第二章条件概率与独立性

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1、第二章 条件概率与独立性第一节 条件概率与事件独立性例 假设有一批灯泡共 N个，其中有 AN个是合格品，有 BN个是甲厂生产的，在甲 厂生产的 BN个灯泡中有 ABN个是合格品。从 N个灯泡中随机地取一个，设A=“取得合格品”，B=“取得甲厂生产”一条件概率定义：设,A B为二个事件，A发生的情况下，事件 B发生的条件概率为()P B A，且()().()P ABP B AP A记在事件()0,P A 且A “两颗骰子出现点数之和为7”例1 考察掷两颗骰子的试验。已知两颗骰子出现点数之和为7，求其中有一个是3点的概率。3B “其中有一个是 点”乘法定理：设 12,nA AAn为 个事件，121

2、()0,nP A AA且则 1212131211211()()()()()()nnnnnP A AAP A P A A P A A AP AAAP A AAP19 例2-3 一批零件共100件，其中有10件是次品，每次从中任取一件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。1,2,3kAkk“第 次取出的是合格品”，例2 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机也未被击落，则再进行攻击，击落乙机的概率为0.4。求在这几个回合中，甲机被击落的概率和乙机被击落的概率。A “第一回合，甲机向乙机开火，击落乙机”B “第二回

3、合，乙机向甲机开火，击落甲机”C “第三回合，甲机向乙机开火，击落乙机”二事件独立性1两个事件的独立性P20 例2-4袋中有a只黑球和b只白球，采取有放回摸球，陆续取出两球，求（1）在已知第一次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；（2）第二次摸出黑球的概率。()(),()()P B AP B P B AP B定义：AB设事件 和 满足()()()P ABP A P BAB则称 和 相互独立，否则称为不独立。A “第一次摸出的是黑球”B “第二次摸出的是黑球”例3 掷一枚硬币和一颗骰子。定义A=“硬币出现正面”，B=“骰子出现奇数点”讨论事件,A B的独立性。(,1),(,2),(,3),(

4、,4),(,5),(,6),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,6)HHHHHHTTTTTT 例4 一个家庭中有若干个小孩，假定生男生女是等可能的，令A=“一个家庭中有男孩又有女孩”B=“一个家庭最多有一个女孩”（1）家庭中有两个小孩，（2）家庭中有三个小孩。对上述2种情况，讨论事件,A B的独立性。(1)(,),(,),(,),(,)B BB GG BG G(2)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)B B BB B GB G BG B BG G BG B GB G GG G G 讨论,A B“互不相容”,A B“独立”和 性质：若,A B独立，则,

5、A BA BA B“”，“”，“”也独立。2多个事件的独立性先讨论三个事件独立要满足什么条件。定义：设有 12,nnA AA个事件，若 1212()()()()kkiiiiiiP A AAP A P AP A其中 12,1,2,ki iink为中的 个数，2,kn则称 12,nA AA否则称为不独立。相互独立，例5 设随机试验中，某一事件 A出现的 概率为 0，证明：不论 多么小，只要不断地，独立地重复做此试验，则事件 A迟早会发生的概率为1。性质：设 12,nA AA相互独立，则 1212()1()()()nnP AAAP A P AP A P23 例2-9第二节 全概率公式和贝叶斯公式例1

6、 有外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个。其中第一个盒子中7个球标有字母 A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球 2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。A“第一次取到标有字母A的球”B “第一次取到标有字母B的球”R “第二次取到红球”W “第二次取到白球”()P R定义：设 12,nA AA满足 12nAAA 则称 12,nA AA为 的一个分割。全概率公式：设 12,

7、nA AA为 的一个分割，B为任一事件，则 1()()()niiiP BP A P B A例2 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。若该厂规定，出了次品要追究有关流水线的经济责任。现在出厂产品中任取一件，结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？iAi“产品来自第 条流水线”,1,2,3,4i B “抽出的产品为次品”41()()()0.0315iiiP BP A P B

8、 A1234()23.8%,()25.4%,()28.6%,()22.2%P A BP A BP A BP A B贝叶斯公式：设 12,nA AA为 的一个分割，B为任一事件，且()0,P B 则1()()(),1,2,()()kkkniiiP A P B AP A BknP A P B A()()ikP AP A B称为先验概率，称为后验概率例3 在电报通讯中，发送端发出的是由“。”和“”两种信号组成的序列，而由于随机干扰的存在，接收端收到的是由“。”，“不清”和“”三种信号组成的序列。信号“。”，“不清”和“”分别简记为0，x，1。假设已知发送0和1的概率分别为0.6和0.4；在发出 0的

9、条件下，收到0，x和1的条件概率分别为0.7，0.2和0.1；在发出1的条件下，收到 0，x和1的条件概率分别为0，0.1和0.9。试分别计算在接收信号为x（不清）的条件下，原发出信号为0和1的条件概率。0,1iAii“发出的信号为”，0,1jBjjx“接收到的信号为”，01()0.75,()0.25xxP A BP A B 第三节 贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，()(01),()1P AppP Apq 将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。kBnAk“次独立试验中事件 发生 次”5n 12345678910111

10、21314(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A A 151617181920212223242526272829,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(A A A A AA A

11、 A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A A303132,),(,),(,)A A A A AA A A A AA A A A AiAiA“第 次试验中 发生”(),iP Ap1,2,3,4,5i 12345,A A A A A 独立8123451234532()()()()()()()PP A A A A AP A P A P A P A P Ap q032B12728293031,B2171826,B3781

12、6,B 423456,B 51B37816()()()()P BPPP3325C p qiAiA“第 次试验中 发生”(),1,2,iP Ap in12,nA AA独立，121,(),ikkkn kjiiijjjPAAp q(),0,1,kkn kknP BC p qkn01,nB BB互不相容001110()1nnnnnnnnC p qC p qC p qqp0()1,0,1,kkn kknP BC p qkn例1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立。现因当地电力供应紧张，供电部门经研究只提供5

13、0千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率。A “10台机床能够正常工作”kBk“10台机床中有 台机床开动”0,1,10k 105551000014()()()55kkkkkkkkP APBP BC 0.994101014(),0,1,1055kkkkP BCk P28 例2-14 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛。如果每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解：我们必须假定各局比赛结果相互独立（1）采用三局二胜制12:A “甲0胜”22:1A “甲胜”1212()()()P AAP A

14、P A22012()0.60.4P AC22123()0.60.4P AC1:1BC“前二局”“第三局甲胜”,B C相互独立2()()()()P AP BCP B P C1112()0.6 0.4,()0.6P BCP CP33 习题9 设 nAn“第 次出现正面”，()nnP Ap1111()()()()()nnnnnnnnpP AP AP A AP AP A A11(1)(1)nnpppp11(21)(1),nnpppppcP33 例10 设 nAn“第 次黑球在甲袋”()nnP Ap1111()()()()()nnnnnnnnpP AP AP A AP AP A A1111(1)nnNp

15、pNN11211,nnNNpppNNNP33 习题7A “产品被接收”iBi“二件产品中有 件次品”20()()()iiiP AP B P A B21122277332221010100.990.05 0.990.050.4806CC CCCCCP33 习题110,1,iAiin“袋中有 个白球”，Bk“共取 次，均为白球”1(),(),0,1,1kiiiP AP B Ainnn0()()()()()nnnniiiP A P B AP A BP A P B A辅导用书P46 习题3A “相邻2节在一起”B “相邻3节在一起”C “相邻4节在一起”()()()()P ABCP A P B A P

16、 C AB8!2!6!3!3!4!9!8!6!辅导用书P48 习题21nA次独立试验中事件 出现偶数次的概率记为nqnnAp次独立试验中事件 出现奇数次的概率记为0011122211101()nnnnnnnnnnnnnqpC p qC p qC p qCpqC p q00222111333()()nnnnnnnnC p qC p qC p qC p qnnqp(1 2)()nnpqp0011122211110(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnC p qC p qC p qCpqC p q 00222111333()()nnnnnnnnC p qC p qC p qC p qnnqp1(1

17、 2)nnnnnqpqpp1(1 2)2nnpp辅导用书P48 习题23nAn“第 次传球时，球由最初发球者传出”()nnP Ap1111()()()()()nnnnnnnnpP AP AP A AP AP A A1110(1)1nnppr 1011,1,111nnpppnrr辅导用书P48 习题244161(),()369366P AP BAB与 互不相容1nCnABnA“前次试验 与 都没出现，第 次试验 出现”1,2,1kDkABkn“第 次试验 与 都没出现”，1113()1,1,2,19618kP Dkn nDnA“第 次试验 出现”1()()9nP DP A12,nD DD独立11

18、()()nnnP CP DDD11()()()nnP DP DP D1131,1,2,189nn11129()()135118nnnnPCP C第三章 随机变量及其分布第一节 随机变量和分布函数 在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。例如，在产品检验问题中出现的废品数；在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数；测量的误差；灯泡的寿命等都与数值有关。因此，在随机试验中，我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量。有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能用数值来描述。例如，在掷一枚硬币问题中，每次出现的结果为正面（记为H）或反面（记为T），与数值没有关系，但是我们可以用下面方法使它与数

19、值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应数“0”，即相当于引入一个定义在样本空间,H T 上的变量()X，其中 THX,0,1)(由于试验结果的出现是随机的，因而()X的取值也是随机的。通过以上的分析，我们可以看到：一类试验的结果，自然地对应着一个实数；而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系。由此可见，无论是那一种情况，都是试验结果（即样本点）和实数()X之间 的一个对应关系。1 一般概率的定义，古典概型 2 条件概率的定义，贝努利概型3（一维）随机变量的定义,分布函数的定义及其基本性质4随机变量X与Y独立性定义，可加性定义5数学期望定义及其描述什么，方差的定义及其描述什么，相关系数定义及其描述什么 6切比雪夫大数定律及其描述 什么，贝努利大数定律及其描述什么，中心极限定理l-x-yyxNMBA辅导用书P21 习题15,AMx MNy(,)0,0,x y xyxyl(,)0,0,Dx yxaya xyla x+y=l-al-al-aaal/2l/2ll（1）2lal22112221223()1 3 1llaDlal 的面积的面积x+y=l-a3a-ll-al-aaal/2l/2ll（2）32lla2122122(3)31laDlal的面积的面积