9简单随机抽样

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1、第九章 统计9.1 随机抽样9.1.1 简单随机抽样教学设计一、教学目标1. 了解普查与抽样调查的概念，知道两种调查方法的优缺点，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法；2. 了解总体、样本、样本量的概念，了解抽样调查的随机性；3. 结合具体的实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性；4. 在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；5. 能从样本数据中提出基本的数字特征平均数，并给出合理的解释.二、教学重难点1. 教学重点普查与抽样调查的意义，总体与样本的意义，简单随机抽样及其应用，数据的平均数的概念及意义.2. 教学难点简单随机抽样的应用及平均数的意义.三、教学过程

2、（一） 新课导入基本概念：全面调查（普查）：对每一个调查对象都进行调查的方法.总体：在一个调查中，把调查对象的全体称为总体.个体：组成总体的每一个调查对象.抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计 和推断的调查方法.样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.样本量：样本中包含的个体数.问题 1 相对全面调查而言，抽样调查具有哪些优势？花费少、效率高.抽样调查主要有两种基本的抽样方法简单随机抽样和分层随机抽样.本节课学习简单随机抽样.（二）探索新知问题 2 假设口袋中有红色和白色共 1000 个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.总体、个体 各

3、是什么？你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？袋中所有小球是调查的总体，每一个小球是个体，小球的颜色是所关心的变量.从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复n次.根据初中的概率知 识可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例. 因此，可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例.在有放回地摸球中，同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是每次摸到同一个小球，而被重复摸中 的小球只能提供同一个小球的颜色信息.如果我们采用不放回摸球，即从袋中摸出一个球后不再放回袋中， 每次摸球都在余下的球中随机摸取，这样就可以避免同一个

4、小球被重复摸中.特别地，当样本量n=1000时， 不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还不能对袋中 红球的比例作出准确的判断.一般地，设一个总体含有N （N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫 做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都 相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简 单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.与放回简单随

5、机抽样比较，不放回简单随机抽样的效率更高，因此实践中人们更多采用不放回简单随 机抽样.除非特殊声明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.问题 3 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高， 以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法 调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？树人中学全部高一年级的学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的身高是调查的变量.可以对 高一年级进行简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高.实现简单随机抽样的 比较常用的方法有抽签法和随机

6、数法.1. 抽签法先给 712 名学生编号，例如按1712进行编号.然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也 可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌.最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入样本，直到抽足样本所需要的人数.抽签法简单易行，但当总体较大时，操作起来比较麻烦.因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的 情形.2. 随机数法先给 712 名学生编号，例如按1712进行编号.用随机数工具产生1712范围内的整数随机数，把产生 的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数.如

7、果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产 生的不同编号个数等于样本所需要的人数.（1）用随机试验生成随机数准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0, 1, 2,，9,把它们放入一个不透明的袋 中.从袋中有放回摸取3 次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位 数,这样就生成了一个三位随机数.如果这个三位数在 1712范围内,就代表对应编号的学生被抽中,否则 舍弃编号.这样产生的随机数可能会有重复.（2）用信息技术生成随机数 用计算器生成随机数 进入计算器的计算模式（不同的计算器型号可能会有不同）,调出生成随

8、机数的函数并设置参数,例如RandInt#（1, 712）,按“=”键即可生成1712范围内的整数随机数.重复按“=”键,可以生成多个随机数 这样产生的随机数可能会有重复. 用电子表格软件生成随机数在电子表格软件的任一单元格中,输入“= RANDBETWEEN（1, 712）”,即可生成一个1712范围内 的整数随机数.再利用电子表格软件的自动填充功能,可以快速生成大量的随机数（如图）.这样产生的随机 数可能会有重复.&2& =R*HDffiT*E?JI (lh712&ECDBF1的25?13LB41旳S ,5?152B7B1-L384G31011M17112B4揮托1455电154S71&轴

9、17Ml1830 用 R 统计软件生成随机数在R软件的控制台中，输入“sampled： 712, 50, replace=F）”,按回车键，就可以得到50个1712范围内的不重复的整数随机数（如图）.I. nsas-se I .1-1 I Jadv 则 Va-jr lU)AktXITE 1 Ji 申H 韭ei K fcEQclaE.&isa Ft .Sx bL I j Ll-n-L 匕cr_ilxa* Vla.EJa=M： s 3F4-w4 4 w=4U/1144 lM-*iLl5製禺忌羯林.母正确云- 二 * iifi 力 5 即萍玄祥馨人加*rnML? - cssizri.toaitl i

10、ff 的 1*慣远菱氓1鸞一*牍理看Jf-Mic.ran：“ ：amniS3M量 fffcjtftJIBQll谨巴尢A也；a补罂.cnp唧押F枯汁卅盖璋片科ill W HI W *givj m 3M ih ja-i ca-ismii7 fix h sfa isp ui ,时 H-l哲却19*3 z fP# H Hi H 戸 d并 *W Wt Ml If +T MT问题 4 用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？ 在重复试验中，试验次数越多，频率接近概率的可能性越大.与此类似，用简单随机抽样的方法抽取学 生，样本量越大，样本中不同身高的比例接近总体中相应身高的比例的可能性也越大，样本的

11、平均身高接 近总体的平均身高的可能性也越大.即对于样本的代表性，一般说来，样本量大的会好于样本量小的.尤其是 样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果.但是，在实际抽样中，样本量的增大会导致调查的 人力、费用、时间等成本的增加.因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不一定是越大 越好.面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量 值（单位:cm）如下:1S6.066* 0101 fl隔0168.01710155.0157.0160.0175. 0177. 0158.0155.01GL0158.0I ESI. 5166.0174.

12、0170. H162.0155. 0156* 0158i Q1曲0IfiL ni饰o祐N 5i 7fi. 0164. 5160. 0j 1號0172. 01 fiS* ()176. 0517L. 0169-01朮Q17LOI5L015乩o丨5民0lfij* 0158b o175.01 &氐0171.0由这些样本观测数据，可以计算出样本的平均数为164.3. 据此，可以估计树人中学高一年级学生的平 均身高为 164.3cm 左右.上面通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生 平均身高的估计值.Y1?总，环定义：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别

13、为则称Y =+ E +L + 丫“ =丄另Y为总体均值，又称总体平均数.如果总体的N个变量值中，不同的值共有k (kN)NN ii=1y y . y.y.f-个，不妨记为 其中L出现的频数(i =1，2,，k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式.如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为N i ii=1则称y = yi + y2+ L + yn = 1工y为样本均值，又称样本平均数在简单随机抽样中, nn ii=1我们常用样本平均数一去估计总体平均数问题5 小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有 数据，计算出整个年级学生的平均身

14、高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取 了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如表所示，从小明多次抽样所得的结果中 你有什么发现？人中学高一年级全体学生身高的平均数.从试验结果看，不管样本量为50，还是为 100，不同样本的平均数往往是不同的.由于样本的选取是随 机的，因此样本平均数也具有随机性，这与总体平均数是一个确定的数不同.虽然在所有20 个样本平均数中， 与总体平均数完全一致的很少，但除了样本量为50的第 2 个样本外，样本平均数偏离总体平均数都不超过 1cm，即大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动比较样本量为50和

15、样本量为100的 样本平均数，还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的，这与我们对增加样本量可以提 高估计效果的认识是一致的.问题 6 眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要.树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？全校学生构成调查的总体，每一位学生是个体，学生的视力是考察的变量.记“视力不低于 5.0”为 1，y =1匸视力不低于 叫 L I 0；视力低于5 0 “视力低于5.0”为0,则第i个（i =1, 2,，2174）学生的视力变量值为均+卩2Y 21JJ于是，在全校学生中，“视力

16、不低于5.0”的人数就是.可以发现，在总体中，“视力不低于5.0”的人数所占的比例P就是学生视力变量的总体平均数P = Y + Y +L +74 = Y .2174类似地，若抽取容量为n的样本，把它们的视力变量值分别记为则在样本中，“视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的样本平均数p = y y2 +L + yn =.可以用样本平均数一估计总体平均数，用样本中的比例p估计总体中的比例P.从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下：1 1 0 1 C 0 I D 1 1 1 D 0 1 10 10 0 CJ1110E10 1. 1I L q 1J v

17、 1 d L 样本平均数为 =I-,ST据此，估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54.问题 7 总结简单随机抽样的优缺点.简单随机抽样方法简单、直观，用样本平均数估计总体平均数也比较方便.简单随机抽样是一种基本抽 样方法，是其他抽样方法的基础.但在实际应用中，简单随机抽样有一定的局限性.例如，当总体很大时，简 单随机抽样给所有个体编号等准备工作非常费事，甚至难以做到；抽中的个体往往很分散，要找到样本中 的个体并实施调查会遇到很多困难；简单随机抽样没有利用其他辅助信息，估计效率不是很高；等等.因此， 在规模较大的调查中，直接采用简单随机抽样的并不多，一般是把简单随机抽样

18、和其他抽样方法组合使用 (三)课堂练习1. 下列抽样方法是简单随机抽样的是()A. 从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B. 从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C. 从实数集中逐个抽取10个实数做奇偶性分析D. 运动员从8个跑道中随机选取一个跑道-=答案=-：D解析：选项A错在“一次性”抽取；选项B错在“有放回”抽取；选项C错在总体容量无限故选D.2. 现从 100 件产品中随机抽取20 件进行质量检验，下面说法正确的是().A.100件产品是总体B.20件产品是样本C.样本容量是100D.样本容量是20-=答案=-：D解析：根据统计的有关概念知，总体应为100件产品的质量，样本为抽取

19、20件产品的质量故选D.3. 下列抽样试验中，用抽签法方便的是()A. 从某工厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B. 从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C. 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D. 从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验-=答案=-： B解析：A总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品有差别，不能用抽 签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法.故选B.4. 用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性，“第二

20、次被抽到”的可能性分别是()B.C.1 1lOid3 151 3510D.-=答案=-：A解析：简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为* .故选A.105. 某总体容量为M,其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的 m 个个体中带有标记的个数估计为（）AmNMBmMN MNmDN-=答案=-：ANmN解析：总体中带有标记的比例是M，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为M故选A.（四） 小结作业小结：1. 普查与抽样调查的概念，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法2. 总体、样本、样本量的概念；3. 简单随机抽样的概念；4. 抽签法和随机数法的应用；5. 总体均值和样本均值的概念及理解.作业：四、板书设计9.1.1 简单随机抽样1. 全面调查（普查）；总体、个体；抽样调查；样本、样本量；2. 简单随机抽样；3. 抽签法；随机数法；4. 总体均值（总体平均数）； 样本均值（样本平均数）.