数字电路的逻辑运算

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1、数字电路与数字电路与EDA技术技术 使用教材：潘松 黄继业 EDA技术实用教程（第三版）北京 科学出版社 2007 参考书目：刘昌华 数字逻辑EDA设计与实践 国防工业出版社 阎石.数字电子技术基础（第五版）.高等教育出版社 2006.5 王毓银主编，数字电路逻辑设计，高等教育出版社，1999；考核方式：期末考试时间为120分钟，闭卷，具体考试时间至少提前1周通知学生。成绩评定：平时10，实验30，期末考试60逻辑代数基础2.1 数字电路的基础知识2.2 逻辑代数及其运算规则2.3 逻辑函数表示方法2.4 逻辑函数的化简 在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称

2、逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。逻辑变量：逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。2.1 概述一、与逻辑（与运算）、与逻辑（与运算）与逻辑：与逻辑：仅当决定事件（仅当决定事件（Y Y）发生的所有条件（）发生的所有条件（A A，B B，C C，）均满足时，事件（）均满足时，事件（Y Y）才能发生。表达）才能发生。表达式为：式为：例：开关例：开关A A，B B串联控制灯泡串联控制灯泡Y Y电路图L=ABEABYA A、B B都断开，灯不亮。都断开，灯不亮。E A B Y A A断开、断开、B B接通，灯不亮。接通，灯不亮。E

3、 A B Y A A接通、接通、B B断开，灯不亮。断开，灯不亮。2.2 逻辑代数中的三种基本运算 E A B Y A A、B B都接通，灯亮。都接通，灯亮。开关A 开关B灯Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭灭灭亮功能表功能表 将开关接通记作将开关接通记作1 1，断开记作，断开记作0 0；灯亮记作；灯亮记作1 1，灯，灯灭记作灭记作0 0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：A BY0 00 11 01 10001真真值值表表两个开关均接通时，灯才会两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：亮。逻辑表达式为：实现与逻辑的电路称为实现与逻辑的电路称为与门

4、与门。与门的逻辑符号：与门的逻辑符号：YAB&二、或逻辑（或运算）二、或逻辑（或运算）电路图L=ABEABY或逻辑：或逻辑：当决定事件（当决定事件（Y Y）发生的各种条件）发生的各种条件A A，B B，C C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y Y）就发生。表达式为：就发生。表达式为：两个开关只要有一个接通，灯两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：就会亮。逻辑表达式为：开关 A 开关 B灯 Y断开 断开断开 闭合闭合 断开闭合 闭合灭亮亮亮A BY0 00 11 01 10111 功能表功能表真值表真值表AB1实现或逻辑的电路称为实现或逻辑的

5、电路称为或门或门。或门的逻辑符号：或门的逻辑符号：三、非逻辑（非运算）三、非逻辑（非运算）非逻辑：非逻辑：指的是逻辑的否定。当决定事件（指的是逻辑的否定。当决定事件（Y Y）发生的）发生的条件（条件（A A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：而发生。表达式为：Y YA A电路图EAYR功能表功能表真值表真值表实现非逻辑的电路称为实现非逻辑的电路称为非门非门。非门的逻辑符号：非门的逻辑符号：YA1YA常用的逻辑运算常用的逻辑运算1 1、与非运算：与非运算：逻辑表达式为：逻辑表达式为：A BY0 00 11 01 11110 真 值 表

6、)(BAYYAB与非门的逻辑符号L=A+B&2 2、或非运算：、或非运算：逻辑表达式为：逻辑表达式为：)(BAYA BY0 00 11 01 11000 真值表YAB或非门的逻辑符号L=A+B13 3、异或运算：逻辑表达式为：、异或运算：逻辑表达式为：BABABAY A BY0 00 11 01 10110 真值表YAB异或门的逻辑符号L=A+B=1异或逻辑的运算规则：0 1=11 0=11 1=A 0=A 1=A A=A A=AA14 4、同或运算：逻辑表达式为：、同或运算：逻辑表达式为：ABBAYA B Y A B 同或门的逻辑符号 L=A+B=异或和同或互为反运算异或和同或互为反运算同或

7、逻辑的运算规则：0 1=01 0=01 1=A 0=A 1=A A=A A=AA15 5、与或非运算：逻辑表达式为：与或非运算：逻辑表达式为：)(DCBAYY1&ABCD与或非门的逻辑符号2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式一、基本公式与 运 算：111 001 010 000或运算：111 101 110 000请特别注意与普请特别注意与普通代数不同之处通代数不同之处1.常量之间的关系常量之间的关系 2.基本公式基本公式0-1 律：AAAA10 0011AA分别令分别令A=0及及A=1代入这些代入这些公式，即可证公式，即可证明它们的正确明它们的正确性。性。亦称亦称 非非律非非律

8、3.基本定理基本定理交换律：ABBAABBA结合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA利用真值表很容易证利用真值表很容易证明这些公式的正确性。明这些公式的正确性。如证明如证明AB=BA：求证求证:（1717式）式）A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边 =(A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A 1+BC=A 1+BC=A+BC=A+BC=左边左边课本上用真值表证明课本上用真值表证明

9、二、常用公式二、常用公式1.A+AB=2.A+AB=A+AB=A(A+B)=A(A+B)=注注:红色变量被吸收红色变量被吸收掉！统称掉！统称 吸收律吸收律注注:红色变量被吸收红色变量被吸收掉！统称掉！统称 吸收律吸收律AA+BA+BABAB证明证明:A+AB=(A+A)(A+B);分配律分配律 =1(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)3.AB+AB=4.A(A+B)=证明证明:A(A+B)=AA+AB =A+AB =A(1+B)=A(A+B)(A+B)=注注:红色变量被吸收红色变量被吸收掉！也称掉！也称 吸收律吸收律AAA5.AB+AC+BC=证明证明:AB+AC+BC =AB+A

10、C+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B)=AB+ACAB+AC+BCD=AB+ACAB+AC冗余定律冗余定律或或多余项定理多余项定理或或包含律包含律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)(A+B)(A+C)(B+C+D)=(A+B)(A+C)冗余定律冗余定律或或多余项定理多余项定理的其他形式的其他形式同理：此多余项可以同理：此多余项可以扩展成其他形式扩展成其他形式6.A(AB)=A(AB)=证明证明:A(AB)=A(A+B)=AA+AB =ABA(AB)=A(A+B)=AA+AB =A(1+B)=AABA一、代入定理一、代入定理 任何一个

11、含有变量任何一个含有变量A的等式，如果将所有出的等式，如果将所有出现现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。然成立。这个规则称为代入定理。例如，已知等式例如，已知等式 ，用函数，用函数Y=BC代代替等式中的替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：，根据代入定理，等式仍然成立，即有：BABA)(CBACBACBA)()(2.4 逻辑代数的基本定理二、二、反演定理反演定理对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中，如果将表达式中的所有的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1

12、”换成换成“0”，原变量换成反变量，原变量换成反变量，反变量换成原变量反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函，那么所得到的表达式就是函数数Y的反函数的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反（或称补函数）。这个规则称为反演定理。演定理。CDCBAY)()(DCCBAYCDCBAY)(CDCBAY)(应用反演定理应注意两点：应用反演定理应注意两点：1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表 达式中，达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行之间先运算，再和其它变量进行 运算，运算，那么非函数的表达式中，仍然是那么非函数的表达式中，仍然是AB之之 间先运

13、算。间先运算。2、不属于单个变量上的反号应保留不变。、不属于单个变量上的反号应保留不变。三、三、对偶定理对偶定理 对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中，如果将表达式中的所有的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换换成成“1”，“1”换成换成“0”，而，而变量保持不变变量保持不变，则可，则可得到的一个新的函数表达式得到的一个新的函数表达式 YD,YD称为称为Y的对偶式。的对偶式。对偶定理：对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。也相等。利用对偶规则利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式可以使要证明及要记忆的公式数

14、目减少一半。数目减少一半。)(CBAYCBAYD)(CDABY)()(DCBAYDACABCBA)()(CABABCAAA 1（2）式）式AA 0（12）式）式2.5 逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,)二、逻辑函数表示方法 常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相互转换。例：一举重裁判电路设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开；Y为1表示灯亮，为0表

15、示灯暗。得到函数表示形式：真值表函数式)(CBAABCCABCBAY逻辑图波形图ABCYtttt)(CBAY真值表：真值表：将输入、输出的所有可能状态一将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。一对应地列出。0 10 11 01 0A YA Y一输入变一输入变量，二种量，二种组合组合 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0二输入变二输入变量，四种量，四种组合组合A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1三输入变三输入变量，八种量，八种组合组合A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0

16、 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四输入变四输入变量，量，16种种组合组合 n个变量可以有个变量可以有2n个组合，个组合，一般按二进制的顺序，输出与输一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能入状态一一对应，列出所有可能的状态。的状态。逻辑函数式逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成把逻辑函数的输入、输出关系写成与与、或或、非非等逻辑

17、运算的组合式，即等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式逻辑代数式，又称，又称为为逻辑函数式逻辑函数式，通常采用，通常采用“与或与或”的形式。的形式。比如：比如：ABCCBACBACBACBAF逻辑图：逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。表示出来。)(CBAY各种表示方法之间的相互转换1 1、真值表、真值表逻辑函数式逻辑函数式方法方法:将真值表中为将真值表中为1 1的项相加的项相加,写成写成 “与或式与或式”。CABCBABCAYA B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

18、1 1 1 0 例例2.5.12 2、逻辑式、逻辑式真值表真值表方法方法:将输入变量取值的所有将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函组合状态逐一带入逻辑式求函数值数值,列成表即得真值表。列成表即得真值表。例例2.5.2CBACBAYA B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 011111103 3、逻辑式、逻辑式逻辑图逻辑图方法方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图就可以画出逻辑图.例例2.5.3CCBACBAY)(4 4、逻辑图、逻辑图逻辑式逻辑式方法方法:从输入端到

19、输出端逐级写出每个图形符从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.AB)(BA)(BABABABABABABAY)()()(5 5、波形图、波形图真值表真值表ABCYtttt00000011010101101000101111001111A B C Y 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 01100101最小项:在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若m为包含为包含n个因子的乘个因子的乘积项，而且这积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在个变量都以原变量或反

20、变量的形式在m 中中出现出现，且仅出现且仅出现一次一次，则这个乘积项，则这个乘积项m称为该称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量个变量A、B、C可组成可组成 8(23)个最小项：个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、4个变量可组成个变量可组成 16(24)个最小项个最小项,记作记作m0m15。三、逻辑函数的两种标准形式若两个最小项仅有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。例：和 ，这两个最小项相加时能合并，并可消去1个因子。ABC0000m

21、 00011m 10102m 20113m 31004m 41015m 51106m 61117m 7编号对应十进制数 最小项使最小项为1 的变量取值CBACBACBABCACBACBACABABCCBACABCBAACBCABCBA)(最小项的性质最小项的性质:任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。任意两个不同的最小项的乘积必为任意两个不同的最小项的乘积必为0。全部最小项的和必为全部最小项的和必为1。CBACBA 具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻

22、性的最小项。只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。例如:将它们合并，可消去因子:=BCABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。ABC+ABC=(A+A)BC 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为组最小项之和，称为标准与或表达式标准与或表达式，也称为，也称为最小项表达式最小项表达式。逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式 对于不是最小项表达式的与或表达式，对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式可利用公式AA1 和和A(B+C)ABAC来配项展开成最小项表达式。来配项展开成最小项表达式。)15,14,11,10,9,7,3(

23、)()()()(15141110973mmmmmmmmABCDDABCCDBADCBABCDACDBADCBADDABCDDCBABCDACDBADCBACBBACDBBADCBAACCDADCBAY例例2.5.6CBAm2CBAm1如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。A B CY最小项0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101110100m0m1m2m3m4m5m6m7CBABCACBACBAmmmmmY)5,3,2,1(

24、5321BCAm3CBAm5 在在n变量逻辑函数中，若变量逻辑函数中，若M为包含为包含n个因子个因子的和项，的和项，而且这而且这n个变量都以原变量或反变量的个变量都以原变量或反变量的形式在形式在M 中中出现出现，且仅出现且仅出现一次一次，则这个和项，则这个和项M称为该函数的一个标准和项，通常称为最大称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。项。n个变量有个变量有2n个最大项，记作个最大项，记作i最大项的性质：在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；全体最大项之积为0；即 任意两个最大项之和为1；只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。最大项:120ii0Mn

25、例:写出函数 Y=A(B+C)的标准或与表达式。解:最小项与最大项的关系最小项与最大项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系相同编号的最小项和最大项存在互补关系即即:mi=Mi=若干个最小项之和表示的表达式若干个最小项之和表示的表达式Y，其反函数，其反函数Y可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。示。例：例：7531mmmmY =7531MMMM=)mmmm(7531 Ym7m3m5m1Mimi四四、逻辑函数形式的变换 根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电表达

26、式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。成相应的形式。1 1、最简最简与或与或表达式表达式CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式最简与或表达式首先是式中首先是式中乘积项最少乘积项最少 乘积项中含的乘积项中含的变量最少变量最少 实现电路的与门少实现电路的与门少 下级或门输入端个数少下级或门输入端个数少与门的输入端个数少与门的输入端个数少2 2、最简最简与非与非-与非与非表达式表达式在最简与或

27、表达式在最简与或表达式的基础上两次取反的基础上两次取反用摩根定律去掉内层的非号用摩根定律去掉内层的非号)()()(CABACABACABAY3 3、最简最简或与或与表达式表达式CABAY ACBACBACBACABACABACABAY)()()()()()()()()()(CABAACBAACBAY 求出反函数的最简与或表达式利用反演规则写出函数的最简或与表达式4 4、最简最简或非或非-或非或非表达式表达式)()()()(CABACABACABACABAY求最简或与表达式求最简或与表达式两次取反两次取反用摩根定律去用摩根定律去掉内部的非号掉内部的非号、最简最简与或非与或非表达式表达式)()()

28、(ACBACABACABAY求最简或非求最简或非-或非表达式或非表达式用摩根定律去掉内部非号。用摩根定律去掉内部非号。方法一：方法一：CABAYACBACBACBACABAY)()(求出反函数的求出反函数的最简与或表达式最简与或表达式求反，得到最简与或求反，得到最简与或非表达式非表达式)(ACBAY方法二：方法二：2.6 逻辑函数的化简方法一、公式化简法一、公式化简法并项法：并项法：吸收法：吸收法：A+AB=A消项法：消项法：消因子法：消因子法：配项法：配项法：AB+AB=AAB+A C+BC=AB+A CA+A B=A+BA+A=A A+A=1例2.6.1 试用并项法化简下列函数CDBACD

29、BAY)(1CDABAACDBAY2CBCACBAY3BCDDCBDBCDCBY4ACDBCDBA)(CDBCDAABAACBACBA)(CBACBA)(BCCBDDBCDDCB)()(=BCCBABA)(例2.6.2 试用吸收法化简下列函数ADABDCBAY)(1)(2DCABABDCABABY)()()(3DCBABCABCAYADADBCBA1)(ABDCDCAB)(1=A+BC例2.6.3 用消项法化简下列函数)(1CBBAACYEDCAEBADCBAY)(2EDBCDBCADBADBAABCCBAY3CBBAACCBACEBADCBA)(DCEBBADBACBA)()()(DBACB

30、A)()(例2.6.4 用消因子法化简下列函数ABCBY1BABBAY2DCDAACY3ACB BABABADACACDCAAC)(DAC 例2.6.5 化简函数ABCBCACBAYABCBCABCACBAY解：)()(ABCBCABCACBABCBA;A+AA例2.6.6 化简函数CBCBBABAYCBAACBCCBABAY)()(解：;A+A1CBABCACBCBACBABACACBBA例2.6.6 化简函数CBCBBABAYCACBCBBABAY解二：CACBBA;消去，消去解三：CACBCBBABAY;消去,消去CACBBA;增加冗余项;增加冗余项例2.6.7 化简逻辑函数DEBADB

31、CACBADCDBCBACY)(解：DEBADBCACBADCDBCBACY)(DEBACBADCDBCBAC)(吸收法吸收法DEBAADCDBCBAC消因子法消因子法ADCDBCB吸收法吸收法消项法消项法ADBCB逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。卡诺图的定义：二、卡诺图化简法二、卡诺图化简法逻辑相邻项：逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。BCACBACBA不是

32、逻辑相不是逻辑相邻项邻项是逻辑是逻辑相邻项相邻项卡诺图的表示：1、一变量全部最小项的卡诺图、一变量全部最小项的卡诺图一变量Y=F（A），YA01AYA01m0m1全部最小项：A，A卡诺图：下面我们根据逻辑函数变量数目的不同分别介绍一下：AABY0101m0m1m2m3YAB00011110A BABABA B00011110YABm0m1m3m2YABC0100011110m0m1m4m5m3m2m7m62、二变量全部最小项的卡诺图、二变量全部最小项的卡诺图Y=F（A、B）YABC0001111001m0m1m4m5m3m2m7m63、三变量全部最小项的卡诺图、三变量全部最小项的卡诺图 Y=F

33、（A、B、C）YABCD0001111000011110m0m1m4m5m3m2m7m6m12m13m8m9m15m14m11m10YABCD00000101101010010111111001m0m1m3m2m4m5m7m6m8m9m11m10m12m13m15m144、四变量全部最小项的卡诺图、四变量全部最小项的卡诺图Y=F（A、B、C、D）注意：注意：左右、上下；在卡诺图中，每一行的首尾；每一列的首尾；的最小项都是逻辑相邻的。Y=AC+AC+BC+BC卡诺图：卡诺图：YABC010001111011111100A(B+B)C+(A+A)BC Y=A(B+B)C+(A+A)BC+=(m1,

34、m2,m3,m4,m5,m6)1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。方法一：方法一：解：对于AC有：对于AC有：对于BC有：对于BC有：根据函数式直接填卡诺图方法二：方法二：YABC010001111011111001 1 例：用卡诺图表示之。1用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：BAACDDBADCBAY例2.6.8 用卡诺图表示逻辑函数解：将Y化为最小项之和的形式DCBADCBADCBACDBAABCDDCBADBCADCBAYm1+m4+m6+m8+m9+m10+m11+m1511111111例2.6.9

35、 已知逻辑函数的卡诺图,试写出该函数的逻辑式 BC A CBAABCCBACBAY 化简依据化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。化简规则化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个如何最简如何最简：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。特别注意特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，不能合并的 1 必须单独画 圈。YABC010001111011111001 1 1 上两式的内容不相同，但函数值一定相同。YABC010001111011111001 1 1 Y1=BC+BA+ACY1=CA+BCA+B将Y1=AC+AC+BC+BC 化简为最简与或式。此例说明，一逻辑函数的化简

36、结果可能不唯一。例：例：（画矩形圈）。用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的原则（1）任何两个（）任何两个（21个）相邻最小项，可以合个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。并为一项，并消去一个变量。CAACDBC DCB合并最小项的原则（2）任何）任何4个（个（22个）相邻的最小项，可以合个）相邻的最小项，可以合并为一项，并消去并为一项，并消去2个变量。个变量。ACBDDBDB DB此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项合并最小项的原则（3）任何）任何8个（个（23个）相邻最小项，可以合并为一项，个）相邻最小项，可以合并为一项，并消去并消去3个变量。个变量。B

37、D合并最小项的原则利用 AB+AB=A2个最小项合并，消去1个变量；4个最小项合并，消去2个变量；8个最小项合并，消去3个变量；2n个最小项合并，消去n个变量；卡诺图化简法的步骤 画出变量的卡诺图;作出函数的卡诺图;画圈;写出最简与或表达式。画圈的原则 合并个数为2n；圈尽可能大-乘积项中含因子数最少；圈尽可能少-乘积项个数最少；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。例2.6.10 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式CBCBCACAYCBCABAYCBBACAY111111YY例2.6.11 用卡诺图将下式化简为最简与或函数式DCACBADCDCAABDABCYDAYYDAYD

38、ADAYY)()(Y2.7 具有无关项的逻辑函数化简约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项无 关 项约束项:当限制某些输入变量的取值不能出现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。任意项:在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。在卡诺图中用符号在卡诺图中用符号“”、“”或或“d”表示无关项。表示无关项。在化简函数时即可以认为它是在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是，也可以认为它是0。例2.7.1 化简逻辑函数DCBABCDADCBAY已知约束条件为0DCBADABCABCDDCBADCABDCBACDBADADA

39、Y例2 判断一位十进制数是否为偶数。判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现 说 明1 1 1 100 1 1 11 1 1 010 1 1 01 1 0 100 1 0 11 1 0 010 1 0 01 0 1 100 0 1 11 0 1 010 0 1 001 0 0 100 0 0 111 0 0 010 0 0 0Y A B C DY A B C D 输入变量输入变量A，B，C，D取值为取值为00001001时，逻时，逻辑函数辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数，奇数时为时为0。)8,6,4,2,0(),(

40、mDCBAY0)15,14,13,12,11,10(d无关项：无关项：)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),(dmDCBAY不利用无关项的不利用无关项的化简结果为：化简结果为：DCBDAY利用无关项的利用无关项的化简结果为：化简结果为：DY逻辑函数化简小结逻辑函数的化简有公式法和图形法逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有需要熟练地运用公式和定理，且具有一

41、定的运算技巧。图形法就是利用函一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用无关在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。项可以得到十分简单的结果。把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表逻辑函数真值表，简称真值真值表。表。返回返回P58题2.2（4）)()(CBACBACBABCCBACBA1111111111111111

42、01 1 1 110 1 1 111 1 1 000 1 1 011 1 0 100 1 0 101 1 0 010 1 0 011 0 1 100 0 1 101 0 1 010 0 1 001 0 0 110 0 0 111 0 0 000 0 0 0Y A B C DY A B C D找出真值表中使逻辑找出真值表中使逻辑函数函数Y=1的那些输入的那些输入变量取值的组合变量取值的组合P59表P2.3（b）)14,13,11,8,7,4,2,1(mYA B C D Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 A B C D Y 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 P60题2.5（2）ADDCBDCBAY )(21111111000000000