高数数列的极限

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1、数列的极限数列的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS极限方法是微积分的基本方法极限方法是微积分的基本方法典型问题典型问题2:面积问题面积问题(2500年前的古希腊年前的古希腊,阿基米德阿基米德)例例1 求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形的面积轴所围成的曲边梯形的面积.

2、(3)取取Sn的极限，得曲边梯形面积：的极限，得曲边梯形面积：(2)以以n个小矩形面积的和作为曲边个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：梯形面积的近似值：x yOy=x21xi(1)用直线用直线)1,2,1(=ninix把曲边梯形分成把曲边梯形分成n个窄条，个窄条，第第i个窄条的面积用高为个窄条的面积用高为21 ni的小矩形面积的小矩形面积nni112 近似之近似之.nniSnin1121=niin123)1(16)12()1(13 =nnnn.2111131 =nn =nnSSnnn2111131limlim.31=二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按正整数按正整数,3,2,1编号依

3、次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数列其中的每个数称为数列的的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn=;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 .

4、)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放三、数列的极限三、数列的极限问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn =问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.=1nxnnn11)1(1=通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:“无限接近无限接近”的等价含义的等价含义:想要想要xn与与1有多接近有多接近,就能有多接近就能有多接近.,102 给定给定,1

5、0011 n由由,100 n只要只要;1012 nx就就有有想要想要|xn 1|10,104 给定给定,1014 n由由,104 n只只要要;1014 nx就就有有想要想要|xn 1|10 4,10k 给定给定,101kn 由由,10kn 只要只要;101knx 就有就有想要想要|xn 1|10 k,0,给定给定一般地一般地,1 n由由,/1 n只要只要.1 nx就就有有想要想要|xn 1|N2 时,有2banx使当 n N1 时,假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,max21NNN=取故假设不真!nx满足的不等

6、式ab2ba2ab2ab1、唯一性、唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限.四、四、数列极限的性质数列极限的性质2、有界性、有界性例如例如,;1=nnxn数列数列.2nnx=数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.说明说明,limaxnn=设设,1=取取由数列收敛的几何意义知落在由数列收敛的几何意义知落在(a-1,a+1)之外的之外的只有有限项只有有限项,设此有限项为设此有限项为.,21knnnxxx令令1|,|,|,|,max|2

7、1=axxxMknnn,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切正正整整数数 .有界有界故故nxa)1 a1 a(注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.证证:设,limaxnn=取,1=,N则当Nn 时,从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxM=a1则有.),2,1(=nMxn由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.aaxn=)(,1axn有数列定理定理2(2(收敛数列的有界性收敛数列的有界性)那么它那么它 一定有界。一定有界。nx如果数列收敛，例例4.)1(1是是发发散

8、散的的证证明明数数列列 =nnx证证,limaxnn=设设由定义由定义,21=对于对于,21,成成立立有有时时使使得得当当则则 axNnNn),21,21(,aaxNnn时时即即当当区间长度为区间长度为1.,1,1两两个个数数无无休休止止地地反反复复取取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内.,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx3 3、收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn=且0a,NN则Nn 当时,有0nx,)0(.)0(证证:对 a 0,取,2a=,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0nx,

9、limaxnn=且0a则)0(.)0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理34、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx .knnxxkxxkknnnnkkk 项项，显显然然，中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列注意：注意：例如，例如，*,axkn定理定理4.收敛数列

10、的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列knx是数列nx的任一子数列.若,limaxnn=则,0,N当 Nn 时,有axn现取正整数 K,使,NnK于是当Kk 时,有knKnN从而有由此证明.limaxknk=*NKnNxKnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，),2,1()1(1=nxnn;1lim12=kkx1lim2=kkx发散!则原数列一定发散.说明说明:此例也说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.五、小结五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、

11、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111=nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn=由递推式两边取极限得aa21=1=a不对不对!此处=nnxlim机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P31 1，3,4,6第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设)(211nnnxaxx=

12、),2,1(=n,0a,01x,且求.limnnx解：解：设Axnn=lim则由递推公式有1()2aAAA=aA=)(211nnnxaxx=nxnxaa=nnxx1)1(212nxa=)1(21aa1=数列单调递减有下界，,01x故axnn=lim利用极限存在准则,0nx机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设,),2,1(0=iai证证:显然,1nnxx证明下述数列有极限.)1()1)(1()1)(1(12121211nnaaaaaaaaanx=),2,1(=n即nx单调增,又=nkkknaaax11)1()1(=1111a1(1)=nkkaa211)1

13、()1(1)1()1(11kaa)1()1(111naa=1nnx lim存在“拆项相消拆项相消”法法刘徽刘徽(约约225 295年年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细割之弥细,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,