概率论与数理统计之6

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1、Ch2-122.2离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个,则称 X 为离散型随机变量描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,2,1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或离散随机变量及分布律即Ch2-13分布律的性质分布律的性质q,2,1,0kpk非负性q 11kkp规范性X 或kxxx21kppp21Ch2-14 F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk.离散随机变量及分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp)()()(xxkkxXPxX

2、PxFxxkxxkkkpxXP)(其中 .kkxx1Ch2-153,2,1,0),1()(kppkXPk解解4,)4(4kpXP 例例1 1 设汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯,每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过.出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数,求 X 的概率分布与 p=0.4 时的分布函数.令 X 表示Ch2-1601234xx,4.06.06.021 x,6.010 x,00 x,4.06.04.06.06.0232 x),4.04.04.01(6.03243 x14x)(xF kpk 0 1 2 3 40.60.40.60.420.60.430.60.4

3、4当4.0p)(xXPCh2-17 01234xF(x)oo1oooCh2-18用分布律或分布函数来计算事件的概率用分布律或分布函数来计算事件的概率例例2 2 在上例中,分别用分布律与分布函数计算下述事件的概率：.)2(),31(XPXP解解)31(XP)3()2()1(XPXPXP3744.0)4.04.04.0(6.032或)31(XP)1()31(XPXP.3744.06.09744.0)01()3(FFCh2-1916.084.01)1()0(1)2(1)2(XPXPXPXP16.0)02(1)2()2(1)2(1)2(FXPXPXPXP或此式应理解为极限)(lim2xFxCh2-20

4、例例3 3 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁.若每次击中目标的概率为p(0 p 1),且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.解解P(X=k)=P(前 k 1次击中 r 1次，第 k 次击中目标)pppCrkrrk)1(111rkrrkppC)1(11,1,rrk帕斯卡分 布Ch2-21注1)1(11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1(1)1(xxkkk1|x当333)1(2)2)(1(xxkkkk33321)1(1xxCkkkCh2-22rrkrkrkxxC)1(111归纳地

5、令px1rrrkrkrkpppC1)1(1(1)1(111)1(11rkrkrrkppCCh2-23(1)0 1 分布分布X=xk 1 0Pk p 1-p0 p 11,0,)1()(1kppkXPkk注 其分布律可写成 常见的离散型随机变量的分布常见的离散型随机变量的分布 凡试验只有两个可能的结果，常用应用场合0 1分布描述，如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超标等等.Ch2-24(2)二项分布二项分布n 重伯努利Bernoulli 试验中,X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数,P(A)=p,若nkppCkXPkPknkknn,1,0,)1()()(则称 X 服从参数

6、为n,p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n=1 的二项分布Ch2-25二项分布的取值情况二项分布的取值情况设),8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8,1,0,)1()()()(8313188kCkXPkPkkk0.273由图表可见,当 时，32或k分布取得最大值273.0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP012345678Ch2-2624680.050.10.150.20.25Ch2-27设)2.0,20(BX.01 .06.14 .21 .22 .18

7、.11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见,当 时，4k分布取得最大值22.0)4(20P0.22 Ch2-2851015200.050.10.150.2Ch2-29二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切值若XjjXPkXP),()(则称 为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk,1,0,)1()(记1)1()1(1knpkpppkk1)()1)(1(1knpkpppkkpnkpn)1(1)1(Ch2-30 当(n+1)p=整数时,在

8、 k=(n+1)p与 (n+1)p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p,P(X=k)的取值呈不 对称分布固定 p,随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当(n+1)p 整数时,在 k=(n+1)p 处的概率取得最大值Ch2-31例例4 4 独立射击5000次,每次命中率为0.001,解解(1)k=(n+1)p 49955550005000)999.0()001.0()5(CP1756.0=(5000+1)0.001=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1 次的概率.Ch2-32(2)令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001)(1)1(1)1(0)PXPX

9、PX 00500050001(0.001)(0.999)C.9934.0 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示Ch2-33由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳物理楼(交大闵行校区最高楼)自杀.Ch2-34,则对固定的 k,2,1,0!)1(limkkeppCkknnknknn0nnp设Possi

10、on定理定理Poisson定理说明若X B(n,p),则当n 较大，p 较小,而 适中,则可以用近似公式np,2,1,0,!)1(kkeppCkknkkn问题问题 如何计算？)2500(XPCh2-35证 knnknknnknknnnkknnnppC1!)1()1()1(nnnp记nknnnknnnnknkn)(1!1111!kek,2,1kCh2-36类似地,从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球,其中恰有k 个白球的概率为pbaaba,当时，knkkbanbaknbkappCCCC)1(对每个 n 有nbaknbkaCCC/结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分

11、布的极限分布是 Poisson 分布Ch2-37解解 令X 表示命中次数,则 5 np令.9933.01)1(5eXP 此结果也可直接查 P.378 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例4(2)X B(5000,0.001)Ch2-38例例5 5 某厂产品不合格率为0.03,现将产品装箱,若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品,则每箱至少应装解解 设每箱至少应装100+n 个,每箱的不合格品个数为X,则X B(100+n,0.03)由题意 9.0)()(0100kPnXPnkn3(100+n)

12、0.03=3+0.03n取 =3多少个产品？Ch2-391.0!331eknkk查Poisson分布表,=3得 n+1=6,n=5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.应用Poisson定理9.0!31!3)(31300100ekekkPnkknkknknCh2-40在实际计算中,当 n 20,p 0.05时,可用上述公式近似计算;而当 n 100,np 10 时,精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060

13、 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二项分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 Ch2-41解解 (1)设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台设备中发生故障的台数，则 X B(90,0.01)自学自学（详解见教材 P.61例6)设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是 0.01.在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.(1)问至少要配备多少维修工人，才能保

14、证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例6Ch2-4290190)99.0()01.0()(NkkNkkCNXP令9.001.090则9019.0!9.0)(NkkkeNXP919.019.0!9.0!9.0kkNkkkeke19.0!9.0Nkkke01.0查附表2得 N=4Ch2-43(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为9049.0!9.0)3(kkkeXP919.049.0!9.0!9.0kkkkkeke49.0!9.0kkke013459.0Ch2-44设

15、30台设备中发生故障的台数为 Y B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则23.0!3.0)2()(kkikeYPAP0369.03,2,1i三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件321AAA31321)(1iiAPAAAP1067.0)0369.01(13013459.0故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！Ch2-45在Poisson 定理中，0!kek1!3!21!3200eeekekekkkk由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布Ch2-46(3)Poisson 分布分布

16、若,2,1,0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称 X 服从参数为的Poisson 分布.或)(X)(P记作Ch2-47在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；Ch2-48 都可以看作是源源不断出现的随机质点流,若它们满足一定的条件,则称为 Poisson 流,在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P(t)Ch2-49例例7 7 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的.已知X P()，且

17、每个虫卵发育成幼虫的概率为 p.求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.Ch2-50解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知,2,1,0,!)(kkekXPkkmppCkXmYPmkmmk,2,1,0,)1()(,2,1,0,)()(mkXmYmklklXkX,)()(由全概率公式Ch2-51)()()(kXmYPkXPmYPmkmkmmkmkkppCke)1(!mkmkmkmpmkmpe)1()!(!)(sssmsmkpsmpe)1(!)(0令)1(!)(pmempe,!)(mpemp,2,1,0m)(pPY故Ch2-52为X 的分布函数.设 X 为随机变量,x 是任意实数,称函数xxXP

18、xF),()(定义定义 由定义知 X 落在区间(a,b 里的概率可用分布函数来计算：)()(aFbF（ab（)(bXaP)(aXP)(bXP2.3随机变量的分布函数随机变量的分布函数Ch2-53分布函数的性质分布函数的性质q F(x)单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且0)(lim,1)(limxFxFxxq F(x)右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxtCh2-54)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP)0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请请填填空空

19、用分布函数表示概率用分布函数表示概率Ch2-55已知运载火箭在飞行中进入其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊松分布.而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为 0.1，求有3 个粒子落到仪器重要部位的概率.第五周第五周 问题问题 Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家 思想家 帕斯卡四岁丧母,在父亲精心培养下,16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论,这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器.他应用此方法解决了摆线问题.1654年研究二项系数性质,写出

20、论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 andxx011nan 1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他曾研究过赌博问题,对早期概率论的发展颇有影响对早期概率论的发展颇有影响.1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立.在离散型随机变量的分布中有个在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生重复独立试验中，事件发生 次的场次的场r 帕斯卡还写过不少文学著作.1654年他进入修道院,献身于哲学合合.而有名的几何分布正是其而有名的几何分布正是其 时时的特例的特例.1r和宗教.Ch2-61 自动生产线调整以后出现废品的概率为 p,当生产过程中出现废品时立即重新进行调整,问两次调整之间的合格品数服从什么分布？思考题题 附录附录