7、方R2=1-曙寻，由此可以定义总体R2（populationR-2squared）:p2=1-而其的一个合理估计是修正R2adjustedR-squared)=R2=1SSR/(n-k-l)SST/(n-l)几点说明：1）妄仍然不是总体p2一个无偏估计；2）它在变元个数和SSR之间做了一个适当的权衡；3）一个新变量进入模型当且仅当其t值大于一个单位；一组新变量进入模型当且仅当其联合显著性的F值大于一个单位；4）妄有时为负数。应用修正R?来选择非嵌套模型非嵌套模型nonnestedmodeIs）是指任意一个模型并不是其它模型的特例。有时变量间的共线性会使得本来显著的变量变成不显著，那么我们只能互

8、斥性地选择其中的部分变量。此时，修正R-方比起R-方和F统计量都较优。但要注意，修正R-方只能在因变量都相同的非嵌套模型间做出选择。在回归分析中控制了太多因素有时引入一个变量难以让人理解，或者根本就控制不住，这些变量就不应该被引入。记住一句话，不同的模型服务于不同的目的。加入回归元来减少标准误如果一个自变量和其它自变量不相关，那么引入它通常可以减少回归标准误。6.4预测和残差分析预测Predictions）受限于抽样方差，本节讨论因变量预测的置信区间。残差分析也能提供额外的信息。预测的置信区间ConfidenceIntervalsforPredictions）有关于被预测变量某点取值的总体方程

9、：o=卩o+0ici+Pkk=E(y|XCqX?=，Xk=Ck），其样本方程为：eo=B0+015+pkck,如何得到该点的置信区间？方法是将被预测变量某点取值的总体方程代入总体模型，消去（3。得：y=6o+Bi（xi_ci）+Pk（xk-Ck）+u.然后估计即可。上述方法可以得到均值方程的区间估计。对于某个样本值yo,其置信区间（预测区间，predictioninterval）还受扰动项的影响，即:yo=B0+B1C1+Pkk+u0=e0+llo，由于o和i】o相互独立和预测误差predictionerror)为u0=e()+uo-石o从而，Var(u0)=Var(u0)+Var(T0)=o

10、2+Var(T0),从而有（io的标准误:se（u0）=+var（o）由此基于构造0k的置信区间的同样方法，可构造y的置信区间。残差分析residualanaIys/s)残差的用途：1)正的和负的信号的作用；2)评价排序；3)司法判决；因变量是log(y)时对y的预测假定总体模型是logy)=卩+01x1+P2x2+PkXk+U,其回归方程为:logy)=阮+石+T2x2+Tkxk,用歹=exp迫殛)来预测将系统地低估y的值。事实上，满足CLM假定则有：E(y|x)=exp(才)exp逊00+B讯+P2x2+卩kxk),其中exp(斗)1.对于u只满足独立于各自变量而不一定满足正态分布时，上式

11、可调整为：E(y|x)=aexp哩B+(31x1+p2x2+Pkxk),其中a=E(exp(u)1如果得到了那么y的预测值为：歹二dexpigl碗)(是y的一致估计量，但不是无偏的).&有两种估计方法。1)矩法估计：&二黑孤)这是一n个一致估计量，但不是无偏的，这被Duan(1983)称为污染估计值(Smearingestimate).2)过原点回归估计。事实上，由E(yi|x)=aexp(Po+P+02xi2+Pkxik)=anii,先得到g的估计Gi,然后利用过原点回归来得到N,该估计也是一致估计量，但不是无偏的，并且不能保证方总大于仁关于对数模型的拟合优度，可以通过估计和刃之间的相关系数，并取其平方后获得。