大一高数上PPT课件第二章

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1、1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 tSS 设有一质点作变速直线运动设有一质点作变速直线运动,其运动方程为其运动方程为求求:质点在质点在 0tv时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度0t一、问题的提出一、问题的提出 ttsttsvtv000 ttsttsvtv0000t时时 刻瞬时速度刻瞬时速度变化不大变化不大,所以质点在所以质点在若若t很小很小,在在t 时间内速度时间内速度2.若质点作变速直线运动若质点作变速直线运动 1.若质点作匀速直线运动若质点作匀速直线运动s 0tstts00由于速度是连续变化的由于速度是连续变化的,分析：分析：可以近似地用平均速度可以近似地用平均速度 代替代替瞬时

2、速度瞬时速度 v 0v ttst0lim于是当于是当时时,0t的极限即为的极限即为ts 0.v tt越小越小,近似的程度越好近似的程度越好,ttsttstvt0000lim ttsttsvtv000 000limtts ts ttt称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线.2 曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点

3、趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PT,LPQxTxx00 xy设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQxTxx00 xy曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:趋于趋于 0 时的极限时的极限.xxfxxfx)()(lim000即即:xykx0limtan 函数的增量与自变量

4、增量之比函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量当自变量的增量xxfxxfxy)()(tan00LPQxTxx00 xy称为曲线称为曲线 L 上点上点 P 处的切线处的切线2 2 曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率切线的一般定义切线的一般定义:设设 P 是曲线是曲线 L 上的一个定点上的一个定点,Q 是曲线是曲线 L 上的另一个点上的另一个点,过点过点 P 与点与点 Q 作一条直线作一条直线 PQ,称称 PQ 为曲线为曲线 L 的的 割线割线,当点当点 Q 沿着曲线沿着曲线 L 趋向定点趋向定点 P 时时,割线割线 PQ 的极限位置的极限位置 PTLPQxTxx00 xy设曲线设曲线 L 的方

5、程为的方程为 y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于越接近于 k,x 越小越小,Q 越接近于越接近于 P,PQ 越接近于越接近于 PT,切线的倾角为切线的倾角为 ,则有则有:分析分析:如图如图,割线的倾角为割线的倾角为,求此曲线上点求此曲线上点 P 处的切线斜率处的切线斜率 k.LPQxTxx00 xy曲线在曲线在 P 处的切线斜率为处的切线斜率为:趋于趋于 0 时的极限时的极限.xxfxxfx)()(lim000即即:xykx0limtan 函数的增量与自变量增量之比函数的增量与自变量增量之比,当自变量的增量当自变量的增量xxfxxfxy)()(tan00LPQxTx

6、x00 xy二、导数的定义二、导数的定义 定义定义 设函数设函数y=f(x)在点在点 x0的某个邻域内有定义。如的某个邻域内有定义。如果极限果极限存在，则称函数存在，则称函数f(x)在点在点x0处可导，且称此极限值为函处可导，且称此极限值为函数数f(x)在点在点x0处的导数，记为处的导数，记为 f (x0)，即即xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxyxx)()(limlim0000 xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000。如果上述极限不存在，则称函数如果上述极限不存在，则称函数f(x)在点在点x0处不可导。处不可导。但如果上述极限是无穷大，则我们

7、也称函数但如果上述极限是无穷大，则我们也称函数y f(x)在在点点x0处的导数为无穷大处的导数为无穷大 0|xxy，0 xxdxdy或0)(xxdxxdf。导数的其它符号：导数的其它符号：xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000。函数的导数：函数的导数：导数的其它定义式：导数的其它定义式：000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfhxfhxfxfxxh。000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfhxfhxfxfxxh f(2)2limx2)2()(xfxf22lim222xxx)2(lim2xx2limx2)2()(xfxf22lim222

8、xxx)2(lim2xx2limx2)2()(xfxf22lim222xxx)2(lim2xx。例例1求函数求函数y x2在点在点x 2处的导数。处的导数。方法二方法二 解：解：方法一方法一 f(2)0limxxfxf)2()2(xxx2202)2(lim 0limx(4x)4。函数在一区间上的导数：函数在一区间上的导数：y，f(x)，dxdy，或dxxdf)(。如果函数如果函数 f(x)在区间在区间 I 内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称f(x)在在区间区间 I 内可导，这时，对于区间内可导，这时，对于区间 I 内每一点内每一点 x，都有一都有一个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新

9、的函数，个确定的导数值与它对应，这就定义了一个新的函数，这个函数称为函数这个函数称为函数y f(x)的导函数，简称为导数，记作的导函数，简称为导数，记作导函数的定义式：导函数的定义式：hxfhxfxxfxxfyhx)()(lim)()(lim00。f (x0)与与f (x)之间的关系：之间的关系：f(x 0)f(x)0 xx 定义定义 设函数设函数y f(x)在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义,如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限 为为f(x)在点在点x0处的左导数，记作处的左导数，记作f (x0)。如果极限xxfxxfx)()(lim000存在，则称此极限 为为f

10、(x)在点在点x0处的右导数，记作处的右导数，记作f (x0)。左右导数：左右导数：如果函数如果函数f(x)在开区间在开区间(a,b)内可导，且右导数内可导，且右导数f (a)和左导数和左导数f (b)都存在，就说都存在，就说f(x)有闭区间有闭区间a,b上可导。上可导。显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相显然，当且仅当函数在一点的左、右导数存在且相等时，函数在该点才是可导的。等时，函数在该点才是可导的。导数与左右导数的关系：导数与左右导数的关系：f(x0)xxfxxfx)()(lim000，f(x0)xxfxxfx)()(lim000。左右导数：左右导数：函数在闭区间上的可导性：函数

11、在闭区间上的可导性：步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限三、由定义求导数举例三、由定义求导数举例 例例2求函数求函数f(x)C（C为常数）的导数。为常数）的导数。f(x)0limhhxfhxf)()(解：解：0limhhCC 0。即即 (C)0。1.常数的导数：常数的导数：(C)0.xxxxx11lim0 xxxxxx)(lim0 xxxx)(1lim021xxxxxx11lim0 xxxxxx)(lim0 xxxx)(1lim021xxxxxx11lim0 xxxxxx)(lim0 xxxx

12、)(1lim021x。xxxxx0lim)(lim0 xxxxxxxxxx1lim0 xxxxx0lim)(lim0 xxxxxxxxxx1lim0 x21。例4 求yx1的导数。例例3例 5 求 yx的导数。例例4解：yxxxxx11lim0 xxxxxx)(lim0 xxxx)(1lim021x 解：解：解：yxxxxx0lim)(lim0 xxxxxxxxxx1lim0 解：解：2.幂函数的导数：幂函数的导数：(x1)21x，(x)=x21，(x)x 1。例例5 5.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0)()(lim1210nnn

13、hxhxxhx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 2.幂函数的导数：幂函数的导数：，(x)x 1。例例6求函数求函数f(x)sin x的导数。的导数。0limhhxfhxf)()(0limhhxhxsin)sin(2sin)2cos(21lim0hhxhh)2cos(lim0hxh2sin)2cos(21lim0hhxhh)2cos(lim0hxh 22sinhh cos x。类似地可求得类似地可求得(cos x)sin x。即即(sin x)cos x。解：f(x)0limhhxfhxf)

14、()(解：解：3.正弦余弦函数的导数：正弦余弦函数的导数：(sin x)cos x，(cos x)sin x。例例7求函数求函数f(x)ax(a0，a 1)的导数。的导数。解解：haahaahxfhxfxfhhxxhxhh1limlim)()(lim)(000haahaahxfhxfxfhhxxhxhh1limlim)()(lim)(000haahaahxfhxfxfhhxxhxhh1limlim)()(lim)(000haahaahxfhxfxfhhxxhxhh1limlim)()(lim)(000 tah1令)1(loglim0ttaatxtah1令)1(loglim0ttaatxtah1

15、令)1(loglim0ttaatx ax ln a。4.指数函数的导数：指数函数的导数：(a x)a x ln a，(e x)e x。例例8求对数函数求对数函数y log ax的导数。的导数。)1(log1lim0 xxxaxxaxxx10)1(loglim)1(log1lim0 xxxaxxaxxx10)1(loglim xae1logaxln1。解：(log ax)xxxxaaxlog)(loglim0 解：解：5.对数函数的导数：对数函数的导数：(log ax)exalog1axln1，(ln x)x1。四、导数的几何意义四、导数的几何意义 Oxyy=f(x)f(x0)x0M切线切线T法

16、线法线切线方程为：切线方程为：y y0 f (x0)(x x0)。法线方程为：法线方程为：函数函数 y f(x)在点在点x0处的导数处的导数 f (x0)在几何上表示曲在几何上表示曲线线y f(x)在点在点M(x0,f(x0)处的切线的斜率，即处的切线的斜率，即f (x0)tan ，其中其中 是切线的倾角。是切线的倾角。yy 0)(10 xf(xx 0)。例例 9 9 求等边双曲线求等边双曲线 xy1 在点在点2),21(处的切线的处的切线的 斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程 解解：由于21xy，于是所求切线的斜率为 21xy，于是所求切线的斜率

17、为 412121xxk412121xxk。所求切线方程为)21(42xy，即 4xy40。所求法线的斜率为41112kk，所求法线方程为)21(42xy，即 4xy40。41112kk，所求法线方程为 )21(412xy，即 2x8y150。)21(412xy，即 2x8y150。五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系 如果函数如果函数y f(x)在点在点x0处可导，则它在点处可导，则它在点x0处一定连处一定连续。续。这是因为这是因为注意：注意：这个定理的逆定理不成立，即函数这个定理的逆定理不成立，即函数y f(x)在点在点x0处处连续，但在点连续，但在点x0处不一定可导

18、。处不一定可导。00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx。这是因为函数在点这是因为函数在点x 0处导数为无穷大：处导数为无穷大：xyO3xy 连续但不可导的函数：连续但不可导的函数：例例10 函数函数3)(xxfy 在区间在区间内连续，内连续，但在点但在点x 0处不可导。处不可导。(,)hhhfhfhh0lim)0()0(lim300。这是因为这是因为 例例

19、11函数函数y|x|在区间在区间(,)内连续，但在点内连续，但在点 x 0处不可导。处不可导。连续但不可导的函数：连续但不可导的函数：xyx0limxxx|lim0 xxx0limxyx0limxxx|lim0 xxx0lim1，xyx0limxxx|lim0 xxx0limxyx0limxxx|lim0 xxx0lim1，xy xyo(0)f(0)f例例1212.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx0)(lim)0(0 xffx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但

20、但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin0,.yxx 当时极限不存在.0)(处不可导处不可导在在 xxf2.2 求导法则求导法则 两个可导函数之和两个可导函数之和(差差)的导数等这两个函数的导数的导数等这两个函数的导数的和的和(差差)：u(x)v(x)u(x)v(x)。两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以两个可导函数乘积的导数等于前一因子的导数乘以后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子：后一因子，加上后一因子的导数乘以前一因子：u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)。两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母两个可导函数之商的导数等于分子的导数乘以分母减去分

21、母的导数乘以分子，再除以分母的平方：减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方：)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu。一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则求导法则的推广：求导法则的推广：(u v w)u v w，(uvw)u vw uv w uvw。特殊情况：特殊情况：(Cu)Cu。1.函数的和、差、积、商的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则：)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu。u(x)v(x)u(x)v(x)，u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)，2.2.求导举例求导举例例2f(x)x34cos x

22、2 sin，求f(x)及)2(f。例例1 443)2(2f解解：)2(sin)cos4()()(3xxxf3x 24sin x，)2(sin)cos4()()(3xxxf3x 24sin x，443)2(2f。解：解：例例2y e x(sin x cos x)，求求y。2e x cos x。解：解：y e x)(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(sin x cos x)e x(cos x sin x)例例3y tan x，求求y。xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxxx2222cos1cossincos即即 (tan x)sec2x。解解：y(t

23、an x)xxcossinxxxx2222cos1cossincossec2 x。解：解：xxxxx22cossincos)(cos1cos)1(例例4y sec x，求求y。即即 (sec x)sec x tan x。xxxxx22cossincos)(cos1cos)1(xxxxx22cossincos)(cos1cos)1(sec x tan x。解解：y(sec x)xcos1 用类似方法，还可求得：用类似方法，还可求得：(cot x)csc2x，(csc x)csc x cot x。解：解：3.3.求导公式小结求导公式小结1 1(C)0，2(x )x 1，其中其中 为常数，为常数，3

24、(sin x)cos x，(cos x)sin x，4(a x)a x ln a，特殊地特殊地(e x)e x，(tan x)sec2x，(cot x)csc2x，(sec x)sec x tan x，(csc x)csc x cot x，5axxaln1)(log，特殊地 xx1)(ln。二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 如果函数如果函数x j(y)在某区间在某区间Iy内单调、可导且内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数那么它的反函数y f(x)在对应区间在对应区间Ix内内也可导，并且也可导，并且 简要证明：简要证明：因为因为y f(x)连续，所以当连续，所以当 x0时，时，y0。

25、)(11limlim)(00yyxxyxfyxj)(11limlim)(00yyxxyxfyxj)(11limlim)(00yyxxyxfyxj，)(1)(yxfj.即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例1求求(arcsin x)及及(arccos x)。类似地有：211)(arccosxx。(arcsin x)解：解：因为因为y arcsin x是是x sin y的反函数，所以的反函数，所以(arcsin x)yycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyycos1)(sin12211sin11xyyy

26、cos1)(sin12211sin11xy。例例2求求(arctan x)及及(arccot x)。解：解：因为因为y arctan x是是x tan y的反函数，所以的反函数，所以 22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx 类似地有：211)cotarc(xx。22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx22211tan11sec1)(tan1)(arctanxyyyx。(1)(C)0，(2)(x)x 1，(3)(

27、sin x)cos x，(4)(cos x)sin x，(5)(tan x)sec2x，(6)(cot x)csc2x，(7)(sec x)sec x tan x，(8)(csc x)csc x cot x，(9)(ax)ax ln a，(10)(ex)ex，基本初等函数的导数公式小结：基本初等函数的导数公式小结：(12)(ln x)x1，(13)(arcsin x)211x，(14)(arccos x)211x，(15)(arctan x)211x，(11)(log a x)axln1(a0,a1)，(16)21(arccot)1xx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则).()()

28、()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufyj jj jj j 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.dxdududydxdy，或 yyuux。复合函数的求导法则：复合函数的求导法则：例例3 3y=lntan x，求求dxdy。解：解：函数函数y=lntan x是由是由y=ln u，u=tan x复合而成，复合而成，dxdududydxdyxxxu22seccotsec1 xxcossin1。dxdududyd

29、xdyxxxu22seccotsec1dxdududydxdyxxxu22seccotsec1 例例 4y=3xe，求dxdy。dxdududydxdy3332xuxexedxdududydxdy3332xuxexedxdududydxdy3332xuxexe。解解：函数3xey 是由 yeu，ux3 复合而成，例例5212sinxxy，求dxdy。dxdududydxdy2222)1()2()1(2cosxxxu 222212cos)1()1(2xxxx。解解：212sinxxy是由 ysin u，212xxu复合而成，dxdududydxdy2222)1()2()1(2cosxxxu 对复

30、合函数求导法则比较熟练以后，就不必对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。再写出中间变量。例例 6lnsin x，求dxdy。解解：)(sinsin1)sin(lnxxxdxdy xxxcotcossin1。)(sinsin1)sin(lnxxxdxdy)(sinsin1)sin(lnxxxdxdy 解解：)cos()cos(1)cos(lnxxxeeedxdy )tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee)cos()cos(1)cos(lnxxxeeedxdy)cos()cos(1)cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeee

31、ee)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee。复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。例例7y lncos(e x)，求求dxdy。解解：)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx xexx1cos11sin2。)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx)1(1cos)1

32、(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeeyxxx 例例8xey1sin，求求dxdy。解：解：y (sin nx)sin nx+sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+sin nx n sin n 1x (sin x)ncos nx sin nx+nsin nx sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x。例例9 y sin nx sin n x(n 为常数为常数)，求求dxdy。2.3 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:),(tss 设

33、)()(tstv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.)()()(tstvta.3,23xyxy函数变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度,可以继续求导的函数作为xy,6x其导数为记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(33dxydyxf 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf记作阶导数的阶导数的导数称为函数的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上

34、的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf.)()(,)()(处的二阶导数在点函数的导数为则称处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxf定义定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例1.1.直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22xxy42222)1(2)1(22)1(2xxxxx)0(f;0 )0(f.2322)1()13(2xx 例例2 2.),()(nyRxy求

35、求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x)1(2 xy3)2)(1(x)1()1()1()(nxnynn则则为自然数为自然数若若,n)()()(nnnxy,!n)1(ny.0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 34)1(2)1()1(2xxxy 44)4()1(23)1(6xxy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(xxysin)sin(x)22sin(xxycos )23sin(x)2sin()(nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)(nxxn)2sin

36、(x)2sin(x2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例5 5.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知设,22xveux)20(y22202xex)9520(22220 xxexxnnxee)()()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()(kknnnnnvukknn

37、nvunnvnuvuvu)(nuv)2(0)()(2nxn)()(!2)120(202)18(2 xex)()(202)19(2xexxex222021922!21920218xe2)20(2)(xex3.3.间接法间接法:利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.xnxee)()(nnxnx)1()1()()(nnnxnx)!1()1()(ln1)(1)(!)1(1nnnxnx1)()1(!)1(11nnnxnx()1(1)!ln(1)(1)(1)nnnnxx 例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解1

38、12xy)1(!5)1(!52166xx)1(1)1(16066xx)1(!5)1()1(!5)1(216565)5(xxy)1111(21xx1)()1(!)1(11nnnxnx三、小结三、小结高阶导数的定义高阶导数的定义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af

39、axafxfax )()(lim0)(afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数：显函数：形如形如 y sin x，y ln x e x 的函数。的函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。这种由方程确定的函数称为隐函数。方程 xy3 10 能确定一个函数31)(xxfy，把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。2.4 隐函数及由参数方程所确定的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数函数的导数 相关变化率相关变化率().yf x即形式的函数称为显函数0 xyxyee问题问题:隐函数不

40、易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?如如,如何求如何求?y求隐函数的导数的方法：求隐函数的导数的方法：把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数求导数,然后从所得的新的然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出方程中把隐函数的导数解出,求导时要注意求导时要注意y是是x的函数。的函数。例例1.求由方程求由方程ey xy e 0所确定的隐函数所确定的隐函数y的导数的导数.解：解：方程两边分别对方程两边分别对x求导得求导得 (e y)(xy)(e)(0)，即即 e y y y xy 0，从而从而yexyy (x e y 0)。解：解：把方程两边分别对把方程两边分别对x求导数得求导数

41、得当当x 0时，从原方程得时，从原方程得y 0，21|25211|0460 xxyxdxdy。例例2求由方程求由方程y5 2y x 3x7 0 所确定的隐函数所确定的隐函数y在在 x 0 处的导数处的导数0|xdxdy。由此得由此得 2521146 yxdxdy。1 216 x2 dxdy5dxdyy40，所以所以 例例3求椭圆191622yx在)323 ,2(处的切线方程。解：解：把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x求导，得求导，得 0928yyx。从而 yxy169。ky|x243。所求的切线方程为所求的切线方程为 )2(43323xy，即)2(43323xy，即03843yx。

42、将将x 2，323 y，代入上式得，代入上式得所求切线的斜率所求切线的斜率 例例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数 y 的二阶导数。解：解：方程两边对方程两边对x求导，得求导，得 上式两边再对上式两边再对x求导，得求导，得3222)cos2(sin4)cos2(sin2yyydxdyydxyd。10，cos21 yy y于是于是 ycos22 。yy 2)cos2(y 22(2cos)y 2)cos2(sin2yy y观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法

43、求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:()().v xu x多个函数相乘、乘方、开方和幂指函数的情形二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦.例例5 5.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地

44、)0)()()()(xuxuxfxvln()()ln()f xv xu x()()()()ln()()()fxv x u xv xu xf xu x)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 两边取对数得两边取对数得例例6 6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设解解等式两边加绝对值后再取对数得等式两边加绝对值后再取对数得1lnln1ln12ln43yxxxx求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx 解：解：先在两边取对数，得先在两边取对数，得 y1y上式两边对上式两边对x

45、求导，得求导，得于是 y2y(11x21x31x41x)。y121(11x21x31x41x)，例例7求求函数函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数。的导数。ln y21ln|x 1|ln|x 2|ln|x 3|ln|x 4|，三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx j j例如例如 ,22tytx2xt 消去参数消去参数22)2(xty 42x xy21 问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?,)()(

46、中中在方程在方程 j j tytx),()(1xttx j jj j具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy j j 参量函数参量函数,0)(,)(),(ttytxj j j j且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(ttj j dtdxdtdydxdy 即即,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 j j tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()(j j 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2ttttttj jj jj j j j .)(

47、)()()()(322tttttdxydj jj j j j 即即例例7 7处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin(ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy.1.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12(axay)22(axy即即四、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而

48、变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtdydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例8 8解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhdtd 5001sec2 ,/140秒秒米米

49、 dtdh2sec,5002 米米时时当当h)/(14.0分分弧弧度度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500第五节第五节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分的求法五、微分的求法六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性七、微分在近似计算中的应用七、微分在近似计算中的应用一、问题的提出一、问题的提出近似计算问题近似计算问题实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量。正方形金属薄片受热后面积的改变量。20 xA 0 x0 x,00 xxx 变变到到设设边边长长由由20 ,

50、Ax正方形面积2200()Axxx.)(220 xxx )1()2(02,;xxxA是的线性函数为的主要部分20().xxx 当时，是的高阶无穷小:)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 0面积改变量面积改变量再如再如,.,03yxxxy 求求函函数数的的改改变变量量时时处处的的改改变变量量为为在在点点设设函函数数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x.320 xxy ),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题：问题：是否所有函数的改变量都有这样的线性函数是否所有函数的

51、改变量都有这样的线性函数 (改变量的线性主要部分改变量的线性主要部分)？如果有？如果有,它是什么？它是什么？如何求？如何求？设函数设函数y f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义，x0及及x0 x在这区间内，如果函数的增量在这区间内，如果函数的增量 y f(x0 x)f(x0)可表示为可表示为 y A x o(x)，其中其中A是不依赖于是不依赖于 x的常数，而的常数，而o(x)是比是比 x高阶的高阶的无穷小，那么称函数无穷小，那么称函数y f(x)在点在点x0是可微的，而是可微的，而A x叫做函数叫做函数y f(x)在点在点x0相应于自变量增量相应于自变量增量 x的微分，的微分，记作记作d

52、y，即即 dy A x。微分的定义：微分的定义：函数函数f(x)在点在点x0可微的充分必要条件是函数可微的充分必要条件是函数f(x)在点在点x0 可导，且当函数可导，且当函数f(x)在点在点x0可微时，其微分一定是可微时，其微分一定是 dy f (x0)x。可微与可导的关系：可微与可导的关系：y f(x)在点在点x0可微可微 y A x o(x)。dy A x。这是因为，一方面这是因为，一方面 )(lim00 xfxyx yAxo(x)另一方面另一方面其中其中 0(当当 x0)，且且A f(x0)是常数，是常数，x o(x)。yAxo(x)xxoAxy)(xxoAxy)(Axfxyx)(lim

53、00。0()yfxx0()()yfxxx 函数函数y f(x)在任意点在任意点 x 的微分，称为函数的微分，的微分，称为函数的微分，记作记作dy 或或 df(x)，即即 dy f (x)x。例如，例如，dex(e x)x ex x。dcos x(cos x)x sin x x；例例1求函数求函数y x2在在x 1处的微分。处的微分。解：解：函数函数y x2在在x 1处的微分为处的微分为 dy(x2)|x 1 x 2 x.例例2求函数求函数 y x3当当x 2，x 0.02时的微分。时的微分。解：解：先求函数在任意点先求函数在任意点x 的微分，的微分，dy(x3)x 3x2 x。再求函数当再求函

54、数当x 2，x 0.02时的微分，时的微分，02.0,2202.0,23xxxxxxdy 3 22 0.24。因为当因为当y x时，时，dy dx(x)xx，所以通常把自变量所以通常把自变量 x 的增量的增量 x称为自变量的微分，称为自变量的微分，记作记作dx，即即 dx x。因此，函数因此，函数y f(x)的微分又可记作的微分又可记作 dy f (x)dx。自变量的微分：自变量的微分：.dydx 函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数 导数也叫 微商二、微分的几何意义二、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图)xyo)(xfy 0 xMT）xx 0 P Nx ydy)(xo .

55、,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy.,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 (e x)e x(x )x 1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec 2 x(cot x)csc 2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)a x ln ad(x )x 1dx d(sin x)cos xdxd(cos x)sin xdxd(tan x)sec 2xdxd(cot x)csc 2xdxd(sec x)sec x

56、 tan xdxd(csc x)csc x cot xdxd(ax)ax ln adxd(ex)exdx 1基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三、微分公式与微分运算法则三、微分公式与微分运算法则axln1(log a x)d(log a x)dx axln1d(ln x)dxx1(ln x)x1211x(arcsin x)d(arcsin x)dx211x(arccos x)d(arccos x)dx211x211x211x(arctan x)d(arctan x)dx211x211x(arccot x)d(arccot x)dx 211x2函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积

57、、商的微分法则 关于关于d(uv)vdu udv 的证明：的证明：因为因为 d(uv)(u v uv)dx u vdx uv dx。而而 u dx du，v dx dv，所以所以 d(uv)vdu udv。求导法则：求导法则：微分法则：微分法则：(u v)u v d(u v)du dv (Cu)Cu d(Cu)Cdu (uv)u v uv d(uv)vdu udv 2)(vvuvuvu(v0)dxvudvvduvud2)(v0)例例3y e1 3xcos x，求求dy。解：解：应用积的微分法则，得应用积的微分法则，得e1 3x(3cos x sin x)dx。cos xe1 3x(3)dx e

58、1 3x(sin x)dx dy d(e1 3xcos x)cos xd(e1 3x)e1 3xd(cos x)3复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设设y f(u)及及u j j(x)都可导，则复合函数都可导，则复合函数y fj j(x)的的微分为微分为 dy y xdx f (u)j j(x)dx。于由于由j j(x)dx du，所以，复合函数所以，复合函数y fj j(x)的微分公式的微分公式也可以写成也可以写成 dy f (u)du。结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(微分形式的不变性微分形式的

59、不变性 例例4y sin(2x 1)，求求dy。解：解：把把2x 1看成中间变量看成中间变量u，则则 2cos(2x 1)dx。cos(2x 1)2dx cos(2x 1)d(2x 1)dy d(sin u)cos udu)1(11)1ln(222xxxedeeddy)1(11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222 dxexexx2212。例例5)1ln(2xey ，求求 dy。解解：)1ln(2xeddy 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 如果函数如果函数y f(x)在点在点x0处的导数处的导数f (x)0，且且|x|很小

60、时，我们有很小时，我们有 y dy f (x0)x，f(x0 x)f(x0)dy f (x0)x，f(x0 x)f(x0)f (x0)x。若令若令x x0 x，即即 x x x0，那么又有那么又有 f(x)f(x0)f (x0)(x x0)。特别当特别当x0 0时，有时，有 f(x)f(0)f (0)x。1.计算函数的近似值计算函数的近似值;)().1(0附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf.)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x;0)().2(附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf()(0)(0).f xffx)(很小时很小时x 球体体积为334RV，镀层的体

61、积为 例例1有一批半径为有一批半径为 1cm 的球，为了提高球面的光的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm估计一下每只估计一下每只球需用铜多少球需用铜多少g(铜的密度是铜的密度是8.9g/cm 3)?利用利用f(x0 x)f(x0)f (x0)x求函数增量的近似值求函数增量的近似值 V V(R0 R)V(R0)V (R0)R 4 R02 R 4120.13(cm3)。于是镀每只球需用的铜约为于是镀每只球需用的铜约为1.16(g)。解：解：已知已知R0 1cm，R 0.01cm。利用公式利用公式 f(x0 x)f(x0)f (x0)x求函数在求

62、函数在x0附近的值附近的值 例例2利用微分计算利用微分计算sin 30 30 的近似值。的近似值。sin x0 cos x0 xsin 30 30 sin(x0 x)3606，6 0 x，360 x，解解：30 30 3606 ，取，取 5076.0。3602321 3606 cos6 sin (2)sin x x(x用弧度作单位来表达用弧度作单位来表达)；(3)tan x x(x用弧度作单位来表达用弧度作单位来表达)；(4)ex 1 x；(5)ln(1 x)x。常用的近似公式常用的近似公式(假定假定|x|是较小的数值是较小的数值)：利用公式利用公式 f(x)f(0)f (0)x求函数在求函数在x 0附近的值附近的值(1)xnxn111；例例 3计算05.1的近似值。解解：已知 xnxn111，故 025.105.021105.0105.1025.105.021105.0105.1025.105.021105.0105.1。