第二部分静定结构的位移计算

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1、第二部分第二部分 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 第七章第七章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 什么叫位什么叫位移移?第一节概述第一节概述 结构在外因作用下变形或位移后，结构在外因作用下变形或位移后，某一横截面产生的相对其初始状态某一横截面产生的相对其初始状态的位置改变的位置改变。位移是矢量，可分解为三个位位移是矢量，可分解为三个位移分量，即两个线位移（一般移分量，即两个线位移（一般常考虑水平位移和竖向位移），常考虑水平位移和竖向位移），一个转角位移（简称角位移）。一个转角位移（简称角位移）。位移按位置变化的参考状态位移按位置变化的参考状态（参照物）可分为：（参照物）可分为：（1

2、1）绝对位移）绝对位移（2 2）相对位移）相对位移 指结构上的一个指定截面，位指结构上的一个指定截面，位移后的新位置相对其位移前旧移后的新位置相对其位移前旧位置的改变。位置的改变。绝对绝对位移位移ucCCBvccC指结构上的两个指定截面，位移后指结构上的两个指定截面，位移后新的位置关系相对其位移前旧位置新的位置关系相对其位移前旧位置关系的改变。关系的改变。相对相对位移位移(a)(b)研究结构位移计算的目的研究结构位移计算的目的(1)(1)验算结构的刚度，使结构的变验算结构的刚度，使结构的变形（一般由结构上的最大位移控制）形（一般由结构上的最大位移控制）限制在允许的范围内。限制在允许的范围内。(

3、2)(2)为超静定结构的内力分析打基为超静定结构的内力分析打基础。即位移条件的建立和使用。础。即位移条件的建立和使用。第二节第二节 刚体的虚功原理及应用刚体的虚功原理及应用 1.1.虚功的概念虚功的概念 力与其在力方向上的位移的乘积。力与其在力方向上的位移的乘积。虚功中的力和位移之间没有因果关虚功中的力和位移之间没有因果关系，即虚功的力和位移不相关。这系，即虚功的力和位移不相关。这是虚功区别于实功的是虚功区别于实功的重要特点重要特点。力状态力状态 位移状态位移状态 LbaBCBCC2.2.刚体的虚功原理及应用刚体的虚功原理及应用 刚体的虚功原理刚体的虚功原理 该式叫虚功方程。该式叫虚功方程。虚

4、位移方程虚位移方程求内力、约束求内力、约束力；虚力方程力；虚力方程求位移。求位移。W外虚=0=0虚位移方程及应用虚位移方程及应用 虚位移方程虚位移方程 虚位移方程用于求真实的未知力虚位移方程用于求真实的未知力（内力、约束力、支座反力）。（内力、约束力、支座反力）。(a)(b)例例7-2-1 LbaBCBCBPCBB(=1)(a)(b)静定结构可利用刚体的虚功原理（虚位移方程）求力 分析：分析：(1)去掉B支座链杆(2)按拟求支座反力让机构发生单位虚位移见图(b)(3)写出虚位移方程01PPByFF(4)求解虚位移方程 解解虚力方程及应用虚力方程及应用 让体系上虚设的平衡力系，在让体系上虚设的平

5、衡力系，在体系真实的刚体位移上，所作体系真实的刚体位移上，所作的外力总虚功等于零的方程的外力总虚功等于零的方程 虚力虚力方程方程虚力方程用以求真实的位移虚力方程用以求真实的位移 LcdBkkBk(a)(b)返回在支座移动时的位移计算公式在支座移动时的位移计算公式 EGCDEGCD3RF1RF2RF(a)(b)虚力方程虚力方程 01332211cFcFcFRRR则所求位移为：31iRicF例例7-2-2 6m6m4m10cm20cmCCF=3/4BxF=1/2By(1)解解：（2 2）按位移计算公式计算位移 21)(5.17)1043()2021(cmcFiRiCV（3 3）计算顶铰两侧截面的相

6、对 转角位移 F=0ByCF=1/4Bx()215.2)1041(radcFiRi相对转相对转角位移角位移 第三节第三节 结构位移计算公式结构位移计算公式（1）非线性变形体 变形体可分两大类（2 2）线性弹性体）线性弹性体 物理线性物理线性几何线性几何线性结构（变形体）的位移计算一般公结构（变形体）的位移计算一般公式推导如下式推导如下 BAB(a)BAB(b)微段变形对结构位移的影响微段变形对结构位移的影响 BBFQMBFN(c)(d)(31dMdFdFcFdQNiRidMdFdFdQN结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 LLLQNdMdFdF)(1LLLQNndMdFdF(7-3-

7、1)iRiLLLQNcFdMdFdF)(7-3-2)1 1、线弹性变形体位移计算公式、线弹性变形体位移计算公式 iRiQQNNcFdsEIMMdsGAFkFdsEAFF0iBiQQNNcFdsEIMMdsGAFFkdsEAFF0(7-3-3)第四节第四节 在荷载作用下静定结构在荷载作用下静定结构 的位移计算的位移计算 dsEIMMdsGAFFkdsEAFFPQPQNPN0在荷载单独作用下，结构的位移在荷载单独作用下，结构的位移计算公式计算公式 (7-4-1)(1)(1)梁和刚架，主要考虑弯梁和刚架，主要考虑弯曲变形的影响，位移公式：曲变形的影响，位移公式：dsEIMMP(7-4-2)(2)桁架

8、，只考虑轴向变形的桁架，只考虑轴向变形的影影 响，位移公式：响，位移公式：dsEAFFNPN(7-4-3)(3)组合结构和拱结构组合结构和拱结构 ，一般将，一般将梁式杆和桁架杆分别按各自的主梁式杆和桁架杆分别按各自的主要变形考虑，位移计算公式可写要变形考虑，位移计算公式可写成：成：dsEAFFdsEIMMNPNP(7-4-4)例例7-4-1 4mC3m4mDBA(a)(1)D结点的竖向位移结点的竖向位移 (2)CD杆的转角位移杆的转角位移 已知各杆已知各杆EA相等，并为常数相等，并为常数。求：求：解解（1 1）求求D结点的竖向位移结点的竖向位移 DV 1 1）计算）计算 NPFCDBA(b)图

9、图（kN）NPF2 2）计算）计算 NFCDBA(c)图图（kN）NF3 3）计算）计算 DV)(6.53)55.1283.055.1283.030141067.02(1mEAEADV51LEAFFNPNDV（2 2）求）求CDCD杆的转角位移杆的转角位移 1/3mCDBA1/3mradEAEA25.26)55.1221.0241017.041017.0(1()NF(d)图图（1/m）例例7-4-1 求求B结点的水平位移结点的水平位移(a)解解qLqL/2qL/2xx1xx11(b)(c)（1 1）（2 2）两种状态下任意两种状态下任意截面的弯矩函数截面的弯矩函数 AB杆：杆：2)(2qxqL

10、xxMxxM)(BC杆：杆：xqLxM2)(xxM)(（3 3）)(832)2(4210022EIqLdxxqLxdxqxqLxdxEIMMLLPBH第五节第五节 图乘法图乘法 图乘公式代替积分公式图乘公式代替积分公式 MPyyxxyooAEIEIAyC(a)图乘公式的应用条件图乘公式的应用条件(1)结构上各杆均为等截面直杆，结构上各杆均为等截面直杆，即，各杆即，各杆EI分别或分段为常数；分别或分段为常数；(2)(2)竖标必须取自直线弯矩图形竖标必须取自直线弯矩图形;(3)(3)另一弯矩图的面积另一弯矩图的面积A和面积形和面积形心易求得。心易求得。标准二次抛物线(b)例例7-5-1 L/2L/

11、2qABCBCA5(L/2)/882qLL/2L/212(a)(b)返 回简支梁简支梁B端截面的角位移和梁中端截面的角位移和梁中点点C处的竖向位移处的竖向位移 。已知梁的已知梁的EI值为常数。值为常数。求求解解1)求梁求梁B端的角位移端的角位移 (1)作在荷载作用下梁的弯矩图作在荷载作用下梁的弯矩图(3)由图乘公式计算位移由图乘公式计算位移 (2)作虚单位力偶作用下的弯矩图作虚单位力偶作用下的弯矩图2)2)求梁中点求梁中点C的竖向位移的竖向位移CV CAy1M=1BF=1Py2BCA(a)(b)例例7-5-2 L/2L/2FPBCA(a)解解图见图图见图(b)、(c)。作作PMMBCA231B

12、CAy3y2y1(a)(b)F=1PL/2BALCy3y2y1F=1PL/2B2ALC31(c)(d)例例7-5-3 求所示刚架求所示刚架B点的水平位移点的水平位移BH q=5kN/mCBDA(a)10kNmCcDA21.5kNm8kNm8kNm2Bb14322.5kNmPM图图(b)10kNmCBDAq=5kN/m8kNm8kNmPM图图(c)CBDA(d)图图M例例7-5-42m2mq=5kN/mDBCA,B两端点的相对竖向位移两端点的相对竖向位移AB(a)求求:12kNmDBC2kNm10kNmPM图图(b)DBCM图图(c)温度改变时静定结构的位移计算温度改变时静定结构的位移计算 第六

13、节第六节BAB静定结构受到温度改变的影响时，静定结构受到温度改变的影响时，发生满足约束允许的变形和位移，发生满足约束允许的变形和位移，为零内力状态。为零内力状态。设温度沿截面高度设温度沿截面高度h h以直线传递，以直线传递，见图（见图（a），则截面上材料的应变），则截面上材料的应变沿高度也呈线性变化。因此，杆沿高度也呈线性变化。因此，杆件由于温度改变变形后平截面假件由于温度改变变形后平截面假定仍然适用。定仍然适用。h2h1ht ds0dt ds2t ds1ds(a)h2h1ht0t2tt1o(b)例例7-6-1 图示静定刚架，各杆截面相同，截面图示静定刚架，各杆截面相同，截面为矩形，截面高度为

14、矩形，截面高度h=60cm。设材料在设材料在温度作用下的线膨胀系数为温度作用下的线膨胀系数为a=0.00001。白天施工时，室内外温白天施工时，室内外温度均在度均在10，夜间室外温度降至夜间室外温度降至-10C，室内温度不变。求悬臂端室内温度不变。求悬臂端G点的水平点的水平位移位移 GH。各杆杆长均为：各杆杆长均为：L=6m。CGDt2BAt2t1t2t2(a)CGDBA解解：(b)实际状态下在白天和夜晚刚架实际状态下在白天和夜晚刚架外侧的温度变化量：外侧的温度变化量：Ct20)10(102第七节第七节 线性变形体的互等定理线性变形体的互等定理 1.1.功的互等定理（基本定理）功的互等定理（基

15、本定理）静力荷载静力荷载，既从零到最后值有一，既从零到最后值有一个加载过程的荷载个加载过程的荷载。静力荷载在由于自己的原因引起静力荷载在由于自己的原因引起的相应位移上所作的功叫的相应位移上所作的功叫静力功静力功（实功）（实功）。对于线弹性变形体，其变形对于线弹性变形体，其变形（或位移）与外力是成正比的。（或位移）与外力是成正比的。所以，在线弹性体上静力荷载所以，在线弹性体上静力荷载所作的静力功可表示为：所作的静力功可表示为：PPJFW21(7-7-1)(a)(b)(c)三个三个概念：概念：1)1)不管两个静力荷载以怎不管两个静力荷载以怎样的方式（次序或增至最后值的样的方式（次序或增至最后值的过

16、程）加到梁上，当它们达到最过程）加到梁上，当它们达到最后值时，梁的变形也达到最后值。后值时，梁的变形也达到最后值。2)2)线弹性体的变形将使其体线弹性体的变形将使其体内产生相应的弹性应变能。同内产生相应的弹性应变能。同一线弹性体在不同的外力作用一线弹性体在不同的外力作用下，若变形相同则弹性应变能下，若变形相同则弹性应变能相同。相同。3)3)对于理想保守体系（不考虑对于理想保守体系（不考虑能量耗散的线弹性体系），在能量耗散的线弹性体系），在静力荷载作用下遵守能量守恒静力荷载作用下遵守能量守恒定律。定律。W+U=0(a)W=U(b)功的互等功的互等定定 理理线弹性体上一组外力（已达最终线弹性体上一

17、组外力（已达最终值）在由另一组外力引起的相应值）在由另一组外力引起的相应位移上所作的总虚外力功，等于位移上所作的总虚外力功，等于外力（已达最终值）在由外力引外力（已达最终值）在由外力引起的相应位移上所作的总虚外力起的相应位移上所作的总虚外力功。功。(a)(b)状态状态1 状态状态2 2 2、位移互等定理、位移互等定理 21212pF12121pF称为位移影响系数称为位移影响系数每单位力引起的位移值每单位力引起的位移值。12211221表示由于表示由于 单位力时单位力时，2PF1PF（）（）状态状态1 (a)引起的相应于引起的相应于 2PF1PF（）的位移值的位移值。为为2112位移互等定理叙述

18、为：位移互等定理叙述为：，等于由，等于由1PF212PF12在任一线弹性变形体上，由力在任一线弹性变形体上，由力引起的沿另一力引起的沿另一力方向上的位移方向上的位移影响系数影响系数方向上的位移影响系数方向上的位移影响系数引起的沿引起的沿2PF1PF。(7-7-2)位移互等位移互等定理定理在任一线弹性变形体上，由单位力在任一线弹性变形体上，由单位力 11PF引起的沿单位力引起的沿单位力 12PF方向上的位移方向上的位移 21等于由等于由 12PF引起的沿引起的沿 11PF方向上的位移方向上的位移 12状态状态2 (b)3 3、反力互等定理、反力互等定理 R21R11R22R12状态状态1 (a)

19、2112rr反力互等定理反力互等定理反力互等定理叙述为反力互等定理叙述为:在任一线弹性变形体上，由支座在任一线弹性变形体上，由支座1的位移的位移 引起的另一支座引起的另一支座2 2的反力的反力影响系数影响系数,等于由支座等于由支座2的位移的位移 引起的另一支座引起的另一支座1 1的反力影响的反力影响1221r12r系数系数。(7-7-3)或，或，在任一线弹性变形体上，由在任一线弹性变形体上，由引起的另一支座引起的另一支座2的反力的反力 等于由支座等于由支座2的单位位移的单位位移 引起的支座引起的支座1的反力的反力 111221r12r支座支座1的单位位移的单位位移r21r11r22r12状态状

20、态2 (b)4 4、反力位移互等定理、反力位移互等定理 21A221A12状态状态1 (a)21A221A12状态状态2 (b)2112r反力位移互等定理反力位移互等定理(7-7-4)反力位移互等定理叙述为：反力位移互等定理叙述为：在任一线弹性变形体上，状态在任一线弹性变形体上，状态1在力在力 作用下引起的支座作用下引起的支座2的反力影响系数的反力影响系数 1PF21r与状态与状态2由支座由支座2的位移的位移 2引起的相应引起的相应 1PF处的位移影响系数处的位移影响系数 12数值相等，数值相等，符号相反。符号相反。或或，在任一线弹性变形体上，在任一线弹性变形体上，状态状态1在单位力在单位力 11PF的支座的支座2的反力的反力 作用下引起作用下引起21r支座支座2的单位位移的单位位移，与状态与状态2由由12引起的相应引起的相应 11PF处的位移处的位移 12数值相等，数值相等，符号相反。符号相反。*位移（反力）影响系数的量纲位移（反力）影响系数的量纲 的量纲取决于另一状态的力的量纲取决于另一状态的力 12位移位移1PF。