充分统计量与完备统计量

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1、1.2 充分统计量与完备统计量充分统计量与完备统计量 一一 充分统计量充分统计量 在数理统计中，由样本来推断总体的前提是：样本在数理统计中，由样本来推断总体的前提是：样本包含了总体分布的信息。样本中包含的关于总体分布包含了总体分布的信息。样本中包含的关于总体分布的信息可分为：的信息可分为：1、关于总体结构的信息，即反映总体分布的类型。、关于总体结构的信息，即反映总体分布的类型。如总体服从正态分布，则来自该总体的样本相互独如总体服从正态分布，则来自该总体的样本相互独立并均服从该正态分布，即样本包含了总体分布为立并均服从该正态分布，即样本包含了总体分布为正态分布的信息。正态分布的信息。2 2、关于

2、总体未知参数的信息，这是由于样本的分、关于总体未知参数的信息，这是由于样本的分布中包含了总体分布中的未知参数。布中包含了总体分布中的未知参数。为了推断总体分布的未知参数，需要把样本中为了推断总体分布的未知参数，需要把样本中关于未知参数的信息关于未知参数的信息“提炼提炼“出来，即构造合适出来，即构造合适的统计量的统计量样本的函数样本的函数 f(X1,X2,Xn)例例 为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该为研究某个运动员的打靶命中率，我们对该运动员进行测试，观测其运动员进行测试，观测其10次，发现除第三、六次，发现除第三、六次未命中外，其余次未命中外，其余8次都命中。这样的观测结果包次都命中。这

3、样的观测结果包含了含了两两种信息：种信息：(1)(1)打靶打靶1010次命中次命中8 8次；次；(2)2(2)2次不命中分别出现在第次不命中分别出现在第3 3次和第次和第6 6次打靶上。次打靶上。第二种信息对了解该运动员的命中率是没有第二种信息对了解该运动员的命中率是没有什么帮助的。什么帮助的。一般地，设我们对该运动员进行一般地，设我们对该运动员进行n 次观测，得次观测，得到到 x1,x2,xn，每个，每个xj 取值非取值非0即即1，命中，命中1，不，不命中为命中为0。令令 T=x1+xn，T为观测到的命中次数。为观测到的命中次数。在这种场合仅仅记录使用在这种场合仅仅记录使用T 不会丢失任何与

4、命中不会丢失任何与命中率率 有关的信息。有关的信息。显然，一个显然，一个“好好”的统计量应该能够将样本的统计量应该能够将样本中所包含的关于未知参数的信息全部提炼出来，中所包含的关于未知参数的信息全部提炼出来，而不没有任何有用信息损失，这就是英国著名统而不没有任何有用信息损失，这就是英国著名统计学家计学家Fisher于于19221922年提出的一个重要的概念年提出的一个重要的概念-充分统计量。充分统计量。样本样本X1,X2,Xn 有一个样本分布有一个样本分布F(x)，这个，这个分布包含了样本中一切有关分布包含了样本中一切有关 的信息。统计量的信息。统计量T=T(X1,X2,Xn)也有一个抽样分布

5、也有一个抽样分布F T(t)。当我们期望用统计量当我们期望用统计量T 代替原始样本并且不代替原始样本并且不损失任何有关损失任何有关 的信息时，也就是期望抽样分布的信息时，也就是期望抽样分布F T(t)像像 F(x)一样概括了有关一样概括了有关 的一切信息。的一切信息。这即是说在统计量这即是说在统计量T 的取值为的取值为 t 的情况下的情况下样本样本 x 的条件分布的条件分布F(x|T=t)已不含已不含 的信息，的信息，这正是统计量具有充分性的含义。这正是统计量具有充分性的含义。()(1),0,1,.kknknP n XkCppkn 设设 nxxx,21,为样本观测值，其中为样本观测值，其中0,

6、1.ix 如果已如果已知知nkX 则样本则样本 nXXX,21的条件概率的条件概率 11221122(,)(,)()nnnnkPXxXxXxXnkPXxXxXxXnkPXn 112211(,),()0,nnniiniiP XxXxXxxkP n Xkxk如 果，如 果，112211(,),()0,nnniiniiP XxXxXxxkP n Xkxk如 果，如 果，1111(1),(1)0,nniiiixnxnikknkinniippxkCppxk如 果，如 果，111,0,nikinniixkCxk如果，如果，与与 p 无关，所以无关，所以 X为为 p 的充分统计量的充分统计量.二、二、因子分

7、解定理因子分解定理 根据充分统计量的含义，在对总体未知参数进根据充分统计量的含义，在对总体未知参数进行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参行推断时，应在可能的情况下尽量找出关于未知参数的充分统计量。数的充分统计量。但从定义出发来判别一个统计量是否是充分统但从定义出发来判别一个统计量是否是充分统计量是很麻烦的。计量是很麻烦的。为此，需要一个简单的判别准则。下面给出一为此，需要一个简单的判别准则。下面给出一个定理个定理因子分解定理因子分解定理，运用这个定理，判别甚，运用这个定理，判别甚至寻找一个充分统计量有时会很方便。至寻找一个充分统计量有时会很方便。例例1.4 根据因子分解定理证明例。根据

8、因子分解定理证明例。证明证明 样本的联合分布律为样本的联合分布律为 niiNIixnxnnppxXxXxXP11)1(,2211 niixnppp1)1()1(若取若取 niinxnxxxT1211),(1),(21 nxxxh nTnnppppxxxTg)1()1();,(21 则有则有 nnxXxXxXP ,2211);,(),(2121pxxxTgxxxhnn 由由 因因 子子 分分 解解 定定 理理 知知，niinXXnXXXT1211),(是是p的的充充 分分 统统 计计 量量。若取若取 niinxnxxxT1211),(niinxxxxh121!1),(nnTnexxxTg );,

9、(21 则则 nnxXxXxXP ,2211);,(),(2121 nnxxxTgxxxh 由由因因子子分分解解定定理理知知，XXXXTn),(21是是 的的充充分分统统计计量量。证证明明 样样本本),(21nXXX的的联联合合分分布布律律为为 证明证明 样本的联合分布密度为样本的联合分布密度为 niinxL122)(21exp)2(1)(niinnxnx122222221exp)2(1 );,(),(2121 nnxxxTgxxxh，其中1),(21 nxxxh，而而);,(21 nxxxTg显显然然是是),(12 niixxT和和),(2 的的函函数数。三、完备统计量三、完备统计量 为了介

10、绍完备统计量的概念，首先需要引入完备为了介绍完备统计量的概念，首先需要引入完备分布函数族的概念。分布函数族的概念。完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由完备统计量的含义不如充分统计量那么明确，但由定义可见它有如下特征：定义可见它有如下特征：1)()(21 TgTgP，)()(21TgETgE ，但反之不成立，但反之不成立，对对于于一一般般的的统统计计),(21nXXXTT，总总有有 设设)(Xg使得使得 nkknkknpppCnkgXgE00)1()(，对一切，对一切10 p，即即 01)1(0 kknnknppCnkgp，对对一一切切10 p 或或 010 kknnkppCnkg，对对

11、一一切切10 p。上上式式是是关关于于 pp1的的多多项项式式，对对一一切切10 p要要使使多多项项式式值值为为零零，只只能能是是它它的的每每项项系系数数为为零零，即即),2,1,0(0nknkg 。所所以以X是是完完备备统统计计量量。如果一个统计量既是充分的，又是完备的，如果一个统计量既是充分的，又是完备的，则称为则称为充分完备统计量充分完备统计量。在寻求总体分布中未知。在寻求总体分布中未知参数的优良估计中，充分完备统计量扮演着重要参数的优良估计中，充分完备统计量扮演着重要的角色。的角色。四、指数型分布族四、指数型分布族与式（）比较有与式（）比较有 neC )(，niinxxxxh121!1),(，niinxxnxxxT1211),(，ln)(nb。因此，样本均值因此，样本均值XXXXTn),(21是参数是参数 的充的充分完备统计量。分完备统计量。)1,(),(1221 niixnxTTT，)2,(),(2221 nnbbB 1),(21 nxxxh 因此，因此，)1,(12 niiXnX是是),(2 的充分完备统计量，的充分完备统计量，),(2nSX也是也是),(2 的充分完备统计量。的充分完备统计量。