xx大学高等数学d112对坐标曲线积分

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1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第二节第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 第十一章 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移cosABFW“大化小”“常代

2、变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(,),(),(yxQyxPyxFABLxyO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1kMkMABxy1)“大化大化小小”.2)“常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替,),(kk则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理

3、与信息工程学院3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP )xQ()y(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2.定义定义.设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二

4、类曲线积分.其中,),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限),(,),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQ高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧,记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxr LLyyxQxyxPrFd),(d),(d),(,),(,)

5、,(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPrFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxr 类似地,高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3.性质性质(2)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLryxFd),(kiLidryxF1),(2)用L 表示 L 的反向弧,则LryxFd),(LryxFd),(则(1)设与为常数，则LdryxFyxF),(),(21LLdryxFdryxF),(),(21则高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 定积分是第二类曲线积分的特例定

6、积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(,),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在,且有高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院证明证明:在L上取一系列点LxyxPd),(tttPd )(),()(t下面先证1kMkMABxyLOA=M0,M1,M2,Mn=B=t0,

7、t1,t2,tn=他们对应于一列单调变化的参数值：根据对坐标的曲线积分定义有：LxyxPd),(niiiixP10),(lim高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院对应参数设分点,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiiitx)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(,)(limiit)(niiiP10)(,)(limiit)()(t对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t由微分中值定理高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院积

8、分下限积分下限对应于对应于L的的起点起点.积分上限积分上限对应于对应于L的的终点终点，不一定小于不一定小于说明说明:计算对坐标的曲线积分，实际上是对坐标的曲线积分，实际上是换元法换元法：LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院特别是,如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(,)(),(tt

9、tQ)(,)(),(tttRtd)(,)(),(tttP,:)()()(ttztytx高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1.计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数,则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数,则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段.)1,1()1,1(BA到Oyx)1,1(B)1,1(A高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院

10、浙江师范大学数理与信息工程学院yxO例例2.计算其中 L 为,:,0aaxyBAaa(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2)取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则被积函数相同，起点和终点被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径得出也相同，但沿不同路径得出的积分值并不相等的积分值并不相等.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理

11、与信息工程学院例例3.计算,dd22yxxyxL其中L为(1)抛物线 ;10:,:2xxyL(2)抛物线 ;10:,:2yyxL(3)有向折线.:ABOAL解解:(1)原式22xxxx d4103(2)原式yyy222yy d5104(3)原式yxxyxOAdd22 01)0,1(A)1,1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO被积函数相同，起点和终点被积函数相同，起点和终点也相同，沿不同路径曲线积也相同，沿不同路径曲线积分的值可以相等分的值可以相等.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例4.计

12、算,3d223ydzxdyzyxxL其中L为从A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB.解解:直线段AB的方程是123zyx化为参数方程的ty2,所以原式012232)3()2(33)3(dtttttt87487tx3013dtt01,变到从ttz 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院原点 O 的距离成正比,例5.设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到,),0(bBO),(yxMxy)0,(aA),0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t,),(

13、yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.),(yxkFF2/022)cossinsincos(tdttbttakW)(2/cossin)(222/022baktdttbak思考思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 F),(xyk 高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院BAyxzO例例6.设在力场作用下,质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0,0,(RA.)2(AB解解:(1)zzyxxydddttkR2022d)(2)的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场

14、对质点所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 为),(zxyFsFWdsFWd高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例7.求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd)sin)(cossin(costt d)cos41(220)sin)(cos2(tt 2zyxO高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院

15、三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑曲线弧 L 的起点为A，终点为B.曲线弧L由参数方程给出：)()(,)(ttytx不妨设，由对坐标的曲线积分计算公式：LyyxQxyxPd),(d),()(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1kMkMABxyLO向量jtit)()(是曲线弧L在点M(t),(t)处的一个切向量，其方向与参数t的增长方向一致.当时，这个指向就是曲线弧L的方向.我们称这种指向与有向曲线弧的方向一致的切向量为有向曲线弧的切向量有向曲线弧的切向量.它的方向余弦为：)()()

16、(cos)()()(cos2222tttttt高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院由对弧长的曲线积分的计算公式可得：LdsyxQyxPcos),(cos),()()()()(),(22tttttPttttQtttPd)()(),()()(),(2)()()()(),(222tttttQdttt)()(22所以，平面曲线弧L上的两类曲线积分之间有如下联系：LLsyxQyxPyyxQxyxPdcos),(cos),(d),(d),(为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角.高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院类似

17、地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos为有向曲线弧在点(x,y,z)处的切向量的方向角.令tAsAtd,),(RQPA)d,d,(ddzyxr)cos,cos,(cost rA dstAd记 A 在 t 上的投影为 rA d有向曲线弧在点(x,y,z)处的单位切向量.有向曲线元高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例8.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0,2()0,0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2)()()(cos22ttt,22xx)

18、()()(cos222tttx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1.定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧),1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2)L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结高等

19、数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院3.计算,)()(:tytxL:tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),()(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:,)(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(,)(),(tttP)(t)(t)(t4.两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQP

20、dcoscoscos)(,)(),(tttQ)(,)(),(tttRtd 对空间有向光滑弧:高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业 P203 3 (2),(4),(6),(7);4;5;7;8高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院备用题备用题 1.解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz)10:(t101d3ttk2ln3k)1,2,2(A线移动到,)2,4,4(B向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r)1,2,2(ABr

21、求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点222zyxkzjyixzk高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院2.设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0,0(的交线az从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解:(1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院(2)原式=ta38sin3tttadcos)cos1(2283令tu 20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1(2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223