万有引力计算及应用

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1、万有引力的应用：1. 地球质量的计算地面附近的重力与万有引力实质相同，不考虑地球自转的影响，重力等于引力mgMmR2质点m所在处的g值与到底薪距离R对应。Rt,gl,因此测出离地心R处的g值，就可算出地球质量M =空，此法在其他星球上成立G2. 在任何星球表面，g值比较容易测量，当用到GM时，可用GM= gR2换算，该公式 称为黄金代换”。由于g、R为人们所熟知，因此常用gR2替代GM来解题，此 式可推广，如 M 为某天体的质量， g 则为某天体表面的重力加速度， R 为该天体的 半径题1 ：已知引力常量G = 6.67 x 10-11N m2/kg2,重力加速度g取9.8m/s2,地球半径R

2、二6.4 x 106m ,则可知地球质量的数量级是（D ）A 1018 kg B 1020 kg C 1022 kg D 1024 kg题2 :已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求同步地球卫星离地面的高度h 答案：h = 3：竽竺-R ；T为24小时4兀23. 计算天体的质量4n 2 r 3GT 2某星体围绕中心天体m做圆周运动的周期为T ,圆周运动的轨道半径为r，由 zmmG zr2题3 :太阳光经过500s到达地球，地球的半径为R = 6.4 x 106 m，试估算太阳质量与 地球质量的比值（保留一位有效数字） 答案： 3x1054. 发现未知天体由最外侧天体轨道的“古怪”现象提出

3、猜想，根据轨道的古怪情况和万有引力定律 计算新天体的可能轨道，根据计算出的轨道预测新天体可能出现的时刻和位置，进 行实地观察验证海王星和哈雷彗星按时回归的意义不仅在于发现了新天体，更重要的是确立了万有 引力定律的地位。表明了一个科学的理论不仅能解释已知的事情还能推测未知的事 实题 4. 海王星的发现是万有引力定律应用的一个成功范例，但是发现海王星后，人们发 现海王星的轨道与理论计算值有较大差异，于是沿用了发现海王星的办法，经过多年 努力，才由美国以落维尔天文台在理论上计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论 值晓得多的冥王星，冥王星绕太阳运行的轨道半径是40个天文单位，（日地距离为一 个天文单位

4、），求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。答案：1： 2 J2总结：天体质量与密度的计算方法1. 利用天体表面重力等于万有引力（如上所述地球质量）已知地球半径R和表面的重力加速度g，根据物体重力近似等于地球对物体的引力，有 mgMm=G R2gR22. 利用天体绕另一天体的运动看做匀速圆周运动，其万有引力提供转动的向心力，分 为以下几种情况（地月为例）A 已知月球绕地球做匀速圆周运动，周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即GMmr22兀）2=mr I T丿懈得M =4 兀 2 r 3GT 2B .若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v ,由于地球对月球的引力等于月球

5、做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得GMmv2r2rrv2GC 若已知月球运行的线速度v和运行周期T ,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛二定律，有GMm=mV 2r2r又有2兀 rvTv 二得r 二 2T联立解得M =V3T27G以上使用与任何其他天体，注意区分中心天体的半径R和环绕半径r3. 天体密度计算方法密度公式：p =M4 兀R3A. 由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度Mm 43gmg 二 G，且 M = p 兀 R 3，得 p=5R 2，34 兀 GRB. 若天体的某个卫星的轨道半径为r，周期为T ,则由GMm = mr f王丫和r2 I

6、 T 丿43 兀 r 3M二p -兀R3，得P =右-当天体的卫星绕天体表面运行时，其轨道半径r3GT 2 R 3等于天体的半径R，则可进一步简化为p = 竺GT2题5 :银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星又质量不等的形体S1和S2构 成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动， 由天文观测得其周期为T，S1到C点的距离为rl，S1和S2的距离为r，已知万有 引力常量为G，由此可求出S2的质量为？答案：m =氓2厂212GT 2题 6：假设在半径为 R 的某天体上发射一颗卫星，若它贴近该天体的表变做匀速圆 周运动的周期为T1，则该天体的密度为多少，若这可卫星距

7、天体表面的高度为h， 测得运动周期为T2，则该天体的密度为多少？答案：p二些p = 3兀（R + H）3GT 2GT2R312题7 :某星球的半径R是地球的0.5倍，该星球的质量是地球的4倍，已知在地球 表面上以初速度v竖直上抛物体能达到最大高度为H，则以同样大小的速度在该星 球表面上竖直上抛物体，能达到的最大高度为多大？ 答案： H/l6宇宙航行与万有引力及经典力学的局限l 宇宙速度：第一宇宙速度（环绕速度）：7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度，也 是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度。第二宇宙速度（脱离速度）：11.2 km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小 发射速度第三宇宙速

8、度（逃逸速度）：16.7 km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小 发射速度2. 第一宇宙速度计算A 地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力G二加旦 ,v已GM。当h增大，v减小，所以在地球表面附近卫星的速 (r + h)2r + hr + h度是它运行的最大速度，其大小为rh (地表附近)时,v=7.9 km/sB 在地面附近的物体重力近似等于万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力mg = m丄，当rh时，g可近似看做地表值，v = ：gF =7.9 km/s r + h3. 人造卫星地球卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，所以卫星的轨道平面一定过地球球心， 所以卫星轨道一定与地心

9、共面。有Mmv 22nG = ma = m =2 r =)2 rr 2rT向心加速度、线速度、角速度、周期：1)向心加速度a与r的平方呈反比，a = Mm，当r取最小值即地球半径是，a取r2得最大值Mm =g=9.8m/s2r22)线速度v与r的平方根呈反比，v二所以当r增大，v减小，当r取最3)大值地球半径时，v取最大值v二GM=7.9km/s角速度： 学，所以r增大，角速度减小，当r取最小值地球半径时，=1.24 x 10 - 3 rad/s r4)周期T二叫GM，当r增大，T增大，当r取最小值地球半径是，t取最小值85min题8 ： a，b，c为大气层外圆形轨道上的三颗人造卫星，a，b质

10、量相同，且小于c的 质量，b，c共用一个轨道，RavRb=Rc，下列说法正确的是CA：b， c 的线速度大小相等且大于 a 的线速度B ： b , c的向心加速度相等且大于a的向心加速度C： b , c的周期相等且大于a的周期D：b， c 的向心力相等且大于 a 的向心力题9 :我国天宫一号和神舟八号在对接前，天宫一号的运行轨道高度为350km，神八 运行轨道高度为343km，他们的运行轨道视为圆周，则（B ）A:天宫一号比神舟八号速度大B:天宫一号比神舟八号周期长C:天宫一号比神舟八号角速度大D:天宫一号比神舟八号加速度大题10 :已知地球半径R=6400km，地球表面的重力加速度g取9.8

11、,若发射一枚同步 卫星，其高度和速度应该多大？答案：3.08 x 103 m/s 3.59 x 107 m4 经典力学局限性适用于低速，宏观，弱引力区域。对于高速，微观，强引力不适用低速:物体运动速度远小于光速称为低速。不是相对于人感官，是相对于光速而言物体的质量随运动速度的增大而增大，狭义相对论指出：m = mo_。m为物体静1乎0C 2止时的质量，c为光速引力半径:当天体半径压缩到一定值时，天体对其表面的物体的引力会趋于无穷大，这个值叫引力半径天体的实际半径接近引力半径时表现出的引力叫做强引力，而满足万有引力定律的物 质间的引力称为弱引力卫星变轨问题分析：Mmv 21当卫星的速度突然增加G

12、 m ,万有引力大于所需向心力，卫星将做近心运动，r 2r脱离原来的轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v = 浮可知，速度比原轨道大近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体：近地卫星与赤道上的物体轨道半径相同同步卫星与赤道上的物体运行周期相同，同步卫星的向心加速度小于近地卫星，大于赤道上物体的加速度。近地卫星和同步卫星都只受万有引力作用，充当向心力。赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力充当向心力题11 :某地球同步卫星离地心距离为r，运行速度为vl，向心加速度为al，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比例正确的 (A

13、D)A:a1 : a1=r : R B : al : a1= (r: R )2 C : v1:v2= r : R D v1:v2= R: r地球自转对地表物体的重力的影响重力式万有引力昌盛的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向 心力，重力实际上是万有引力的一个分力。另一个分力就是随地球自转的向心力由于唯独变化，物体座圆周运动的向心力F方向不断变化，向心力大小为mRcos 2物体在两极时，不做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力就是重力，和支持 力平衡; 物体在赤道时，向心力和重力刚好在一条直线上，则，万有引力=向心力+重 力。综上，重力在两极点处最大，等于万有引力，在赤道上最小，。其他地方介于两者之 间，但差别很小。重力方向，在赤道上和两极点的时候指向地心，其他地方都不指向地心，但与万有引 力夹角很小。题12 :某行星运行一昼夜时间T=6h，若弹簧秤在其赤道位置上比两极位置上测同意 物体重力时读数小10%，则该行星密度多大？假设行星自转角速度加快到某一值时， 在赤道上的物体会飘起来，自转周期多少？答案: 3 103 1.9h