52不定积分的换元积分法

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1、1.熟练掌握利用第一换元积分法 凑微分法求不定积分学习目的与要求学习目的与要求2.熟练掌握利用第二换元积分法求不定积分(1)xe dx 讨论？(1)xxe dxec15ue du515xec5(2)(5)?=xe dx 5(3)?=xe dx 5(2)(5)xe dx51(5)5xedx15uecue du uec5xec)(_xddx5 5(3)xe d x?5ux设5155xedxxu5 设5引例引例1dudxucedueuu5.2.1第一换元积分法-凑微分法求不定积分.5的特点及解决的方法分析积分dxex解决问题的思路：.2dudx 解决问题的方法：.3dudxu1.特点：被积函数中含有

2、复合函数()()fxx dx一般地：)()(xdxfcxF)(-第一换元积分法 凑微分法求不定积分解决问题的思路：)(baxddx解决问题的方法：)(baxdadx)()(xddxxdxbaxf形如cbaxFa)(1)()(1baxdbaxfaadxbaxfa)(1凑微分的实质：axbaxxu或其中中间变量函数是一个复合函数第一种基本情况：被积)(,41(51)xdx例 求441(51)(51)55xdxxdx5125uc51(51)25xc解：解：第一步第一步 凑微分凑微分：第二步第二步 设变量代换：设变量代换：第三步第三步 求不定积分求不定积分：第四步第四步 还原：还原：4151515xd

3、x415u du51ux设cxdxx231xdx例 求13131 33xdxxdx 解：解：131(31)3xdx 32(31)9xccxdxx121(31)(31)3xdx_(31)dxdx3121dxx例3 求111221212dxdxxx1ln 212xc解：解：Cxdxxln111(21)212dxx_(21)dxdx2第二种基本情况：被积函数第二种基本情况：被积函数是是两个函数的积两个函数的积，其中，其中一个是复合函数一个是复合函数，另一个是另一个是复合函数中间变量的导数复合函数中间变量的导数（或差倍数、常数）（或差倍数、常数）.dxxxf)()(形如)()(xdxfcxF)(解决问

4、题的思路：解决问题的方法：)()(xddxx凑微分的实质：)(xddx)()(xddxx湊出：()ux中间变量24.2xxe dx例求2222xxxe dxexdxuec2xec解：解：第一步第一步 凑微分凑微分：第二步第二步 设变量代换：设变量代换：第三步第三步 求不定积分求不定积分：第四步第四步 还原：还原：ue du2xu 设22()xe d x)(_2xddx x2xxe duec235 1xxdx例求2332111 33xxdxxx dx 解：解：3311(1)3xd x332(1)9xccxdxx13321(1)(1)3xd x3_(1)dxd x23x6 xedxx例求)(_ x

5、ddx 12()2xxedxedxxx解：2()xedx2xecx21cedueuu2117 cosdxxx例求)1(_xddx 221111coscos()dxdxxxxx 解：11cos()dxx 1sincx 21xxxe duec218 lnxdxx例求21ln xdxx解：解：2lnlnxdx313uc2u duxuln 令令xuln 还还原原31(ln)3xc)(ln_xddx 1 xcxdxx9 sinxxee dx例求)(_ xeddx dxeedxeexxxxsinsin解：)(sinxxedecexcosxe cuuducossincos10 sinxxedx例求 _(co

6、s)dxdxcoscossin(sin)xxxedxex dx 解：cosxec sin xcos(cos)xedx cedueuu第三种基本情况：被积函数是两个函数的商，其中分子是分母的导数（或差倍数、常数）。22111 3xdxxx 例求2_(3)dxd xx21x 22211=(21)33xdxxdxxxxx 解：221=(3)3d xxxx Cxdxxln12=ln3xxc112 ln xdxx例求dxxx1ln解：解：xxd lnlnCu 221uduxuln 令令xuln 还还原原Cx2)(ln21第四种情况：被积函数是两个函数的积，其中一个是另一个的导数（或差倍数、常数）.)(l

7、n_xddx 1 x用第一换元法求不定积分可按如下步骤进行：（1）凑微分：）凑微分：dudxxxu)(),(令（2）变量代换：）变量代换：CuFduufuFuf)()()()(的的原原函函数数利利用用常常用用积积分分公公式式求求（3）求积分：）求积分：CxFdxxfxu )()()(代回即得代回即得将将（4）还原：）还原：dxxxf)()(.)()()(duufdxxxf 则则解：解：,tx(1):令11(2):211dxtdttx21tdtt(3):22ln1ttc(4):22ln1xxc12 1+dxx引例讨论,tx,tdtdxaxb被积函数特点：含有“”，被开方式为dttdxtxxt)(

8、)(),(.111 并求出并求出设函数设函数dttdxtx)()(.21 代代换换的积分的积分求关于求关于t.3)(.4xt 反反代代步骤：步骤：5.2.2第二换元积分法求不定积分3113 dxxx例求5326tdttt原式361tdtt 21611ttdtt32116ln132ttttc3662366ln1xxxxc,:txtx则令解,dttdx,tx则,txtx小结小结积积分分方方法法直接积分法：把直接积分法：把被积函数被积函数进行代数的、三角的进行代数的、三角的 恒等变形，使其转化为基本积分公式恒等变形，使其转化为基本积分公式.换元积分法换元积分法凑微分法凑微分法第一换元积分法第一换元积分法被积函数中被积函数中含有含有复合函数的积分问题复合函数的积分问题 第二换元积分法第二换元积分法的形式”，被开方式为被积函数含有“bax