复杂机电系统的人工智能控制技术：第五章 模糊控制（Fuzzy Control）

《复杂机电系统的人工智能控制技术：第五章 模糊控制（Fuzzy Control）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复杂机电系统的人工智能控制技术：第五章 模糊控制（Fuzzy Control）（59页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第五章 模糊控制（Fuzzy Control）模糊控制的基本思想模糊集合（Fuzzy Sets）隶属函数的确定模糊关系(Fuzzy Relation)模糊推理模糊控制原理第一节第一节 模糊控制的基本思想模糊控制的基本思想 随着控制对象的复杂性、非线性、滞后性和随着控制对象的复杂性、非线性、滞后性和耦合性的增加，人们获得精确知识量的能力耦合性的增加，人们获得精确知识量的能力相对减少，运用传统精确控制的可能性也在相对减少，运用传统精确控制的可能性也在减小。减小。正像正像“L.A.Zadeh不相容原理不相容原理”所说的那样：所说的那样：“当一个系统复杂性增大时，人们能使其清当一个系统复杂性增大时，人

2、们能使其清晰化的能力会降低，达到一定阈值时，复杂晰化的能力会降低，达到一定阈值时，复杂性和清晰性将是相互排斥的性和清晰性将是相互排斥的”，这时便是产生了模糊控制。这时便是产生了模糊控制。第一节第一节模糊控制的基本思想模糊控制的基本思想人类思维的主要根据是概念模式和思维图像，而不人类思维的主要根据是概念模式和思维图像，而不是数量，但是计算机工作的依据则正好相反。是数量，但是计算机工作的依据则正好相反。作为人类思维外壳的自然语言，当然就带有模糊性，作为人类思维外壳的自然语言，当然就带有模糊性，这是计算机所不能理解的。这是计算机所不能理解的。模糊控制是以模糊集合理论和模糊逻辑推理为基础，模糊控制是以

3、模糊集合理论和模糊逻辑推理为基础，把专家用自然语言表达的知识和控制经验，通过模把专家用自然语言表达的知识和控制经验，通过模糊理论转换成数学函数，再用计算机进行处理。糊理论转换成数学函数，再用计算机进行处理。模糊理论形式上是利用规则进行逻辑推理，但其逻模糊理论形式上是利用规则进行逻辑推理，但其逻辑值可取辑值可取0 0与与1 1间连续变化的任何值，因此可以采取间连续变化的任何值，因此可以采取数值计算方法予以处理。数值计算方法予以处理。这样，很容易把模糊理论表述的人类智能和数学表这样，很容易把模糊理论表述的人类智能和数学表达的物理系统相结合加以利用，从而使人的智能成达的物理系统相结合加以利用，从而使

4、人的智能成为控制系统的一部分。为控制系统的一部分。模糊控制的基本思想模糊控制的基本思想模糊控制把控制对象作为“黑箱”，先把人对“黑箱”的操作经验用语言表述成“模糊规则”，计算器根据这些规则模仿人进行操作来实现自动控制。为此，模糊理论给出了一套系统而有效的方法，可以将人类用自然语言表述的知识或规则转换成数字或数学函数，让机器也能识别、处理和利用。模糊控制是一种基于自然语言控制规则、模糊逻辑推理的计算机控制技术，它不依赖于控制系统的数学模型，而是依赖于由操作经验、表达知识转换成的“模糊规则”，因此实现了人的某些职能，属于一种智能控制。模糊控制的基本思想模糊控制的基本思想 虽然模糊控制和专家系统一样

5、都需要利用专家知识，但专家系统是把人类语言符号直接转换成计算机语言，而模糊控制则是把人类语言首先先转换成数字或数学函数，再与物理系统结合在一起，加以利用。模糊控制是基于丰富操作经验总结出来的，用自然语言表达控制策略，或通过大量实际操作数据归纳总结出的控制规律，用计算机予以实现的自动控制。它与传统控制的最大不同，在于不需要知道控制对象的数学模型，而需要积累对设备进行控制的操作经验或数据。1.模糊控制解决的问题 用传统控制方法对一个系统进行控制时，首先要建立控制系统的数学模型，即描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式，必须得知道系统模型的结构、阶次、参数等。通常建立系统数学模型的方法有分

6、析法和实验法两种：分析法式对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们活动的物理或化学规律列出运动方程；实验法是人为地向系统施加某种测试信号，记录其输出响应，用适当的数学模型去逼近输入-输出间的关系。传统的控制理论都是以被控对象和传统的控制理论都是以被控对象和控制系统的数学模型为基础，进行控制系统的数学模型为基础，进行数学分析和研究的理论。数学分析和研究的理论。1.模糊控制解决的问题 在工程实践中人们发现，有些复杂的控制系统，虽然不能建立起数学模型，无法用传统控制方法进行控制，可是凭借丰富的实际操作经验，技术工人却能够通过“艺术性”的操作获得满意的控制效果。例如，对于容器液面控制问题，如图1-3所

7、示。如果影响液位的因素变化无常，液位的变化无规律可循，根本无法写出表示液位变化的数学函数h（t）,这就是很难对它进行传统的自动控制。1.模糊控制解决的问题 然而熟练的技术工人，却能总结自己多年的操作经验，根据液位的高低状态，巧妙地操作进液阀门使容器的液位保持恒定。他们总结出调节进液阀门开度的操作规律，下面是语言表述的几条简单规律：如果液位正好，则进液阀门开度不变；如果液位偏低，则增大进液阀门开度；如果液位偏高，则减小进液阀门开度；如果液位正好而流速快，则逐渐减小进液阀门开度；如果液位正好而流速慢，则逐渐增大进液阀门开度。那么，能否让计算机根据这些语言表达的那么，能否让计算机根据这些语言表达的“

8、模糊模糊”规则，模仿人类实现自动控制呢？规则，模仿人类实现自动控制呢？类似的控制对象还有很多，它们都相当于一个“黑箱”，由于不知道其中的结构、机理，无法用数学语言描述其运动规律，也就无法建立数学模型，自然无法用传统方法对它实现自动控制。例如，各类窑炉的燃烧过程、有机物的发酵过程、具有非线性强耦合大滞后的复杂系统等，都因为诸如控制对象过于庞大复杂、机理欠明、检测不全、存在大滞后等各种原因，而无法建立起清晰的数学模型。然而，人们却可以根据多年的工作实践，把控制它们的操作经验总结成类似上述的语言操作规则，按照这些带有模糊性的、用自然语言表述的规则，实现对它们的有效控制，模糊控制基本上解决了用计算机模

9、仿人类对这类系统进行的自动控制问题。2 模糊控制的发展简史模糊控制的发展简史 模糊控制把人类自然语言表述的控制策略，通过模糊集合和模糊逻辑推理模糊控制把人类自然语言表述的控制策略，通过模糊集合和模糊逻辑推理转化为数字或数字函数，再用计算机去实现预定的控制。转化为数字或数字函数，再用计算机去实现预定的控制。由于模糊控是以人的操作经验为基础，而不是依赖于控制系统的数学模型，由于模糊控是以人的操作经验为基础，而不是依赖于控制系统的数学模型，实际上是把人的智能融入了控制系统，自然实现了人的某些职能，所以它实际上是把人的智能融入了控制系统，自然实现了人的某些职能，所以它属于一种智能控制。属于一种智能控制

10、。模糊控制的发展历程大致可分为以下三个阶段。1）.形成期（1974年以前）1965年，美国加州大学自动控制系年，美国加州大学自动控制系L.A.Zadeh教授把经典集合与教授把经典集合与J.Lukasiewicz的多值逻辑融为一体，用数字或函数表达和运算含有像的多值逻辑融为一体，用数字或函数表达和运算含有像“冷冷”、“热热”之类纯属主观意义的模糊概念，创立了模糊集合理论，这之类纯属主观意义的模糊概念，创立了模糊集合理论，这就开创了模糊控制数学基础的研究。就开创了模糊控制数学基础的研究。其后，出现了许多研究模糊集合理论和模糊逻辑推理的成果：其后，出现了许多研究模糊集合理论和模糊逻辑推理的成果：19

11、68年提出年提出了模糊算法概念，了模糊算法概念，1970年提出模糊策略，年提出模糊策略，1971年提出模糊排序，年提出模糊排序，1973年，年，L.A.Zadeh引入语言变量这一概念，提出用模糊引入语言变量这一概念，提出用模糊If-Then规则来量规则来量化人类模糊语言的知识规则，从而奠定了模糊控制的理论基础。化人类模糊语言的知识规则，从而奠定了模糊控制的理论基础。1972年，东京工业大学寺野教授在日本关东 成立了模糊系统研究会；2 模糊控制的发展简史模糊控制的发展简史2）.发展期（19741979年）1974年，伦敦大学教授玛达尼（E.H.Mamdani）博士利用模糊逻辑开发了世界上第一台模

12、糊控制的蒸汽机，从而开创了模糊控制的历史。1975年英国的P.J.King把模糊集合理论应用于反应炉的温度自动控制系统；1976年荷兰的D.V.Nautal Lemke等人把模糊理论用于多变量非线性控制热水厂热交换过程；1977年Mamdani和Pappis把模糊理论应用于马路十字路口的交通管理2 模糊控制的发展简史模糊控制的发展简史3.3.高性能模糊控制阶段（高性能模糊控制阶段（19791979现在）现在）1979年起年起L.P.Holnblad和和Ostergard先后在瑞典石灰重烧窑、丹麦水泥窑等先后在瑞典石灰重烧窑、丹麦水泥窑等工业设备上应用了模糊控制。工业设备上应用了模糊控制。198

13、1年我国成立中国模糊系统和模糊数学会。19831983年日本富士电机开创了模糊控制在日本的第一项应用年日本富士电机开创了模糊控制在日本的第一项应用水净化处理。水净化处理。1987年日本富士电机致力于模糊逻辑元件的开发与研究，并在仙台地铁线上年日本富士电机致力于模糊逻辑元件的开发与研究，并在仙台地铁线上采用了模糊控制技术；采用了模糊控制技术；19891989年日本将模糊控制应用于电冰箱、洗衣机、微波炉等消费品上，把模糊年日本将模糊控制应用于电冰箱、洗衣机、微波炉等消费品上，把模糊了控制的应用推向了高潮。了控制的应用推向了高潮。很快，模糊控制得到了广泛的应用。很快，模糊控制得到了广泛的应用。例如，

14、在例如，在炼钢、化工、家用电器、人文社科、经济系统以及医学心理炼钢、化工、家用电器、人文社科、经济系统以及医学心理等领域，等领域，要得到正确而且精密的数学模型是相当困难的但是却具有大量用语言表述的要得到正确而且精密的数学模型是相当困难的但是却具有大量用语言表述的控制规则和只能用语言表述的性能指标，操作人员似乎成了整个系统的组成控制规则和只能用语言表述的性能指标，操作人员似乎成了整个系统的组成部分。部分。对于这类问题，靠传统控制方法实现自动控制是非常困难的，但是用模糊控对于这类问题，靠传统控制方法实现自动控制是非常困难的，但是用模糊控制的方法却可以很容易地进行处理和解决，模糊控制的广泛应用，促进

15、了这制的方法却可以很容易地进行处理和解决，模糊控制的广泛应用，促进了这项技术的发展。项技术的发展。2 模糊控制的发展简史模糊控制的发展简史 随着计算机及其相关技术的发展和模糊控制的广泛应用，出现了许多模糊硬件系统，进一步推动了模糊控制理论的发展和应用。模糊控制也由最初的经典模糊控制发展到自适应模糊控制、专家模糊控制和基于神经网络的自学习模糊控制。1992年在美国召开了第一届IEEE模糊系统国际会议（IEEE International Conference on Fuzzy System）。1993年美国IEEE神经网络协会创办了国际性模糊专业杂志Fuzzy System（模糊控制），从此模糊

16、控制制被人们公认为是智能控制的一个重要分支。1992年Zadeh教授教授被授予年度IEEE杰出贡献勋章。Zadeh两大贡献：隶属函数隶属函数（membership function），互克性定理互克性定理。互克性定理：随着系统复杂性的增加，人们对其特性做出精确而有意义的描述会随之降低，直至达到一个阈值。一旦超过它，精确和有意义两者将会相互排斥。即，事物越复杂，人们对它们的认识就越模糊。3.模糊控制的特点及展望模糊控制的特点及展望 模糊控制理论，特别是应用方面在模糊控制理论，特别是应用方面在2020世纪世纪8080年年代末代末9090年代初取得了突飞猛进的发展，能被人年代初取得了突飞猛进的发展，

17、能被人们广泛接受，是因为它有一下一些优点。们广泛接受，是因为它有一下一些优点。1）模糊控制器的设计不依赖于被控对象的精确数学模型 模糊控制是以人对被控对象的操作经验为依据而设计控制器的，故无须知道被控对象的内部结构及其数学模型，这对于传统控制无法实现自动化的复杂系统进行自动控制非常有利。2）模糊控制易于被操作人员接受 作为模糊控制核心的控制规则是用自然语言表述的。例如，像“锅炉温度太高，则减少加煤量”这样的控制规则，很容易被操作人员接受，便于进行人机对话。3）便于用计算机软件实现 模糊控制规则通过模糊集合论和模糊推理理论，可以转换成数学函数，这样很容易和其它物理规律结合起来，通过计算机软件实现

18、控制策略。4）鲁棒性和适应性好 通过专家经验设计的美好规则，可以对复杂被控对象进行有效的控制，经过实际调试后其鲁棒性和适应性都容易达到要求。3.模糊控制的特点及展望模糊控制的特点及展望 就目前的状况来看，模糊控制尚缺乏重大的理论性突破，无论在理论上，还是在应用上都有待于进一步的深入研究和探讨，特别是在下述几个方面：需要对模糊系统的建模、模糊规则的确立和模糊推理需要对模糊系统的建模、模糊规则的确立和模糊推理方法等进行深入研究，特别是对于非线性复杂系统的模方法等进行深入研究，特别是对于非线性复杂系统的模糊控制；糊控制；模糊控制系统的创建和分析方法仍停留在初级阶段，稳定性理论还不成熟，这些都需要进一

19、步探讨；需要进一步开发和推广简单、实用的模糊集成芯片和需要进一步开发和推广简单、实用的模糊集成芯片和通用模糊系统硬件；通用模糊系统硬件；需要对模糊控制系统的设计方法加强研究，把现代控制理论、神经网络与模糊控制进行更好的结合、相互渗透，在多方面进行深入研究，以便构成更多、更好的模糊集成控制系统。模糊控制理论的提出，是控制思想领域的模糊控制理论的提出，是控制思想领域的一次深刻变革，它标志着人工智能发展到一次深刻变革，它标志着人工智能发展到了一个新阶段。了一个新阶段。特别是对那些时变的、非线性的复杂系统，特别是对那些时变的、非线性的复杂系统，在无法获得被控对象清晰数学模型的时候，在无法获得被控对象清

20、晰数学模型的时候，利用具有智能性的模糊控制器，可以给出利用具有智能性的模糊控制器，可以给出较为有效的自动控制方法。较为有效的自动控制方法。因此，模糊控制既有广泛的实用价值，又因此，模糊控制既有广泛的实用价值，又有很大的发展潜力。有很大的发展潜力。根据“张三身高1.8米左右”，中国人都会得出结论:“张三是个大个子！”人脑可以把清晰的数值“身高1.8米左右”映射（转换）到模糊概念“大个子”上，这是人类智能的表现。如何让计算机也能完成这种“智能性”的转换工作呢？第二节 模糊集合（Fuzzy Sets）人在进行感觉、认知、推理和决策的过程中，往往都在运用和处理模糊概念，人脑有存储、处理模糊信息、模糊知

21、识和进行模糊推理的能力，这正是人脑所具有的无与伦比的优越性。控制论的创始人维纳，在谈到人胜过最完善的机器时说过：“人具有运用模糊概念的能力。”人类用自然语言表达的操作规则，都含有模糊性的定性或半定量的词汇，要想让“只识数”的计算机读懂它们，并按照这些操作规则模仿人类进行“自动”控制，就必须解决人类自然语言的模糊概念和清晰数值之间的映射（转换）问题。同时，由大量传感器测得的数据，要纳入自然语言表述的操作规则，也需要把清晰数值映射到自然语言表达的“模糊”概念上。模糊集合论的诞生，解决了清晰数值和模糊概念间的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数学，在经典数学和充满模糊性的现实世界之间架起了一座桥

22、梁，使得模糊性事物有了定量表述的方法，从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和规律。一、经典集合的基本概念一、经典集合的基本概念一、集合的内涵和外延：1.集合内涵：一个概念所包含的区别与其它概念的全体本质属性，如人区别与动物的本质属性，语言、能动性。2.集合外延：符合某概念的对象的全体集合所有元素。例如所有人：黑人，白人，土人，牛人。一、经典集合的基本概念一、经典集合的基本概念 数学是用数字描述世间各种事物极其关系的一门学科。为了描述纷繁复杂的现实世界，产生了许多不同的数学分支，处理着世间各种门类的客观事物，大体上是用三类数学模型。第一类是确定性数学模型。确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确

23、定性、归属界线确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系明确的事物。分明、相互间关系明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学对这类事物可以用精确的数学函数予以描述，典型的代表学科就是科就是“数学分析数学分析”、“微分方程微分方程”、“矩阵分析矩阵分析”等常用等常用的重要数学分支。的重要数学分支。第二类是随机性数学模型。随机性数学模型常用于描述具有或然性或随机性的事物，这随机性数学模型常用于描述具有或然性或随机性的事物，这类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。事物的发生与否具有随机性，

24、对个别事物而言，同因可能不事物的发生与否具有随机性，对个别事物而言，同因可能不同果，传统意义上的同果，传统意义上的“因果律因果律”在这类事物上被打破了。在这类事物上被打破了。研究这类事物的典型代表学科就是研究这类事物的典型代表学科就是“概率论概率论”，“随机过程随机过程”等数学分支。这些学科使数学的应用范围从必然现象扩大到等数学分支。这些学科使数学的应用范围从必然现象扩大到了偶然现象的领域。了偶然现象的领域。第三类是模糊性数学模型第三类是模糊性数学模型 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不分明，在概念的归属上不

25、明确。事物，它的外延不分明，在概念的归属上不明确。一个事物，比如一个事物，比如“一场雨一场雨”既可归为既可归为“大雨大雨”，也可归为之，也可归为之为为“中雨中雨”，其间的界线非常模糊，一个事物应该满足的，其间的界线非常模糊，一个事物应该满足的“非此即彼非此即彼”这个传统意义上的这个传统意义上的“排中律排中律”被打破了。被打破了。研究这类事物的典型代表学科就是研究这类事物的典型代表学科就是“模糊数学模糊数学”、“模糊逻模糊逻辑辑”等，它们是用精确数学方法表述、研究模糊事物的学科。等，它们是用精确数学方法表述、研究模糊事物的学科。它们把数学的应用范围从清晰事物扩大到了模糊事物的领域。它们把数学的应

26、用范围从清晰事物扩大到了模糊事物的领域。确定性数学模型和随机性数学模型，其共同点是描述的事物本身是确定的；随机性数学模型和模糊性数学模型，其共同点是描述的事物都含有不确定、不清晰性，但它们的不确定性内涵却有所不同。例如，“明天可能下大雨”这个判断句中，既有随机性事件，又有模糊性事物。其中“下雨”的概念本身是确定的，但“下”与“不下”是不确定的，即事件的发生与否不确定，属于事件的随机性；而“大雨”也具有不确定性，一场“雨”是否被划定为“大雨”，其界限并不分明，这种不确定性属于事物性质归属上的模糊性。1919世纪德国数学家世纪德国数学家G.ContorG.Contor（康托）创立的集合论，（康托）

27、创立的集合论，是经典数学的基础。在此基础上发展起来的二值（数是经典数学的基础。在此基础上发展起来的二值（数理）逻辑，成为理）逻辑，成为2020世纪数字电子计算机科学的基础理世纪数字电子计算机科学的基础理论。论。作为模糊性数学模型基础的模糊集合论，是在康德的作为模糊性数学模型基础的模糊集合论，是在康德的集合论，统称为经典集合论的基础上提出和发展起来集合论，统称为经典集合论的基础上提出和发展起来的。的。下面先对经典集合论作简单介绍。下面先对经典集合论作简单介绍。把要考虑和研究的事物（对象）全体称为论域，常用把要考虑和研究的事物（对象）全体称为论域，常用英文大写字母如英文大写字母如U，V，E等表示，

28、论域中的每个成员等表示，论域中的每个成员称为元素，用英文小写字母如称为元素，用英文小写字母如a,b,c,，x,y,z等表等表示。具有同一本质属性的、确定的、彼此可以区别的示。具有同一本质属性的、确定的、彼此可以区别的全体元素总和，构成一个确定的整体，称为集合。全体元素总和，构成一个确定的整体，称为集合。集合用英文大写字母集合用英文大写字母A A，B B，C C，,X,Y,Z,X,Y,Z等表示。等表示。论域中部分元素构成了集合（或称子集），论域中部分元素构成了集合（或称子集），集合的元素也用英文小写字母集合的元素也用英文小写字母a,b,c,a,b,c,表示。表示。“集合”这一概念不能加以精确定义

29、，只能予以描述，任何一个概念的内涵是指概念的本质属性，其外延指它的全体元素。通常将集合分为有限集(含有有限多个元素)和无限集（含有无限多个元素）。有限集多用穷举法表示。如A=指明集合A含有n个元素 ；无限集常用描述法表示，如 12,nxxx12,nx xxB x|2x4=2,4)指明凡符合不小于2、小于4的实数属于集合B。经典集合A由映射:01U AC，唯一确定。常用特征函数（或隶属函数）AC（x）来表述元素来表述元素x与经典集合与经典集合A之间的关系，表示元素之间的关系，表示元素x属于集合属于集合A的程度，它只的程度，它只能取能取0或或1 两个值：两个值：1()0AxACxxA或写成 1()

30、0 xAA xxAxAxA论域U中的每个元素x对于经典集合A来说，要么，要么，二者必居其一，且仅居其一。可见，经典集合描述的是“非此即彼”类事物。即一个确定的事物x是否属于经典集合A，答案非常明确：要么属于，要么不属于，决不能模棱两可。经典集合的运算由已知的一些集合得出一经典集合的运算由已知的一些集合得出一些新集合的变换，称之为集合的运算，最些新集合的变换，称之为集合的运算，最基本的运算有基本的运算有“并”，“交”和“补”三三种种 图图 2 经典集合并、交和补运算图例经典集合并、交和补运算图例 二、模糊集合的基本概念二、模糊集合的基本概念 经典集合论研究的对象都是清晰的、确定的、彼此可以区分的

31、经典集合论研究的对象都是清晰的、确定的、彼此可以区分的事物。然而世间事物彼此间的差异，不同事物间的分界，并不事物。然而世间事物彼此间的差异，不同事物间的分界，并不都是非常清晰的。客观世界存在的事物，其属性也并非都是都是非常清晰的。客观世界存在的事物，其属性也并非都是“非此即彼非此即彼”的，有许多事物表现出的，有许多事物表现出“亦此亦彼亦此亦彼”的特性，特的特性，特别是两个不同的事物处于中间过渡状态时，都会呈现出这种模别是两个不同的事物处于中间过渡状态时，都会呈现出这种模糊性。模糊性起源于事物的发生，发展和变化性，处于过渡阶糊性。模糊性起源于事物的发生，发展和变化性，处于过渡阶段的事物，其最大特

32、征就是性态的不确定性和类属的不分明性，段的事物，其最大特征就是性态的不确定性和类属的不分明性，即模糊性。即模糊性。任何一门学科，只有从数量上进行研究，进行定量研究才能成任何一门学科，只有从数量上进行研究，进行定量研究才能成为真正的科学，特别是在当今的计算机时代更是如此。如何使为真正的科学，特别是在当今的计算机时代更是如此。如何使这些模糊事物数字化，把它们跟清晰的数量对应起来，使这类这些模糊事物数字化，把它们跟清晰的数量对应起来，使这类事物也能用精确的数学进行研究，用计算机处理呢？这便引出事物也能用精确的数学进行研究，用计算机处理呢？这便引出了模糊集合理论。了模糊集合理论。模糊集合论是一门用清晰

33、的数学方法去描述、研究模糊事物的模糊集合论是一门用清晰的数学方法去描述、研究模糊事物的数学理论。数学理论。19651965年美国控制论专家扎德（年美国控制论专家扎德（L.A.ZadehL.A.Zadeh ）提出模）提出模糊集合（糊集合（Fuzzy setsFuzzy sets）概念，奠定了模糊性理论的基础。它在）概念，奠定了模糊性理论的基础。它在处理复杂系统时，特别是有人参与的系统方面所表现的简洁性处理复杂系统时，特别是有人参与的系统方面所表现的简洁性和艺术性，受到了广泛重视。和艺术性，受到了广泛重视。扎德把经典集合里特征函数的取值范围由0,1扩充到闭区间0,1上，认为一个事物属于某个集合的特

34、征函数不仅只取0或1，而是可以取0到1间的任何数值，即一个事物属于某个集合的程度，可以是0到1间的任何值，于是便提出了如下的模糊集合定义。在模糊集合涉及的数值范围论域U上，给定了一个映射：:0,1,()AA UxxA()AxAA0 x0()Ax0 xA则称集合为论域U上的模糊集合或模糊子集；用表示U中各个元素x属于集合称为元素x属于模糊集合的隶属函数。当x是一个确定的元素时，称为元素对模糊集合的隶属度。的程度，这一定义使得任何一个确定的元素0 x属于一个边界不清晰的模糊集合的程度，有了确定的数学表示方法，即为数学化了。经典集合和模糊集合在数轴上的映射，即它们的特征函数或隶属函数的取值如上图。图

35、中带箭头线段起点的位置，表示论域U中元素，箭头终点位置表示该元素属于集合A的特征函数值或隶属度取值。可见，论域上任何一个元素与经典集合A的关系只能是“属于”（特征函数值为1）或“不属于”（特征函数值为0）。但是，论域上任何一个元素与模糊集合A的关系则不同，它隶属于模糊集合的程度可能取0到1之间的任何一个数值，因为模糊集合的边界是不明确、不清晰的。把经典集合的概念加以推广使其边界模糊化，承认一个元素可以既属于这个集合，又把经典集合的概念加以推广使其边界模糊化，承认一个元素可以既属于这个集合，又属于另一个集合，这样就能用数学语言描述现实中那些属于另一个集合，这样就能用数学语言描述现实中那些“亦此亦

36、彼亦此亦彼”之类的模糊事物之类的模糊事物了。了。于是，元素与集合间的关系则由经典集合论中的于是，元素与集合间的关系则由经典集合论中的“绝对属于与否绝对属于与否”，变成了现在的，变成了现在的“相对属于相对属于”。引入。引入“隶属度隶属度”概念使元素属于集合的概念数量化，可以用于描述边概念使元素属于集合的概念数量化，可以用于描述边界模糊的集合，就能用传统数学方法来表述归属不清晰的模糊事物。界模糊的集合，就能用传统数学方法来表述归属不清晰的模糊事物。虽然这样做使经典集合论里非此即彼的虽然这样做使经典集合论里非此即彼的“排中律排中律”破缺了，但是数学却可用于描述破缺了，但是数学却可用于描述“亦此亦彼亦

37、此亦彼”类模糊事物，拓宽了数学的应用范围，使数学能够描述更为实际的现实类模糊事物，拓宽了数学的应用范围，使数学能够描述更为实际的现实世界。世界。三、模糊集合的表示方法 隶属度表示出论域中某个元素属于隶属度表示出论域中某个元素属于F集合的程度。谈到一个集合的程度。谈到一个F集合就得给出论域中个元素属于该集合就得给出论域中个元素属于该F集合的程度集合的程度隶属函数。隶属函数。因此，隶属函数是表示因此，隶属函数是表示F集合的关键概念，通常用隶属函数表集合的关键概念，通常用隶属函数表示模糊集合的方法有下述几种。示模糊集合的方法有下述几种。1.1.序对法序对法 当当F集合的论域集合的论域U为有限集或可数

38、集时，为有限集或可数集时，F集合集合A表示为：表示为：,1,2,iiiAU i（x,A(x)）x,n1122nn（x，A(x)），（x，A(x)），（x，A(x)）2.2.扎德法扎德法当论域当论域U是有限集或可数集时，是有限集或可数集时，F集合集合A可表示为：可表示为：iiAA(x)x12121,2,niiiA(x)A(x)A(x)，xxx如果论域如果论域U是无限不可数集，是无限不可数集，F集合集合A可表示为可表示为：A=Ax（x）扎德表示法中可以省去隶属度为零的项。例：高个子模糊概念123456(1.4),(1.5),(1.6),(1.7),(1.8),(2.0)Uxxxxxx1234560

39、 0.1 0.4 0.5 0.71Axxxxxx0.3 0.7 1 1 0.7 0.3345 678A 1122(,(),(,(),.,(,()AAnnAuuuuuAu12(),(),.,()AAnAuuAu三、模糊集合的表示方法3.向量法 若论域中的元素有限且有序时，可以把各元素的隶属度若论域中的元素有限且有序时，可以把各元素的隶属度类似于向量的分量排起来表示类似于向量的分量排起来表示F集合，这样集合，这样F集合相当于集合相当于一个向量，其分量就是各元素的隶属度取值，故也称一个向量，其分量就是各元素的隶属度取值，故也称F集合集合A为为F向量向量A，写成：，写成：12n,A A(x)A(x)，

40、A(x)用向量表示法时，同一论域上各F集合中元素隶属度的排列顺序必须相同，而且隶属度等于零的项不得省略，如 iA(x)=0，则写成1211n,iiA A(x)A(x)，A(x),0,A(x),，A(x)4.函数法当论域U是无限不可数集时，根据F集合A的定义，完全可以用它的隶属函数 A(x)来表征它，因为隶属函数 A(x)表示所有元素x对于A的隶属度。由于元素处于不同阶段的 的形式可能不同，所以表示的函数形式常常不止一个，多数情况下用分段函数表示，A(x)由于模糊集合完全由其隶属函数确定，所以两个F子集的运算实际上就是逐点对其隶属度作相应运算。例设 ，若 1234,Uu u u u,()A Bf

41、 U2340.810.6Auuu，(0.5,0.4,0,0.7)B 求 ABABCACAACAA、解 1234123400.50.80.4100.60.70.50.810.7ABuuuuuuuu1234123401.00.80.2100.60.41.00.810.6CAAuuuuuuuu12341241 01 0.81 11 0.61.00.20.4CAuuuuuuu1234123401.00.80.2100.60.41.00.810.6CAAuuuuuuuu12342400.80.80.2100.60.40.20.4CAAuuuuuu（并不全为空集）（并不为空集）（非此即彼）在F集合中不成立

42、。CAA 证明 设()AF U，此题要证明 CAA，即证明()()0CA xAx用反证法证明。设()0.3A x，则()1()1 0.30.7CAxA x ()()0.30.70.30CA xAx可见()()0CA xAx，这是因为F集合边界不分明，F集合 A 和 CA有交叠部分存在。F集合的运算规律和经典集合几乎一样，只是经典集合中的互补律在模糊集合运算中不再成立。这正是经典集合“排中律”在F集合中破缺的表现；模糊集合中 CAAUCAUAU，说明不一定完全覆盖论域 例 论域由四个人构成，即 ，“高个子”，其隶属函数为：,Ua b c d0.910.6AabdF集合 =“胖子”，其隶属函数为：

43、B0.8,0.2,0.9,1B 求 AB和AB，并说明它们的含义。并说明它们的含义。解 0.90.8,10.2,0.60.9,01AB 0.80.20.60.8,0.2,0.6,0abcAB的意义是“胖高个”，运算结果表明（AB）（a）=0.8，即a对模糊集（AB）的隶属度为的隶属度为0.8，a是个是个“胖高个胖高个”；（AB）（c）=0.6，c跟“胖高个”有点沾边；ABAB（）（b）=0.2，（）（d）=0，说明说明b和和d都不属于都不属于“胖高个胖高个”。110.91aABbcd（0.90.8，10.2，0.60.9，0）0.9 （0.9，1，0.9，1）=AB表示“高或胖”。运算结果表明

44、他们四个人要么是胖子，要么是高个。四、F集合的基本运算 跟经典集合一样，跟经典集合一样，F集合也有并、交、补等运算，集合也有并、交、补等运算，由于由于F集合是用隶属函数表示的，所以集合是用隶属函数表示的，所以F集合间的运算就集合间的运算就是对论域中各元素的隶属度进行相应的运算。是对论域中各元素的隶属度进行相应的运算。1.1.模糊全集模糊全集2.2.模糊空集模糊空集3.3.模糊集合的相等模糊集合的相等4.4.模糊集合间的包含模糊集合间的包含5.5.模糊集合的并集：模糊集合的并集：若若 ，则有：，则有：,()A B CF UxU()()()max(),()C xA xB xA x B x则称C为A

45、和B的并集，记作 CAB。上式中的符号“”表示对两边的值做取大运算表示对两边的值做取大运算。6.6.模糊集合间的交集：模糊集合间的交集：若若,()A B CF UxU，都有：()()()min(),()C xA xB xA x B x则称则称C为为A和和B的交集，记作的交集，记作 CAB。上式中的符号“”表示对两边的值做取小运算。7.7.模糊集合的补集：模糊集合的补集：若若 ,()A BF UxU，均有：()1()B xA x 则称B为A的补集，记作 CBABA或模糊集合的运算模糊集合包含与相等 A包含B.模糊集合的并交补运算 并：取大运算 交：取小运算 补：()()ABuuA B 12341

46、2340.30.50.70.40.510.80.4AxxxxBxxxx,()()()ABABABuuu max(),()ABuu,()()()ABABABuuumin(),()ABuu,()1()CCAAAuu 模糊子集的代数运算代数积：代数和：作和：幂等律：交换律：结合律：吸收率：对偶律：,()A BABA Bu1,()01ABABA BABABu,()ABABA BABuAAAABBA()()ABCABC()ABAA()CCCABAB五、模糊集合的截集五、模糊集合的截集 把模糊集合转换（映射）成经典集合必要性：用自然语言表述和传达的信息及决策，多数是模用自然语言表述和传达的信息及决策，多数

47、是模糊的，如糊的，如“迅速降温迅速降温”、“快点左转快点左转”等，无论等，无论是人或是机器，仅根据这些模糊指令都很难实现是人或是机器，仅根据这些模糊指令都很难实现具体的操作策略。具体的操作策略。实际上在进行具体操作时，都需要给出清晰确切实际上在进行具体操作时，都需要给出清晰确切的指令，比如把的指令，比如把“迅速降温迅速降温”转换成转换成“马上降温马上降温50度度”、把、把“快点左转快点左转”转换成转换成“立刻左转立刻左转45度度”就可以进行操作了，就可以进行操作了，这表明最终采取行动时都需要把模糊指令转换成这表明最终采取行动时都需要把模糊指令转换成清晰的指令。清晰的指令。这种从模糊到清晰的转换

48、，就是要把模糊集合转换（映射）成经典集合或清晰量，即进行所谓“清晰化”、“非模糊化”或“反模糊化”处理。在对大量考试成绩进行统计时，大量的分数可以构成高斯曲线。若按照考生的考试成绩，把他们分成“优”，“良”，“中”和“差”四个等级，每个等级都是一种集合。但是这四个等级之间的界限是不清晰的、模糊的，因此这四个等级可以算是模糊集合，这种由大量的清晰数据转化成模糊集合的过程，称为“模糊化”。l 但是，若对考生的成绩提出一个明确的及格分数线，比如说凡是分数大于等于60分的为“及格”，而分数小于60分的为“不及格”。l 于是，按照成绩考生被分成“及格”和“不及格”两个集合，这两个集合都是边界清晰的经典集

49、合。l 考试成绩的不同划分表明，经典集合和模糊集合之考试成绩的不同划分表明，经典集合和模糊集合之间是可以相互转换的。间是可以相互转换的。设在论域U中，AF(U),0，1，定义一个新的集合：=x xU,A(x)称为A的一个-截集，称为阈值或置信水平。由定义可知，F集合A的-截集是由A中所有隶属度大于等于的元素组成的集合。A称集合称集合 =xxU,A(x)为F集A的-强截集。F集合A的-强截集是由A中所有隶属度大于的元素组成的集合。F集合A的-截集和-强截集，都属于经典集合。截集的定义使F集合可以转换成经典集合，是模糊向清晰转换的一种方法。利用“数积”的概念，任何一个模糊集合A可以看成是无限多截集

50、的并，即：AAAA=10)，（iA这就是模糊集合的分解定理，该定理反映了F集合与经典集合的相互转化关系。截集：A的水平截集高个子模糊集合，1.75m以上的人设A为论域U上的模糊集合，对于任何一个 称 为A的水平截集 特征 例：0,1|(),AAuuuUA1()()0()AAuA uuA1AA越大，越小性质，最小=0，最大()ABAB()ABAB1212,AA1234500.750.50.20Auuuux0.41232311,Au u uuu例例 F集合集合A=+,求求=0.6,0.2和和0.5时，时，A的截集的截集 18.0a23.0a35.0a49.0a52.0a解 根据定义可得6.0A2.

51、0A5.0A=a1，a4 =a1，a2，a3，a4，a5 =a1，a3，a46.0A2.0A5.0A，都是经典集合。分解定律 设A为论域上的一个模糊子集，是A的 解集，则有以下分解式成立：当取遍【0，1】闭区间所有值时，分解扩张原则 设映射 ，这里 叫做 的扩张，当A通过映射 映射成 时 当B是X上的模糊集合，则B在f下的系统f-1(B)是X上的模糊集合，其隶属原函数为 A0,10,1AA AU:fZI:()fAf Afff()f A1()()()BfBxf xxB 当当A经过映射经过映射f生成生成f(A)时，其隶属函数不小于原有值，即保留的时，其隶属函数不小于原有值，即保留的系统过去，即系统

52、过去，即A和和f(A)中相应数的隶属度是保持较高的。中相应数的隶属度是保持较高的。当当f不是单值映射时，规定像的隶属度取不是单值映射时，规定像的隶属度取几个原像几个原像中隶属值的中隶属值的最大最大值值；X中未被映射的区域隶属值为零。中未被映射的区域隶属值为零。扩展定理可将许多经典集合的研究课题进行推广，即把经典集合扩展定理可将许多经典集合的研究课题进行推广，即把经典集合的方法扩展到模糊集合中去。的方法扩展到模糊集合中去。例 已知X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,X域上：求 又当 则 模糊集合的分解定理和扩展定理可建立起模糊数学与经典数学的桥梁:fXY11 2 324 5,

53、y xx xfy x x1231()()()f xf xf xy452()()f xf xy 123450.20.40.50.60.8Axxxxx1231230.20.40.50.60.800.50.80()f Ayyyyyy120.30.7(),Bf A Byy1123450.30.30.30.70.7()fBxxxxx例，设论域 U=1,2,3,4,5,6，到,Va b c d的映射:f UV为,1,2,3(),4,5,6a uf ub uc u，设 10.20.10.91356A，试求()f A解：由扩展原理知()()()()(1),(2),(3)1f uaf A aVA uV AAA(

54、)()()()(4),(5)0.1f ubf A bVA uV AA()()()()(6)0.9f ucf A cVA uV A()()()()0f udf A dVA u10.10.90()f Aabcd例，在上例中，设 0.70.20.90Babcd，试求 1()fB1()()()fB uB f u因为 所以 1(1)(2)(3)(4)(5)(6)()123456B fB fB fB fB fB ffB()()()()()()123456B aB aB aB bB bB c0.70.70.70.20.20.9123456模糊关系矩阵的截矩阵 F矩阵是模糊关系的一种数学表示，也是一种F集合，

55、把F集合的-截集概念推广到F矩阵上，可以得出-截矩阵。下面先给出F矩阵的-截矩阵定义。设F矩阵R=(rij)mn。0，1，记R的-截矩阵为R=(rij()mn其中rij()是的函数，它的取值由下式决定：rij()=ijijrr01取某个F矩阵的-截矩阵，实际上就是以小于1的正实数为界，把F矩阵中凡是rij的元素变1，否则取为0，于是使F矩阵（F关系）变成经典矩阵（经典关系）。由于F矩阵R的-截矩阵R中元素只能取0或1，显然它是布尔矩阵。F矩阵的截矩阵，可以使模糊关系转化为经典关系。例 设F矩阵R=5.02.0107.03.09.06.08.0解R0.2=101011111，R0.1=00100

56、0101 设A为论域U上的模糊集合，对于任何一个 称 为A的水平截集，属于经典集合。将F集合转变为 特征值 例：0,1|(),AAuuuUA1()()0()AAuA uuA1AA越大，越小性质，最小=0，最大()ABAB()ABAB1212,AA1234500.750.50.20Auuuux0.412312300.750.5,Au u uuuu经典集合第三节 隶属函数的确定 给出一个F集合，就是要给出论域中各个元素对于该F集合的隶属度，因此，定义一个F集合，就是要定义出论域中各个元素对该F集合的隶属度。对于一个模糊事物或模糊概念，不同的人可能选用不同的隶属函数去描述，也就是选用不同的F子集去代

57、表它。由于所选F子集的不同，论域上的某一个元素对于这不同的F集，其隶属度就不大相同，这正是隶属函数或模糊子集带有很强主观的、认为色彩的表现。隶属函数的这种主观随意性，正好可以用于反映人的智能、技巧、经验、理解等不同的智慧，因此描述同意模糊事物的隶属函数会因人而异。“人的思维和语言具有模糊性。而描述这种模糊性的模糊数却是精确的”，用模糊数学描述人的思维和言语，正好使这对矛盾事物得到了统一。在右图中画出了描述同一模糊在右图中画出了描述同一模糊事物的三个事物的三个F子集，其隶属函子集，其隶属函数分布分别为钟形，三角形和数分布分别为钟形，三角形和梯形。梯形。于是同一元素，例如取元素于是同一元素，例如取

58、元素a=0.6时，对应于这三个隶属时，对应于这三个隶属函数（模糊子集）的隶属度则函数（模糊子集）的隶属度则大不相同，分别是大不相同，分别是0.08、0.40和和0.60，这正好是同一数据被，这正好是同一数据被不同的人可以装换成不同模糊不同的人可以装换成不同模糊子集（相当于模糊概念）的客子集（相当于模糊概念）的客观反映，是模糊性具有主观性观反映，是模糊性具有主观性的表现。的表现。那么，如何确定描述模糊概念或事物的隶属函数或模糊子集呢？如何使这种带有强烈主观色彩的东西得到可观反映呢？l 因为隶属函数是人为主观定义的一种函数，尽管有人曾给出过许多种确定隶属函数的方法，但是目前还没有一个公认的统一成熟

59、的方法，将来也未必能有，因为它含有太多的认为主观因素。l 虽然如此，毕竟隶属函数是客观实际的反应，它应该具有一定的客观性、科学性、稳定性和可信度。l 因此，无论用什么方法确定的隶属函数，都反映出模糊概念或事物的渐变性、稳定性和连续性。这就要求隶属函数应该是连续的、对称的，一个完整的隶属函数，通常在整体上都取成凸F集，即大体上呈现单峰馒头形。l 至今为止，确定隶属函数的具体方法大多停留在经验、实践和实验数据的基础上，经常使用的确定隶属函数方法有下述几种。1.模糊统计法模糊统计法根据所提出的模糊概念对许多人进行调查根据所提出的模糊概念对许多人进行调查统计，统计，提出与之对应的模糊集合提出与之对应的

60、模糊集合A，通过统计实，通过统计实验，确定不同元素隶属于某个模糊集合的验，确定不同元素隶属于某个模糊集合的程度。程度。假如进行过假如进行过N次统计性试验，认为次统计性试验，认为u属于属于F集合集合A的次数为的次数为n，则把，则把n与与N的比值视为的比值视为u对对A的隶属度，即为的隶属度，即为A(u)，即：，即：()nA uN2.二元对比排序法在论域里的多个元素中，人们通过把它们两两对比，确定其在权重特性下的顺序，据此决定出它们对该特性的隶属函数大体形状，再将其纳入与改图近似的常用数学函数。3.专家经验法根据专家和操作人员的实际经验和主观感知，经过分析，演绎和推理，直接给出元素属于某个F集合的隶

61、属度。4.神经网络法利用神经网络的学习功能，把大量测试数据输入某个神经网络器，自动生成一个隶属函数，然后再通过网络的学习、检验，自动调整隶属函数的某些参数，最后确定下来。无论哪种方法，都离不开人的主观参与和客观实际的检验。模糊集合的创始人扎德（L.A.Zadeh）就曾经通过大量问卷调查，通过模糊统计的方法对数据进行分析处理。假设年龄的论域为U=1，100，。用 Q(x)、Z(x)、L(x)分别表示“青年”、“中年”和“老年”的隶属函数。扎德曾向大量人群提出不同年龄的人属于“青年”、“中年”还是“老年”得问卷调查，对问卷调查结果经过数据分析处理，数字化后，得出这三个模糊概念的隶属函数表达式。xU

62、 青年 中年 老年2 1125()251()2510 xQxxx 412102550()1()5018501()18xxZ xxxx 2 1050()501()5xLxxx 这些F集合也可用扎德表示法表示，如“青年”的隶属函数为：222525251()110()xxxQ xxx上述关于老、中、青年的隶属函数分布，如下图所示。实际工作中经常是根据大量数据的分布情况，初步选用一个粗略的隶属函数，然后用形状与它接近，大家熟悉、容易计算、性质良好的初等函数作为选定的隶属函数，再通过实践检验和不断修改，最终确定实际效果好的函数作为选定的隶属函数。常用隶属函数为了满足实际工作的需要，兼顾计算和处理的简便性

63、，经常把不同方法得出的客观数据近似地表示成常用的，大家熟悉的解析函数形式，以便根据实际需求进行选用。常用隶属函数常用隶属函数 在工程上用的较多，在工程上用的较多，MATLAB中提供的中提供的5种基本隶属函数是三种基本隶属函数是三角形、梯形、钟形、高斯型和角形、梯形、钟形、高斯型和Sigmoid型。现将它们的解析型。现将它们的解析表达式列在下面，其中表达式列在下面，其中a、b、c、d和等均为确定它们形态的和等均为确定它们形态的重要参数。重要参数。0(,)0 xaxaaxbbaf x a b ccxbxccbxc 三角形abc 要求21(,)1f x a b cxca 其中c决定函数的中心位置，a

64、、b决定函数的形状。钟形22()8(,)xcf xce高斯形其中，c决定函数中心的位置，决定函数曲线的宽度。0(,)10 xaxaaxbbaf x a b cbxcdxcxddcxd 梯形，要求,cdab 。Sigmoid型 1(,)1x af xace 其中a、c决定函数形状，函数图形关于点（a，0.5）是中心对称的。以这五种基本函数为基础，进行不同的组合，又可得出一些新的隶属函数。在MATLAB中提供了十一种常用的隶属函数，并设有专用的函数指令。例如，在主窗口中键入ezplot gaussmf（x，z，0.5）.回车就得出一条高斯型函数图线。现把这十一种隶属函数在MATALB中的指令及其相

65、应参数列在下表中。名称指令及其参数名称指令及其参数梯形A(x)=tramf(x,a,b,c,d)S型A(x)=sigmf(x,a,b)三角形A(x)=tramf(x,a,b,c)Z型A(x)=zmf(x,a,b)钟形A(x)=gbellmf(x,a,b,c)型A(x)=pimf(x,a,b,c,d)高斯型A(x)=gbellmf(x,a,c)双高斯型A(x)=gauss2mff(x,a,c)Sigmoid型A(x)=sigmf(x,a,c)Sigmoid积型A(x)=gauss2mff(x,a,c)Sigmoid和型A(x)=gauss2mff(x,a,c)用五种基本函数组合成新函数的方法也很

66、简单，例如，用五种基本函数组合成新函数的方法也很简单，例如，由两个由两个Sigmoid型函数之积，可以构成型函数之积，可以构成Sigmoid积型隶属函数（指令为积型隶属函数（指令为psigmf）；）；由两个由两个Sigmoid型函数之差，可以构成型函数之差，可以构成Sigmoid和型隶属函数（指令为和型隶属函数（指令为dsigmf）；等）；等当然，还可以根据实际情况子集进行组合。当然，还可以根据实际情况子集进行组合。在模糊控制中受到多种因素的影响，模糊子集隶属函数的选用并没有在模糊控制中受到多种因素的影响，模糊子集隶属函数的选用并没有固定的规则和模式，况且对整个控制系统控制效果的影响，隶属函数固定的规则和模式，况且对整个控制系统控制效果的影响，隶属函数的的形状形状远没有论域上各远没有论域上各F子集的子集的分布分布及相邻子集隶属函数的及相邻子集隶属函数的重叠交叉重叠交叉情况等影响大。情况等影响大。所以考虑到运算方便、性能熟悉等因素，通常多选用：所以考虑到运算方便、性能熟悉等因素，通常多选用：三角形、三角形、梯形、梯形、高斯型、高斯型、钟形、钟形、这几中隶属函数，而且常常是从多个标准函数中