集合与简易逻辑

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1、知识纲要知识纲要集合的概念、集合的概念、集合的包含关系、集合的包含关系、集合的运算集合的运算绝对值不等式的解法，绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法命题、四种命题、命题、四种命题、四种命题间的关系四种命题间的关系充分条件与必要条件充分条件与必要条件（一）要注意理解、正确运用集合概念（一）要注意理解、正确运用集合概念 例例11 已知集合已知集合M=y|y=x2M=y|y=x21,xR,1,xR,N=y|y=x N=y|y=x1,xR1,xR，则，则MN=MN=（）A A(0(0，1),1),（1 1，2 2）B B（0 0，1 1）,（1 1，2 2）C Cy|y=1,y

2、|y=1,或或y=2 Dy=2 Dy|y1y|y1分析：集合分析：集合M M、N N是用描述法表示的，元素是是用描述法表示的，元素是实数实数y y而不是实数对而不是实数对(x,y)(x,y)，因此，因此M M、N N分别表分别表示函数示函数y=x2y=x21(xR)1(xR)，y=xy=x1(xR)1(xR)的值的值域，求域，求MNMN即求两函数值域的交集即求两函数值域的交集解：解：M=y|y=x2M=y|y=x21,xR=y|y11,xR=y|y1，N=y|y=xN=y|y=x1,xR=y|yR1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1,MN=y|y1y|(yR)=y|y1,应选

3、应选D D 例例22 若若P=y|y=xP=y|y=x2 2,xR,xR，Q=y|y=xQ=y|y=x2 21,xR1,xR，则则PQPQ等于等于-（）A AP PB BQ CQ CD.D.不知道不知道分析：类似上题知分析：类似上题知P P集合是集合是y=xy=x2 2（xRxR）的值域集）的值域集合，同样合，同样Q Q集合是集合是y=xy=x2 21 1（xRxR）的值域集合，）的值域集合，这样这样PQPQ意义就明确了意义就明确了解：解：事实上，事实上，P P、Q Q中的代表元素都是中的代表元素都是y y，它们分别，它们分别表示函数表示函数y=xy=x2 2,y=x,y=x2 21 1的值域

4、，的值域，由由P=y|y0,Q=y|y1P=y|y0,Q=y|y1，知，知Q PQ P，即，即PQ=QPQ=Q应选应选B.B.例例33 若若P=y|y=xP=y|y=x2 2,xR,xR，Q=(x,y)|y=xQ=(x,y)|y=x2 2,xR,xR，则必有则必有-（）(A)PQ=(B)P Q (C)P=Q (D)P Q(A)PQ=(B)P Q (C)P=Q (D)P Q分析：分析：有的同学一接触此题马上得到结论有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,xR相同，而没有注意到构成两个集相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同

5、的，合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，集合是函数值域集合，Q集合是集合是y=x2,xR上的点的集合，代表元素上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物根本不是同一类事物解：解：正确解法应为：正确解法应为：P P表示函数表示函数y=x2y=x2的值域，的值域，Q Q表示抛物线表示抛物线y=x2y=x2上的点组成的点集，因此上的点组成的点集，因此PQ=PQ=应选应选A A 例例44给出下面各种关系给出下面各种关系0 0;0 0;00;00;aa;aa;=0;=0;0;0;0;0;.其中正确的是（其中正确的是（）A AB B C C D D分析分析:依次判断每个关系是否正确依次判断每个关系是否正

6、确,可运用可运用 排除法筛选。排除法筛选。解：解：应为应为0000；正确，排除正确，排除B B，再看再看哪个正确，由于哪个正确，由于是是00的的 真子集，因此真子集，因此正确正确 应选应选A（二）要充分注意集合元素的互异性（二）要充分注意集合元素的互异性 例例55若若A=2A=2，4,a4,a3 32a2a2 2a a7,B=1,a7,B=1,a1,1,a a2 22a2a2,2,(a(a2 23a3a8),a8),a3 3a a2 23a3a77，且，且AB=2AB=2，55，试求实数，试求实数a a的值的值12解：解：AB=2AB=2，55，a3a32a22a2a a7=5,7=5,由此求

7、得由此求得a=2a=2或或a=a=1 1至此不少学生认为大功告成至此不少学生认为大功告成,事实上事实上,这只是保这只是保证证 A=2,4,5,A=2,4,5,集合集合B B中的元素是什么中的元素是什么,它是否满足元素的互异它是否满足元素的互异性性,有待于进一步考查有待于进一步考查当当a=1a=1时时,a,a2 22a2a2=12=1与元素的互异性相违背与元素的互异性相违背,故应舍故应舍a=1a=1当当a=a=1 1时时,B=1,0,5,2,4,B=1,0,5,2,4,与与AB=2AB=2，55相矛盾相矛盾,故又故又舍舍 去去a=a=1 1当当a=2a=2时时,A=2,A=2，4 4，5,B=1

8、,3,2,5,25,5,B=1,3,2,5,25,此时此时AB=2AB=2，5 5 满足题设满足题设故故a=2a=2为所求为所求 例例66已知集合已知集合A=a,aA=a,ab,ab,a2b2b，B=a,ac,acB=a,ac,ac2 2.若若A=BA=B，求，求c c的值的值分析：分析：要解决要解决c的求值问题，关键是要有方程的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式无序性建立关系式解：解：分两种情况进行讨论分两种情况进行讨论 (1)(1

9、)若若a ab=acb=ac且且a a2b=ac2b=ac2 2,消去消去b b得得:a:aacac2 22ac=02ac=0，a=0a=0时，集合时，集合B B中的三元素均为零，和元素中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故的互异性相矛盾，故a0a0cc2 22c2c1=01=0，即，即c=1,c=1,但但c=1c=1时，时，B B中的三元素又中的三元素又相同相同,此时无解此时无解(2)(2)若若a ab=acb=ac2 2且且a a2b=ac,2b=ac,消去消去b b得得:2ac:2ac2 2acaca=0,a=0,a0,2ca0,2c2 2c c1=0,1=0,即即(c(c1)(2c

10、1)(2c1)=01)=0，又又c1c1，故故c=c=1/21/2 例例7已知集合已知集合A=x|x23x2=0,B=x|x2axa1=0，且，且AB=A，则，则a的值为的值为_分析：由分析：由AB=A AB=A 而推出而推出B B有四种可有四种可能，进而求出能，进而求出a a的值的值BA 解：解：AB=A AB=A，A=1 A=1，2,B=2,B=或或B=1B=1或或B=2B=2或或B=1B=1，22若若B=B=,则令则令000得得aRaR且且a2,a2,把把x=1x=1代入方程得代入方程得aRaR，把把x=2x=2代入方程得代入方程得a=3a=3，综上综上a a的值为的值为2 2或或3 3

11、BA(三三)要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法例例8设集合设集合A=a|a=3n2,nZ，集合，集合B=b|b=3k1,kZ,试判断集合试判断集合A、B的关系的关系解：解：任设任设aAaA，则，则a=3na=3n2=3(n2=3(n1)1)1(nZ)1(nZ)，nZ,n nZ,n1Z aB,1Z aB,故故 又任设又任设 bB,bB,则则 b=3kb=3k1=3(k1=3(k1)1)2(kZ),2(kZ),kZ,k kZ,k1Z bA1Z bA，故，故 由由、知知A=BA=BBAAB点评点评:这里说明这里说明aBaB或或bAbA的过程中的过程中,关键是

12、先要关键是先要 变变(或凑或凑)出形式出形式,然后再推理然后再推理 例例99 设集合设集合A=a|a=nA=a|a=n2 21,nN1,nN*，集合，集合B=B=b|b=k b|b=k2 24k4k5,kN5,kN*，试证：，试证：A BA BBA证明：证明：任设任设aA,aA,则则a=na=n2 21=(n1=(n2)2)2 24(n4(n2)2)5(nN5(nN*),),nN nN*，n n2N2N*aB aB故故 显然，显然，而由而由 B=b|b=kB=b|b=k2 24k4k5,kN5,kN*=b|b=(k =b|b=(k2)2)2 21,kN1,kN*知知1B1B，于是，于是ABAB

13、 由由、得得A BA B21|1,Aa annN（四）、要注意空集的特殊性和特殊作用（四）、要注意空集的特殊性和特殊作用 例例1010 已知已知A=x|xA=x|x2 23x3x2=0,B=x|ax2=0,B=x|ax2=0 2=0 且且AB=AAB=A，求实数，求实数a a组成的集合组成的集合C C解：解：由由x x2 23x3x2=02=0得得x=1x=1或或2 2 当当x=1x=1时时,a=2;,a=2;当当x=2x=2时，时，a=1a=1 这个结果是不完整的，上述解答只注意这个结果是不完整的，上述解答只注意 了了B为非空集合，实际上，为非空集合，实际上，B=时，仍时，仍 满足满足AB=

14、A，当，当a=0时，时，B=,符合题符合题 设应补上设应补上,故故正确答案为正确答案为C=0，1，2 例例1111 已知集合已知集合A=x|x2A=x|x2(m(m2)x2)x1=0,xR1=0,xR，若若ARAR=，则实数，则实数m m的取值范围是的取值范围是_解：解：由由ARAR=又方程又方程x x2 2(m(m2)x2)x1=01=0无零根，无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，所以该方程只有两个负根或无实数根，240202mm 即即:或或=(m=(m2)22)24040解得解得m0m0或或4m04mm4 4 例例1212已知集合已知集合A=x|xA=x|x2 23x3x100,10

15、0,集合集合B=B=x|px|p1x2p1x2p1.1.若若B A,B A,求实数求实数p p的取值范的取值范围围解解:当当B时时,即即p12p1得得p2.由由BA得：得：2p2p1 1且且2p2p15.15.得得:3p3.2p3.3p3.2p3.当当B=时，即时，即p12p1p2综上所述综上所述,知知:p3p3(五)要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性 例例1313 已知集合已知集合 有唯一元素，用列举有唯一元素，用列举法表示法表示a a的值构成的集合的值构成的集合A A212xaBxx解：集合解：集合A A表示方程表示方程 有等根有等根,即方程即方程x x2 2x xa a2=0 2=

16、0 有等根时有等根时a a的取值集合的取值集合方程方程有等根的条件是有等根的条件是=(=(1)21)24(4(a a2)=0,2)=0,解得解得a=因此因此A=212xax9494以上解法对吗？不难看出，将以上解法对吗？不难看出，将B B有唯一元素译为方程有唯一元素译为方程有有等根时等根时a的取值集合是不准确的转译时忽视了的取值集合是不准确的转译时忽视了x220，即即|x|x|这一隐含条件这一隐含条件2解：解：正确解法是正确解法是:方程方程等价于混合组等价于混合组()()11当当(2)(2)有等根时，解得有等根时，解得a=a=，此时，此时 ，适合，适合(3)(3)；22当当(2)(2)有两个不

17、等的实根时，由有两个不等的实根时，由00可得可得a a 当当 为为的增根时，由的增根时，由(2)(2)得得 ；当当 为为的增根时，由的增根时，由(2)(2)得得 ；222 0(1)2 0(2)xx ax 4912x 2x 2a 2x 2a 例例1414设设a,bR,A=(x,y)|x=n,y=naa,bR,A=(x,y)|x=n,y=nab,nZ,B=(x,y)b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3(m|x=m,y=3(m2 25),mZ,C=(x,y)|x5),mZ,C=(x,y)|x2 2y y2 2144144是平面是平面xoyxoy内的点集，问是否存在实数内的点集，问是否存在实数a

18、a和和b b使得使得 (1)AB,(2)(a,b)C(1)AB,(2)(a,b)C同时成立？同时成立？解:AB 成立.即 nab=3n215 又(a,b)C a2b2144若满足和的a,b存在,则关于a,b的方程组 有解从而在直角坐标系aob中,直线L:nab3(n25)=0与a2b2144表示的区域应有公共点.于是圆心O(0，0)到直线L的距离不大于半径12，即 n2=3而nZ,这是不可能的.故满足的a,b不存在 2315n mna bm 转 译 成 转译成2223(5)144na bmab（六）要注意数形结合解集合问题 例例1515设全集设全集U=x|0 x10,xNU=x|0 x0，求，

19、求AB和和AB解解:A=x|x:A=x|x2 25x5x60=x|60=x|6x16x1，B=x|x2B=x|x23x0=x|x0=x|x0 x0如右图所示，如右图所示，AB=x|AB=x|6x1x|x6x1x|x0=Rx0=R，AB=x|6x1x|x0=x|6x3，或，或0 x1例例17设设A=x|2x1,B=x|x2ax b0,已知已知AB=x|x2,AB=x|1x3，试求试求a、b的值的值解解:如图所示如图所示,设想集合设想集合B所所表示的范围在数轴上移动，表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当显然当且仅当B B覆盖住集合覆盖住集合x|x|1x31xAB=x|x22，且，且AB=x|1x3AB=x|12A=m|m2使命题乙成立的条件是使命题乙成立的条件是:2 2=16(m=16(m2)22)2160160，11m m3 3 集合集合B=m|1m3B=m|1m2m|m1B=m|m2m|m1或或m3=m|m3 m3=m|m3 若为若为(2),(2),则有：则有：BCBCR RA=m|1m3m|m2=m|1m2A=m|1m3m|m2=m|1m2综合综合(1)(2)(1)(2)可知所求可知所求m m的取值范围是的取值范围是m|1m2m|1m2，或，或m3m3 21124020mmxxm