数学理第一轮第讲圆锥曲线的综合应用

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1、1,5222221.2115.2.2xyykxxttypxxy若直线与焦点在 轴上的椭圆恒有公共点，则 的取值范围是已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为1,022222.21212.1,02xyabcabcxpp 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为，则，故其左准线，故，故焦点坐标为解析：2222184xy2222102,04.3.xyCababFxC设椭圆：相应于焦点的准线方程为，则椭圆 的方程是22222222222844184caacbabcxyC由题意得：，所以，所以椭圆 的方程为解析:22-=1412xy2264804.CxyxyC已知圆：以圆 与坐标轴的交点分

2、别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 222222648006802,04,02412-=1412CxyxyyxxCacbxy圆：，令，得圆 与坐标轴的交点分别为，则，所以双曲线的标准方程为解析：222211612xy222221(0)12.8.5xymnymnx设椭圆 的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为2222222282,02124242121.1612yxxmmxyn抛物线的焦点为，所以椭圆焦点在 轴上且半焦距为，所以，所以，所以椭圆的方程解析：为最值与范围最值与范围 22901123121lxyPPxyP在直线：上任取一点，过点且以椭圆

3、的焦点为焦点作椭圆点在何处时，所求椭圆的长轴最短？求长轴最短时的椭【例】圆方程 22121112212211(3,0)1233,090(9,6)230.90,(5,4)230(5,4)()226 53 536.45xyFFFxyFFFxyxyPxyPaPFPFabx椭圆 的两个焦点为，易求得焦点 关于直线 对称的点为，则过点，的直线方程为 联立解得易证，过点的椭圆长轴最短 为什么？自己证明因为，所以，故所求椭圆【的方程为解析】2136y 本例通过平面几何知识，利用椭圆的定义和对称性找到长轴最短时的P点，从而解决问题还可以有如下解法：设所求椭圆的方程为222222222901.,9190 xyx

4、yyxxyaaaaaP 联关，进点标立消去 得于的一元二次方程令可求得 的值，而求得的坐 22222222222012121201212121(0)1(0)00.“”1112xyxabyxxbcabcabcFFFAABBxyF FFbA AB Ba我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称为 果圆，其中 ，、是相应椭圆的焦点，、和、分别是 果圆 与、轴的交点若三角形是边长为 的等边三角形【变式练习，求 果圆的方程；若，求】的取值范围；22220122222201122222222222222222221,0(0)(0)()12137.4444“”1(0)1(0)73222.42(2)5FcFbcFbc

5、F FbccbFFbccabcxyxyxxacbabbabbbcaabbaabc因为，所以 ，于是 ，故所求 果圆 的方程为，由题意，得 ，即由 ，即 ，得又解析】【2222212 4(,)225bbabaa ，所以，所以圆锥曲线的离心率圆锥曲线的离心率 222212121(00)2xyPababFFePFe PFe设点 是双曲线，右支上的任意一点，分别是其左、右焦点，离心率为，若，求此双曲线的离心率 的取【例】值范围121221121212222211()2122101121(1,12.PFPFaaaePFe PFPFPFPFPFeeFFFPFa eceeeee 由双曲线的第一定义可知：，又

6、，故，当且仅当点，共线时取等号，即，所以 ，即，故所求双曲线的离心率 的【取值范围是解析】圆锥曲线中的离心率反映了圆锥曲线的形状，也反映了圆锥曲线上的点到焦点和到准线的距离的关系，在实际问题中，常与第二定义联系在一起 22221(0)6202xyabFabABAFFBe已知椭圆+，过左焦点 作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率 为_【变式练习】_243423233BFBdAFAdeddde如图，设，点 到左准线的距离为，则，点 到左准线的距离 ，由圆锥曲线的统一定义得，则 ，故【】解析23探究性问题探究性问题 222222261(0)3(13)12().24034yxCababA

7、lCABBClClABDxmxyymDm已知椭圆：+的离心率为，过右顶点 的直线 与椭圆 相交于、两点，且，求椭圆【和直线 的方程；记椭圆 在直线 下方的部分与线段所围成的平面区域 含边界 为若曲线 与有公共点，试求实数 的最小值例】(2011南通一模卷)2222222222222222661333.(13)1(3)(1)11.124.11242,0(13)2.abeaabyxBCabababyxCABlyx由离心率，得，即 又由点，在椭圆：+上，得+,联立解得，故椭圆 的方程为+由，得直线 的方程为 解析【】2222222440()(2)8(2)2 2.22 20 xmxyymxmyG mr

8、ymm 曲线 ，即 ，其圆心坐标为，半径 易知它是圆心在直线 上，半径为的动圆由于要求实数 的最小值，故由图可知，只需考虑的情形22min|22|2 24.24(42)60.60(24)201 2.(1)(32)87 1.GlTmmmGllxyxyTxyDTDGBmmm设与直线 相切于点，则由，得 当 时，过点，与直线 垂直的直线的方程为 解方程组，得，因为区域 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为，所以切点由图可知当过点 时，取得最小值，即 ，得 本题考查了直线、椭圆、圆的方程及圆的切线等多个知识点，虽然是以椭圆为背景，但重点考查的是直线与圆的知识，题目立意新颖，有较好的区分度 2222 2

9、.=1910.123xOyCyxOxyCaCCQQFOFQ在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆 与直线 相切于坐标原点椭圆与圆 的一个交点到椭圆两焦点的距离【变式练习之和为求圆 的方程；试探究圆 上是否存在异于原点的点，使点到椭圆的右焦点 的距离】等于线段的长？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由 2222221()(00)()()8.|=2 2|4.20,00,08.|4228(mn mnCxmynCyxCmnCmnCyxCmnmnmnmnCx 设圆心的坐标为，则圆 的方程为 已知圆 与直线 相切，那么圆心 到该直线的距离等于圆 的半径，则，即 又圆 与直线 切于原点

10、，故将原点，代入圆 的方程中，得 联立方程和组成方程组，解得故圆 的方【】程为解析222)(2)8.y 2222222222525=125944,04.4(4)1614(4)16512(2)(2)165xyaacOFQFOFFxyxxyxyy依题意知，所以，则椭圆的方程为，其半焦距 ，右焦点为，那么要探求是否存在异于原点的点，使得该点到椭圆右焦点的距离等于，我们可以转化为探求以右焦点 为圆心，半径为 的圆 与所求的圆的交点个数 通过联立两圆的方程，得,解得4 12(,)55.QFOF故存在异于原点的点，使得该点到椭圆右焦点 的距离等于2221 0121.xkyk若椭圆 的离心率为，则它的长轴长

11、是_2 22 323或22.2.21CxyC 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线 的两条渐近线与圆都相切，则双曲线 的离心率是2222|2|2 313|2|12.xyxbeabyyxaeab由题可知，当双曲线的焦点在 轴上时，渐近线方程为，由已知可知，解得；当双曲线的焦点在 轴上时，渐近线方程为，由已知可得，解得解析：22121212149.03xFFyPFPFFPF设 和为双曲线 的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是_V1221222112222212121212121254|4216.90(2 5).12.1.2xyacPFPFPFPF PFPFFPFPFPFPF PFS FPFP

12、F PF由 ，得 ，所以，则因为，所以联立【解解得 所】以析2243,02,013.12yAFxPPAPF已知点、，在双曲线 上求一点，使的值最小1322.2,0|12.2121,0abcePFdPFPFddPAPFPAdPPAPAP因为 ，所以 ，所以 设点 到与焦点相应的准线的距离为，则，所以所以，这问题就转化为在双曲线上求点，使 到定点 的距离与到准线的距离和最小即直线垂直于准线时合【题意，所以解析】2214345.xymyxm是否存在实数，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称2211222200143()()4()431xyA xyA xyyxmxyM xyM设椭圆 上以，为端点的弦

13、关于直线 对称，其中【解析】点为，且是椭圆 内的点，120120221122221212221112120121200000000022.34()3()33()34()41313444()43(3AAAAxxxyyyxyyyxxxyyyxxxkxxyyyxkyxyM xyyxmxmymMmm从而有 ，4 12 由,得4 12 所以由，由，在直线 上，则 ，222)342 13 2 131(,)43131313mmmm ，从而有 1圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，数形结合的数学思想，与圆锥曲线相关的定值问题、最值问题、应用问题和探索性问题圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识与三角、函数等代数

14、知识的横向联系，解综合性问题的分析思路与方法重要的是要善于掌握圆锥曲线知识的纵向、横向的联系，努力提高解题能力 2与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围 3圆锥曲线中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法 4定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)