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1、第二章 一元函数的导数与微分 本章简介导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。本章重点导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。本章难点导数与微分的概念；复合函数的求导法则。第一节 导数的概念 一、两个引例 二、导数的定义 三、求导举例 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系 本节内容提要本节重点导数的概念；左，右导数的概念：导数的几何意义；函数可导与连续的关系。本节难点导数概念的理解；可导的充要条件；利用导数几何意义求切线（法线）方程；判断函数在一点处是否可
2、导和连续；利用导数定义求导；教学方法启发式教学手段多媒体课件和面授讲解相结合教学课时 3课时一、两个引例 1、变速直线运动的速度设动点在时刻t在某一直线上的位置坐标为s，于是该动点的运动规律可由函数s=s(t)确定。我们要求在某一t0时刻的瞬时速度v（t0）。在时间段t0,t0+内，动点经过的路程为 于是 即为该时间段内动点的平均速度。它并不是t0时刻的瞬时速度v（t0），但是如果时间间隔 较短，则有 。显然，时间间隔 越短，平均速度 与瞬时速度v（t0）的近似程度就越好。也就是说，当 st00()()ss tts t t0()sv tttsttt无限缩短时，平均速度 就会无限接近于瞬时速度v
3、（t0），而运用我们第一章所学的极限概念，就有这样，该极限值就是t0时刻的瞬时速度v（t0）。st00000()()()limlimtts tts tsv ttt 2、曲线的切线 设有曲线C及C上一点M，在点M外另取C上一点N做割线MN。当N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN的极限位置为MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。设割线MN与X轴的夹角为 切线MT与X轴的夹角为 。曲线方程为y=f(x),点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为 。于是，割线MN的斜率为：。当点N沿曲线C趋向点M时，就有 ，割线的斜率 就会无限接近切线的斜率 ,又由极限的定义，00(,)xx yy 00()(tan
4、fxxfxyxx）0,x tantan有即为切线的斜率。0000()(tanlimlimxxfxxfxykxx ）二、导数的定义 上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限：即因变量的改变量 与自变量的改变量 之比，当自变量的改变量 趋于0时的极限。这就是导数。0000()(limlimxxfxxfxyxx）。yxx1、定义 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量 时，相应的函数y取得增量 x0（点 x+x仍 在 该 邻 域 内）0000000(),()(liml
5、im(),xxxxxxyxxxyf xf xxf xyxxdydf xdxdx 0000 x=xx=x0如果与之比当时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x 处可导，并称这个极限为函数在点x 处的导数，记作y即）y。也可记做f(x),。00()();yf xxf x 在x0点处的导数，称为x0点的导数值。注：导数的定义也可取如下两种形式：000000()()()lim()()()limhxxfxhfxfxhfxfxfx。0 x-x2、区间可导和导函数(1)如果函数y=f(x)在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。(2)若函数y=f(x)在某一范围
6、内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y=f(x)的导函数，记做 导函数往往简称为导数。用极限表示为：(),(),dydfxyfxdxdx。00()()()limlimxxyf xxf xfxxx 。3、左右导数(1)称左极限 为函数f(x)在x0点的左导数，记做 。0000()()limlimxxf xxf xyxx 。0()fx(2)称右极限 为函数f(x)在x0点的右导数，记做 。0000()()limlimxxf xxf xyxx 0()fx4、可导的充要条件函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数都
7、存在且相等。三、求导举例 根据导数定义求导，可分为如下三个步骤：02022200200lim13()()(3)3662.63.limlim 66(3)6xxxyyxyxyxxyf xxf xxxxyxxxxxyxyx 第一步：求因变量的改变量；第二步：求比值；第三步：求比值的极限例、根据导数定义求在的导数值。解：1.（），即。02()1.()()002.03.lim0 xf xcyf xxf xccyxxyx 例、求（c为常数）的导数。解：，故（c）=0。本题说明，常函数的导数等于0。12212112113()()()()(1).2(1)2.2(1)3.limlim.2nnnnnnnnnnnn
8、nxxf xxyf xxf xxxxn nnxxxxxyn nnxxxxxyn nnxxxxnxx 例、求函数（n为正整数）的导数。解：1.故有（1223()1yxxxyxxxxnn-1x）=nx。一般的，幂函数为常实数的导数公式为（）=。练习：求，的导数。0004()sin1.()()sin()sin2cos()sin222cos()sin222.2cos()sinsin2223.limlimlimcos()22cos 1 cos,xxxf xxxxyf xxf xxxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxx 例、求函数的导数。解：故（sinx）=cosx。类似地，可求得（cosx）=-si
9、nx。100005(0,1)1.()()12.1log(1),00113.limlimlimlimlog(1)log(1)xxxxxxxxxxaxxxxxxttataa aayf xxf xaayaaaaxxxataxtxtyataaaxxtt 例、求函数的导数。解：在这里，设，移项并取以 为底的对数，有且当时，。1lnlog(0,1)ln;xxaxxxxxaaaea aaaaaae也就是说，指数函数的导数为(特别地，当时，有（e）=e。00006()log(0,1)1.()()log()loglog(1)log(1)2.log(1)13.limlimlimlog(1)11lim log(1)
10、logxaaaaaaaxxxxxaxf xx aaxyf xxf xxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxx 例、求函数的导数。解：1ln1log(0,1)logln1logln,(ln)aaaeexax aaxaexaxxxx即对数函数的导数为（）=；特别地，当时，有。四、导数的几何意义 函数y=f(x)在 处的导数 在几何上表示曲线 y=f(x)在 处的切线的斜率，即 ,为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得 处的切线方程为：相应点处的法线方程为：0 x()fx00(,)M x y点()tanfx00(,)M xy点000()()yyfxxx0001()()yyxxfx 44
11、21cos42(cos)sin2|(sin)|22()422()22422()24xxyxxxkyxkyyxyx 例、求曲线在点（，）处的切线方程和法线方程。解：由及导数的几何意义可知，所求切线的斜率为，相应的法线斜率为切线方程为：；法线方程为：21230,024()()2,12tan14211 1(,)42 41111(),424()3yxMxxxxxxxyMyxyxyxM x y例、抛物线上一点处的切线与 轴正向的夹角为，求该点坐标并求曲线方程。解：由幂函数的导数公式可知，又由导数的几何意义，令，得，相应，得点 的坐标为切线方程为：即；练习：曲线在点处切线斜率为，则该点坐标是多少？可导性与
12、连续的关系：若函数f(x)在点x可导，则它在点x处必连续。而若函数在该点连续却不一定可导。五、函数的可导性与连续性的关系 0000001|0|(,)00(0)(0)(0)limlimlim1,(0)(0)(0)limlimlim1xxxxxxyxxyxxxxfxfxfxxxxfxfxfxxxx 例、判断在点的连续性和可导性。解：函数在上连续，在点，当然也是连续的。另一方面，考虑在点的左、右导数：；即在0|0|0yxxyxx点的左、右导数都存在但不相等。由可导的充要条件，在点不可导。综上，在点连续但不可导。11111101()1121lim()lim1lim()lim(21)11lim(1)1lim()(1)()xxxxxxxxf xxxxf xxf xxxff xff x例2、讨论函数 在处的连续性和可导性。解：先讨论连续性，而即在点的左、右极限都存在且相等，由极限存在的充要条件，有故，再由连续定义函数在x=1点是连续的。再讨论可导性，看函000000()1(1)(1)1111()limlimlim211(1)(1)112(1)1 1()limlimlim21()1xxxxxxf xxfxfxf xxxxfxfxxf xxxxxf xx 数在点的左、右导数：即左、右导数都存在但不相等，由可导的充要条件，在处不可导。综上所述，函数在处连续但不可导。
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