运筹学报告——长安医院护士值班问题

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1、长征医院护士值班计划组员：115054212任雷飞115054214孔向铎115054229白乙甫115054228赵晋阳长征医院的护士值班计划一、问题提出长征医院是长宁市的一所区级医院，该院每天各时间区段内需求的值班护士数如表1所示.表1时间区段6: 00-10:0010:00-14:0014:00-18:0018:00-22:0022:00-6:00（次日）需求数1820191712该医院护士上班分五个班次，每班8h,具体上班时间为第一班2:0010:00,第二班 6:0014:00,第三班 10:0018:00,第四班 14:0022:00,第五班 18:002:00 （次日）.每名 护

2、士每周上5个班，并被安排在不同日子，有一名总护士长负责护士的值班安排计划. 值班方案要做到在人员或经济上比较节省，又做到尽可能合情合理下面是一些正在考 虑中的值班方案：方案 每名护士连续上班5天，休息2天，并从上班第一天起按从上第一班到第五班 顺序安排.例如第一名护士从周一开始上班，则她于周一上第一班，周二上第二班， 周五上第五班；另一名护士若从周三起上班，则她于周三上第一班，周四上第二班，, 周日上第五班，等等.方案2考虑到按上述方案中每名护士在周末（周六、周日）两天内休息安排不均匀. 于是规定每名护士在周六、周日两天内安排一天、且只安排一天休息，再在周一至周五 期间安排4个班，同样上班的五

3、天内分别顺序安排5个不同班次.在对第1、2方案建立线性规划模型并求解后，发现方案2虽然在安排周末休息上比 较合理，但所需值班人数要比第1方案有较多增加，经济上不太合算，于是又提出了第3 方案.方案3在方案2基础上，动员一部分护士放弃周末休息，即每周在周一至周五间 由总护士长给安排三天值班，加周六周日共上五个班，同样五个班分别安排不同班次. 作为奖励，规定放弃周末休息的护士，其工资和奖金总额比其他护士增加a%.根据上述，帮助长征医院的总护士长分析研究：(a) 对方案1、2建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解；(b) 对方案3,同样建立使值班护士人数为最少的线性规划模型并求解，然后回答a

4、的值为多大时，第3方案较第2方案更经济；二、对方案1进行分析1.符号与假设需注意处：要求连续上班5天xi(i二1,2，乃：从星期i开始上班的护士人数.其值班安排表如下：表2方案1护士值班安排模型星期星 班次、期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2: 00-10: 00x1x2x3x4x5x6x76: 00-14: 00x7x1x2x3x4x5x610: 00-18: 00x6x7x1x2x3x4x514: 00-22: 00x5x6x7x1x2x3x418: 00-2: 00x4x5x6x7x1x2x32.建模与求解由此可对方案1建立如下线性规划模型:min z 二 x + x + x

5、 + x + x + x + x1234567s.t.用管理运筹学软件3 riFI伊新逹打开|保存1解决关于退出魏定重新输尺釣束条件b100000012210000123D1000012400100012500010012600001012700000112800000120*船.X6|X7正1负1无0:000J0tl0目标函数彳XI船：:X6:析值系数E111111 1约束条件亍数目标函数点击“新建” 新建之前的数据模型。在输入所有的数据后，单击“解决”得出以 下的最优解:#J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J*

6、#J* #J* #J* #J* #J* #J* #J*最优解如下#J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J* #J*目标函数最优值为：84变量最优解相差值xlx2x3x4x5x6x7约束12121212121212松弛/剩余变量0000000对偶价格1234567891011121314000000044444424-1-1-1-1-1-1-10000000目标函数系数范围：变量下限当前值上限X101无上限x201无上限x301无上限x401无上限x

7、501无上限x601无上限x701无上限常数项数范围：约束下限当前值上限1012无上限2812无上限3812无上限4812无上限5812无上限6812无上限7812无上限8无下限20249无下限202410无下限202411无下限202412无下限202413无下限202414无下限024可知，最优解为X = 12,兀2 = 12, X3 = 12, X4 = 12, X5 = 12,兀6 = 12, x12, z = 84;方案1的护士值班安排如下表所示：方案1的护士值班安排星期1星期2星期3星期4星期5星期6星期日2: 00-10: 00121212121212126: 00-14: 00

8、1212121212121210: 00-18: 001212121212121214: 00-22: 001212121212121218: 00-2: 0012121212121212方案1的结论:星期一上第一班的班组的人数为12个，星期二上第一班的班组的人数为12个， 星期三上第一班的班组的人数为12个，星期四上第一班的班组的人数为12个，星期 五上第一班的班组的人数为12个，星期六上第一班的班组的人数为12个，星期日上 第一班的班组的人数为12个。所有值班护士人数最少为84个三、对方案2的分析1.符号与假设(1) 因为每名护士在周六、周日两天里必须工作一天，安排休息一天.(2) 周一到

9、周五连续安排4个班，所以可以先安排周末的护士值班情况：周六、周末两天共10个班次，用x (110)表示周六周末两天10个班次的护士人数，其中xx分 j15别代表周六第1个到第5个班次的护士人数,xx分别代表周日从第1个到第5个班 6 10次的护士人数.其值班安排表如下：表3方案2护士值班安排模型、星期其 班次 f寸星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日2: 00-10: 00x10x5 + x9x4 + x8x3 + x7x2%1x66: 00-14: 00x6x10x5 + x9x4 + x8x3x2X710: 00-18: 00x?x2 + x63+ x10x5 + x9x4x3x81

10、4: 00-22: 00x8x3 + x7x2 + x6x1+ x10x5x4x918: 00-2: 00x9x4 + x8x3 + x7x2 + x6x5x10注意：第五班次不与第一班次时间重合，所以要考虑第五班次的22:002:00时间段和第一班次2:006:00时间班次，再结合图表信息得到约束条件如下.2建模与求解由此可对方案2建立如下线性规划模min w 二 x + x + x + x + x + x + x + x + x + x12345678910x + x 186 10x + x + x + x 201 5910x + x + x + x 183 478x + x + x +

11、x 204 589x + x 181 2x + x 202 3x + x 206 7x + x 203 4x + x 207 8x + x + x + x 192 367x + x + x + x 20 1713610x + x 198 9x + x 194 5x + x 171 5x + x 179 10x + x 124 8s.t.x + x 123 7x + x 122 6x + x 125 9x 12(i = 1,2,5,6,9,10) ix 0( j = 110)1 j根据以上的方案二的数据模型，输入数据。单击“解决”得出以下的解:BjI”-丄* 最优解如卜 *目标函数最优值为：11

12、2变量最优解相差值x1120x2120x380x4120x5120x6120x780x8120x9120x10120约束松弛/剩余变量对偶价格1234568910111213141516171819202122232425262728000000-10-1000000000000-1-1-1-1-128282822212705067506012124878000000目标函数系数范围：变量下限当前值上限X101无上限x201无上限x3112x4011x501无上限x601无上限x7112x8011x901无上限x1001无上限常数项数范围：约束下限当前值上限1无下限20482无下限20483无

13、下限20484无下限18405无下限19406无下限17447无下限184081520无上限9无下限1924101520无上限11无下限182412无下限172413无下限19241416202515无下限18241616202517无下限122418无下限122419无下限121620无下限122021无下限172422无下限122023612无上限247121625712无上限267121627712无上限28612无上限可知方案2线性规划模型的最优解x = 12x = 1215x = 7x = 12x = 128 184 15511x + x + x + x 181 281 39x +

14、x 187 8x + x + x + x 181627x + x + x + x 125 11112x + x + x + x + x + x 204 1565117x + x + x + x + x 203144156x + x + x + x 2013 91410x + x 208 9x + x + x + x 202 378x + x + x + x 201 21213x + x + x + x + x + x 195 1171128x + x + x + x 1914 10156x + x 19 193 849x + x + x + x 192 13314x + x 176 10x +

15、 x + x + x 1715 6117x + x + x + x 174 9510x + x + x + x 173 14415s.t.x + x 1212 8x , x 126 7x + x 125 11x + x 12314x + x + x 122139x + x 12117x + x 12, x + x 12510415x 0,( j 115)i j目标函数最优值为：105变量最优解相差值x120x2120x320x400x570x6120x7120x860x9140x1050x1150x1260x1300x14100x15120160200310004190516062307908

16、10092401000110-11200130-11420152001600170-118501970203021902200230-1240-1250-12614027002800约束松弛/剩余变量对偶价格2930目标函数系数范围：变量05下限-10当前值上限x1111x2011x3111x411无上限x5112x611无上限x701无上限x8112x9011x10011x11011x12111x1311无上限x14111x15011常数项数范围：约束下限当前值上限1无下限182421820203无下限201204无下限19385无下限20366无下限17407无下限20298无下限1929

17、9无下限174110161818112020无上限12无下限19191317172414无下限121415无下限1838161820201720202218无下限192419无下限172420无下限192221无下限1726221212142312121424121214251212无上限26无下限122627101212285121729612无上限30无下限1217可知方案3线性规划模型最优解为:x = 2x = 12x = 01611x = 11x = 12x = 62712 x = 12x = 6x = 13813x = 12x = 14x = 04914x = 12x = 5x =

18、0l 5J 10J 15V=105方案3的护士值班安排如下表所示:方案3的护士值班安排星期1星期2星期3星期4星期5星期6星期日2: 00-10: 00121726121214126: 00-14: 0012241715623810: 00-18: 00824241714181214: 00-22: 00121424125261218: 00-2: 0012261412121712方案3的结论方案3线性规划模型最优解为：x = 2, x = 12, x = 2, x = 12 x = 12, x = 12,123456x = 12, x = 6, x = 14, x = 12, v = 105

19、78915即：周末两天都上班的第1班次人数为2个，第2班次人数为12个，第3班次人 数为2个，第4班次人数为0个，第5班次人数为7个。只上周六的第1班次人数为 12个，第2班次人数为12个，第3班次人数为6个，第4班次人数为14个，第5班 次人数为5个。只上周日第1班次人数为5个，第2班次人数为6个，第3班次人数为 0个，第4班次人数为10个，第5班次人数为12个。所有值班护士人数最少为105个。方案3与方案2的对比结论由于放弃周末休息的护士其工资和奖金总额比其他护士增加a%,假设未放弃周末 休息的护士的工资为：M元。若使第3方案较第2方案更经济，可列如下方程确定a的 值：56*M+49*M*(l+a%)V112*M49*M*(l+a%)V56*M49*(l+a%)V5649*a%V7a% 14%所以，当a14的时候，方案3比方案2经济。