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1、第五节第五节 函数的微分函数的微分 一、微分的概念一、微分的概念 定义2.4 若函数)(xfy 在点x处有导数),(xf 则称 xxf)(为函数)(xfy 在点x处的微分，记作 即,dyxxfdy)(这时，称函数)(xfy 在点x处的微分，或简称函数可微。例 求 2xey的微分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 dxxedxedxydyxx222 )(解例 求函数2xy，当x由1改变到1.02时的微分 dy与改变量 y解xxxxxydy 2)(2当 时，02.0,1xx04.0dy0404.01)02.1(22y可见 dyy与相差很小，而当 时，0 xdyy 将更快趋向于零。机动 目录 上页
2、 下页 返回 结束 二、微分的几何意义二、微分的几何意义 设曲线)(xfy 在点),(yxM处的切线为MT，点N),(yyxx为曲线上点M的邻近点（如图）。切线MT的斜率)(tanxfk机动 目录 上页 下页 返回 结束 不难看出，dyxfxMQPQ)(tan 因此，函数)(xfy 的微分 dy在几何上表示了当自 变量x改变了 x时，切线上相应点纵坐标的改变量。图中 yNQ，它是当自变量改变了 x时，曲线上相应点纵坐标的改变量。三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用 由微分的定义可知，若函数)(xfy 在点x处有导数，那未当 0 x时，有。dyy 机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束 于是可以用函数的微分来近似代替函数值的改变量，即 xxfxfxxfooo)()()(时）（当0 x解 设S，R分别表示金属圆片的面积与半径，则2RS于是 RRRRdsS2)(2例 半径为10厘米的金属圆片加热后,半径增长了0.05 厘米，问面积大约增加了多少？现以R=10cm，R=0.05cm 代入得 机动 目录 上页 下页 返回 结束)(05.01022cmS答：面积大约增加了平方厘米由近似式)0 x()()()(时当xxfxfxxfooo即可得到 xxfxfxxfooo)()()(因此可以利用它计算某点处函数值的近似值。例 求 02.1arctan的近似值（精确到0.001）解 令 x
4、xfarctan)(于是 211)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 795.0 02.0214 02.0)1()1()02.01()02.1(02.1arctanffff在近似式 xxfxfxxfooo)()()(中，如果令 xxxo，则有)()()(oooxxxfxfxf再令,0ox于是得到 xffxf)0()0()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 此式表明，不论)(xf那么复杂，只要)0(f 存在，那末在 0 x附近，函数)(xf都可以用线性函数来近似代替。例 试证，当x很小时，有 xnxn111证 令 nxxf 1)(，于是 11)1(1)(nxnxf,1)0(fnf1)0
5、(机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入 xffxf)0()0()(即得到 xnxn111类似地，当 x很小时，可得以下近似式：nxxxxxxn1)1(,tan ,sin等等作业：P60 23(2),25,26(2)(3),27(2)28机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.
五节函数的微分
