第四节线性规划应用

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1、1 合理利用线材问题：合理利用线材问题：如何下如何下料使用材最少。料使用材最少。配料问题：配料问题：在原料供应量的在原料供应量的限制下如何获取最大利润。限制下如何获取最大利润。投资问题：投资问题：从投资项目中选从投资项目中选取方案，使投资回报最大。取方案，使投资回报最大。一、线性规划一、线性规划-2 产品生产计划：产品生产计划：合理利用人合理利用人力、物力、财力等，使获利最力、物力、财力等，使获利最大。大。劳动力安排：劳动力安排：用最少的劳动用最少的劳动力来满足工作的需要。力来满足工作的需要。运输问题：运输问题：如何制定调运方如何制定调运方案，使总运费最小。案，使总运费最小。3 数学规划的建模

2、有许多共同点，要遵循下列原则：(1)容易理解。建立的模型不但要求建模者理解，还应当让有关人员理解。这样便于考察实际问题与模型的关系，使得到的结论能够更好地应用于解决实际问题。(2)容易查找模型中的错误。这个原则的目的显然与(1)相关。常出现的错误有：书写错误和公式错误。4 (3)容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对两条原则进行统筹考虑。5 建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：(1)设立决策变量；(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；(3)用决策变量的线性函数表示目

3、标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）；(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。6 例2.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数16：00 10：0060210：00 14：0070314：00 18：0060418：00 22：0050522：2：002062：00 6：0030设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?7 解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数目标函数：MinMi

4、n z=z=x x1 1+x x2 2+x x3 3+x x4 4+x x5 5+x x6 6 约束条件：约束条件：s.t.s.t.x x1 1+x x6 6 60 60 x x1 1+x x2 2 70 70 x x2 2+x x3 3 60 60 x x3 3+x x4 4 50 50 x x4 4+x x5 5 20 20 x x5 5+x x6 6 30 30 x x1 1,x x2 2,x x3 3,x x4 4,x x5 5,x x6 6 0 08例2.12 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使

5、所用原料最省？方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩余料头00.10.20.30.80.91.11.4解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m211100002.1 m021032101.5 m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出9 假设

6、 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。目标函数：Min z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5 约束条件：s.t.x1+2x2+x4 100 2x3+2x4+x5 100 3x1+x2+2x3+3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0方案 1方案 2方案 3方案 4方案 52.9 m120102.1 m002211.5 m31203合计7.47.37.27.16.6剩余料头00.10.20.30.810 例2.13 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配 三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包

7、协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？11甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56-机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)231816解：解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产

8、品的件数。12 求 xi 的利润:利润=售价-各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目标函数:Max 15x1+10 x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：s.t.5x1+10 x2+7x3 8000 6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 12000 3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 013 例2.14 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？14 解：设 xij 表示第 i 种（甲、

9、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学 模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；15 Max z z=150(=150(x11+x12+x13)+85()+85(x21+x22+x23)+65(+65(x31+x32+x33)-65()-65(x11+x21+x31)-25(-25(x12+x22+x32)-35()-35(x13+x23+x33)=85 =85x x1111+125+125x x1212+

10、115+115x x1313+20+20 x x2121+60+60 x x2222+50+50 x x2323 +40+40 x x3232+30+30 x x333316s.t.s.t.0.5 x11-0.5 x12-0.5 x13 0 （甲对原材料1的规格要求）-0.25x11+0.75x12-0.25x13 0 （甲对原材料2的规格要求）0.75x21-0.25x22-0.25x23 0 （乙对原材料1的规格要求）-0.5 x21+0.5 x22-0.5 x23 0 （乙对原材料2的规格要求）x11+x21+x31 100 (供应量限制）x12+x22+x32 100 (供应量限制）x

11、13+x23+x33 60 (供应量限制）xij0,i=1,2,3;j=1,2,317 例2.15 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。18项目 风险指数（次/万元）A 1 B 3 C 4 D 5.5 19问：问：2

12、0 解：解：1 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij(i=15，j=1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x2421 2 2）约束条件：）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+x12=200 第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是：x21+x22+x24=1.1x11 第三年：年初的资金为1.1x21+1.25x12，于是：x31

13、+x32+x33=1.1x21+1.25x12 第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是：x41+x42=1.1x31+1.25x22 第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是：x51=1.1x41+1.25x32 B、C、D的投资限制：xi2 30(i=1，2，3，4)，x33 80，x24 10022a)Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+x12=200 x21+x22+x24=1.1x11 x31+x32+x33=1.1x21+1.25x12 x41+x42=1.1x31+1.25x22 x51=1.1x41+

14、1.25x32 xi2 30(i=1、2、3、4)，x33 80，x24 100 xij0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：23b)b)MinMin f f=（x x1111+x x2121+x x3131+x x4141+x x5151)+)+3(3(x x1212+x x2222+x x3232+x x4242)+4)+4x x3333+5.5+5.5x x24 24 s.t.s.t.x x1111+x x12 12 200 200 x x21 21+x x2222+x x2424 1.1 1.1x x1111 x x31 31+x x

15、3232+x x3333 1.1 1.1x x2121+1.25+1.25x x1212 x x41 41+x x4242 1.1 1.1x x3131+1.25+1.25x x2222 x x51 51 1.1 1.1x x4141+1.25+1.25x x3232 x xi i2 2 30(30(i i=1=1、2 2、3 3、4)4)，x x3333 80 80，x x2424 100 100 1.11.1x x51 51+1.25+1.25x x4242+1.4+1.4x x3333+1.55+1.55x x2424 330 330 x xijij0(0(i i=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5；j j=1,2,3,4=1,2,3,4）24结束放映结束放映