《《数列函数的极限》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数列函数的极限》PPT课件（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、第三节第三节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限例如例如,16,8,4,2,81,41,212n21n一、数列的定义一、数列的定义定义定义:按自然数编号依次排列的一列数按自然数编号依次排列的一列数 称为称为数列数列.其中的每个数称为其中的每个数称为数列的数列的项项,xn称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为 xn.)1(,21 nxxx;,2 n;,21n,1,1,1,1 )1(1 n,43,34,21,2)1(1nnn 注意注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx2.数列可以看作自
2、变量是正整数数列可以看作自变量是正整数 n 的函数的函数).(nfxn nx1x4x2x3x;,)1(1 n;,)1(1nnn 二、极限思想的引入二、极限思想的引入割圆术割圆术(刘徽刘徽 公元公元3世纪世纪)正内接六边形、正十二边形，正内接六边形、正十二边形，的面积，的面积构成了一个数列：构成了一个数列：.,.,321nAAAAS圆的面积在上面的例子中，随着在上面的例子中，随着n 的增大，正多边形的的增大，正多边形的面积与圆面积的差别越来越小。面积与圆面积的差别越来越小。当当n无限增大时，正多边形的面积无限接近于无限增大时，正多边形的面积无限接近于圆面积圆面积S。;,)1(,1,1,11 n;
3、,)1(,34,21,21nnn 一般地，如果当一般地，如果当 n 无限增大时（即无限增大时（即 ），），n对应的对应的nx无限接近无限接近于某一个确定的数值于某一个确定的数值 a，那么，那么这个数值这个数值 a 就称为数列就称为数列nx的极限。的极限。,16,8,4,2;,2n,81,41,21;,21n01三、数列极限的定义三、数列极限的定义问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学如何用数学语言刻划它语言刻划它.例如：例如：01x 0nxnn11.01,无限接近于无限增大时当nxnn例如：例如：,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10010
4、 nx有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,100010 nx有,1000010 nx有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.0成立有nx数列极限定义数列极限定义axnn无限接近于常数时，当如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),axn都成立都成立,那么就称常数那么就称常数 是数列是数列 的极限的极限,nxa或者称数列或者称数列收敛收敛于于 ,a,limaxnn 总存在正数总存在正数 ,N使得对于使得对于 时的一切时的一切 ,Nn nx).(naxn或或记为记为如果数列没有极限如果数列没有极限
5、,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 Nx1x2x2 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn axnnlim任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,0|axn，的的证证明明：要要证证对对任任意意给给定定0 的变化趋势，例：观察数列1)1(nn2141031151用用定定义义证证明明如如下下：猜猜出出数数列列的的极极限限为为,0lim nnx,0
6、 nx,11)1(nnn即即,1 n得得,1 N取取,Nn 那那么么对对任任意意的的证毕。证毕。所以所以,0lim nnx,N总总存存在在正正整整数数时时，当当Nn 10nxn有有 axnnlim任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,0|axn数列的数列的有界性有界性定定义义:对对数数列列nx,若若存存在在正正数数M,使使得得一一切切自自然然数数n,恒恒有有Mxn 成成立立,则则称称数数列列nx有有界界,否否则则,称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界
7、定理定理1（极限的唯一性）（极限的唯一性）数列数列xn的极限是唯一的。的极限是唯一的。定理定理2（有界性）（有界性）如果数列如果数列xn收敛，那么数列收敛，那么数列xn一定有界。一定有界。注意：数列有界不一定收敛。注意：数列有界不一定收敛。例如：例如：小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、几何意义，极限思想、几何意义，收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性有界性 唯一性唯一性定义N第四节 函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 1，数列极限是函数极限的一种特例，因为，数列极限是函数极限的一种特例，因为数列可以看作自变量为自
8、然数的函数：数列可以看作自变量为自然数的函数：)(nfxn数列极限就是当自变量数列极限就是当自变量 n 无限增大时无限增大时所对应的函数值所对应的函数值 xn 的极限。的极限。anfxNnnnn)(limlim当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，就是函数极限形式。就是函数极限形式。如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数X,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的的 一切一切 x,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(那末常数那末常数A就叫函数就
9、叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限,记作记作 )()()(lim xAxfAxfx当当或或 2、定义、定义axfx无限接近于常数时，当)(axnnlim任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,0|axn3、另外两种情形：、另外两种情形：(自变量只向一个方向无限增大自变量只向一个方向无限增大)Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理：定理：4、极限、极限 的定义的几何意义的定义的几何意义xlimf(x)A 当x时，函数f(x)以A为极限:对于任意给定的正数 存在着正数X 当|x|X时 有不等式|f(x)A|N 时时,0|axn axfx)(lim任给任给 ,存在
10、正数存在正数X,当当|x|X 时时,0|)(|axf定义：定义：函数极限的几何意义函数极限的几何意义 使当使当0|x x0|时时|f(x)A|对于任意给定的正数对于任意给定的正数 总存在一个正数总存在一个正数 当当x趋于趋于x0时时 f(x)以以A为极限为极限 AA+Ax0 x0 y=f(x)x0.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx任给任给 0,总总存在存在 0,使得当使得当 0|x-x0|时时,恒有恒有|f(x)-A|N 时时,恒有恒有0|axn axfx)(lim任给任给 ,存在存在X0,使得当使得当|x|X 时时,恒有恒有0|)(|axf任给任给 0,总总存在存在 0,使得当使得当 0|x-x0|时时,恒有恒有|f(x)-A|0,总总存在存在 0,使得当使得当 0 x0-x 时时,恒有恒有|f(x)-A|0,总总存在存在 0,使得当使得当 0 x-x0 时时,恒有恒有|f(x)-A|Axfxx)(lim00
《数列函数的极限》PPT课件
