在发明中学习线代数概念的引入

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1、在发明中学习在发明中学习 -线性代数线性代数 概念的引入概念的引入 李尚志李尚志 中国科学技术大学中国科学技术大学 随风潜入夜随风潜入夜:知识的引入知识的引入之一、线性方程组的解法之一、线性方程组的解法 加减消去法加减消去法方程的线性组合方程的线性组合 原方程组的解是新方程的解原方程组的解是新方程的解是否有是否有“增根增根”？互为线性组合互为线性组合:等价变形等价变形 初等变换初等变换 高斯消去法高斯消去法 只用到系数的运算只用到系数的运算 行向量表示方程行向量表示方程数组向量数组向量 矩阵表示方程组矩阵表示方程组矩阵的初等变换矩阵的初等变换 只用到只用到系数的加减乘除系数的加减乘除数域数域之

2、二、线性相关与线性无关之二、线性相关与线性无关一、方程个数的真与假一、方程个数的真与假 方程组方程组 有几个方程？有几个方程？3 3个个?2?2个个?某个方程是其余方程的线性组合某个方程是其余方程的线性组合 线性相关线性相关例例1 如下向量如下向量 u，v，w 是否共面是否共面?(1)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(3,2,6).(2)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(1,-3,13).(3)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(1,-3,6).有解有解 1=-7,2=4,-7u+4v=w 解解 (1)易见易见 u+v=w,这三个向量共面这三个向量共面.(2)

3、解方程组求实数解方程组求实数1,2 使使(3)u=(1,1,1);v=(2,1,5);w=(1,-3,6).方程组方程组 1 u+2 v=w无解。无解。还需解还需解 1 u+3 w=v,仍无解。仍无解。还需解还需解 2 v+3 w=u,仍无解。仍无解。解三个方程太繁琐！解三个方程太繁琐！只须解一个方程只须解一个方程 1 u+2 v+3 w=0=0有有(无无)非零解非零解线性相线性相(无无)关关对任意向量对任意向量 a,b,ga,b,g 1 a+2 b+3 g=0=0有有(无无)非零解非零解线性相线性相(无无)关关 当当 3 不为不为 0,当当 2不为不为 0,当当 1不为不为 0,二、线性相关

4、二、线性相关(无关无关)的定义的定义V V是数域是数域F F上向量空间上向量空间,u,u1 1,u,um m 是是V V中向量中向量.如果存在如果存在 F F 中不全为中不全为0 0的数的数 使使(2.1)就称向量组就称向量组 u u1 1,u,um m 线性相关线性相关.反之反之,如果如果(2.1)(2.1)仅仅当当成立成立,就称向量组就称向量组 u1,um 线性无关线性无关.(1)(1)可以看成关于未知数可以看成关于未知数 的方程。的方程。方程有方程有(无无)非零解非零解 向量组线性相向量组线性相(无无)关关例例2.2.求方程的实数解求方程的实数解 则原方程为则原方程为:u+v=w 我们有

5、我们有:-7u2+4v2=w2 将原方程代入将原方程代入:-7u2+4v2=(u+v)2 整理得整理得-8u2-2uv+3v2=0 分解因式得分解因式得(v-2u)(3v+4u)=0 v=2u,解解:令令 方程组线性相关方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组有多余的方程（是其余方程的线性组合）合）删去多余的方程删去多余的方程 -打假打假 将打假进行到底将打假进行到底 极大线性无关组极大线性无关组 剩下的方程的个数剩下的方程的个数-秩秩rank rank 三、极大线性无关组，秩三、极大线性无关组，秩 秩的唯一性 方程组方程组(A A1,A2,A3)与与(B B1,B2)互为线性组合互为

6、线性组合 A1=a11B1+a12 B2 A2=a21B1+a22 B2 A3=a31B1+a32 B2 x1 A A1+x2 A A2+x3 A A3=0 0 :(a11x1+a21x2+a31x3)B1+(a12x1+a22x2+a32x3)B2=0 未知数个数未知数个数3 3 方程个数方程个数2 2 方程组有非零解方程组有非零解 (x1,x2,x3)A A1 ,A,A2,A A3 线性相关线性相关.方程可以换成任意对象方程可以换成任意对象,只要仍有加法和数乘只要仍有加法和数乘且满足运算律且满足运算律,证明仍成立证明仍成立 抽象向量空间抽象向量空间四、线性相关四、线性相关(无关无关)的重要

7、应用的重要应用 -基、坐标与维数基、坐标与维数 在在3维几何向量组成的空间维几何向量组成的空间V中中,我们取我们取3个不个不共面的向量共面的向量1,2,3组成一组基组成一组基,将空间中每个向将空间中每个向量量u唯一地写成唯一地写成1,2,3 的线性组合的线性组合:=x1+y2+z3 将将3个系数组成的数组个系数组成的数组(x,y,z)称为称为的坐标的坐标,用来代用来代表表.为什么为什么V中每个向量中每个向量都能写成这三个向量都能写成这三个向量1,2,3的线性组合的线性组合?为什么为什么系数系数x,y,z是唯一的是唯一的?在任意域在任意域F的线性空间的线性空间V中中能否能否类似地找到一类似地找到

8、一组向量组向量1,2,n组成一组基组成一组基,使得使得V中的每个向中的每个向量量都能唯一地写成这组向量的线性组合都能唯一地写成这组向量的线性组合,从而可从而可以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量以将线性组合的系数组成坐标来代表这个向量?如果能如果能,这组基这组基1,2,n应当满足什么样应当满足什么样的条件的条件?例例3 设设V是数域是数域F上线性空间上线性空间,u1,u2,un 是是V中的向量组成的向量组中的向量组成的向量组.假如假如V中向量中向量u能写成能写成u1 1,u2 2,un n 的线性组合的线性组合 u=x1u1+x2u2+xnun (4.1)在什么情况下在什么情况下,由由 u

9、=x1u1+x2u2+xnun =y1u1+y2u2+ynun可以推出可以推出 xi=yi,i=1,2,n从而线性组合式从而线性组合式(2.5)中的系数中的系数x1,x2,xn由由u唯唯一决定一决定?解解当且仅当当且仅当u1,u2,un线性无关时线性无关时,由由(4.3)可得可得 x1u1+x2u2+xnun=y1u1+y2u2+ynun (4.2)(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+(xn-yn)un=0 (4.3)由此可知由此可知,当且仅当当且仅当u1,u2,un线性无关时线性无关时,凡是能由凡是能由u1,u2,un线性组合出来的向量线性组合出来的向量u=x1u1+x2 u2+xnun

10、,此线性组合表达式中的系数此线性组合表达式中的系数x1,x2,xn就由就由u唯一唯一决定决定,可以组成坐标可以组成坐标(x1,x2,xn)来表示向量来表示向量u.为了将为了将V中所有的向量都用坐标来表示中所有的向量都用坐标来表示,还需要还需要选取这样的线性无关向量组选取这样的线性无关向量组u1,u2,un,使使V中中所有的向量都能表示成所有的向量都能表示成u1,u2,un的线性组合的线性组合.定义定义 设设V是数域是数域F上的线性空间上的线性空间.如果如果V上存上存在一组由有限个向量组成的线性无关向量组在一组由有限个向量组成的线性无关向量组=x11+x22+xnn,(4.4)B=1,2,n使使

11、 V 中每个中每个 都能写成都能写成 B 中向量的线性组合中向量的线性组合 则则V称为称为有限维线性空间有限维线性空间,B称为称为V的一组的一组基基,B中向量个数中向量个数 n 称为称为V的的维数。维数。表达式表达式(4.4)中中的线性组合系数组成的数组的线性组合系数组成的数组(x1,x2,xn)称为称为 在基在基B下的坐标。下的坐标。例例 4 已知向量组已知向量组 u1,u2,u3线性无关线性无关.试判断试判断 u1+u2,u2+u3,u3+u1线性相关还是线性无关线性相关还是线性无关解法解法1 设数设数1,2,3满足条件满足条件(4.5)(4.6)由于由于u1,u2,u3线性无关线性无关,

12、(4.6)成立仅当成立仅当 (4.7)解法解法2 以以u1,u2,u3为子空间的基为子空间的基,将所要判将所要判断的向量写成坐标断的向量写成坐标(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).方程组方程组(4.7)只有零解只有零解.u1,u2,u3 线性无关。线性无关。五、齐次线性方程组的解集五、齐次线性方程组的解集 齐次线性方程组齐次线性方程组 可写成可写成 (5.2)(5.1)其中其中 齐次线性方程组的解集是齐次线性方程组的解集是子空间子空间。解空间维数解空间维数=未知数个数未知数个数 方程组的秩方程组的秩 dim VA=n rank A 都是都是 (5.2)的解的解.X+Y 与与 l l X 也都是也都是(5.2)的解。的解。谢谢谢谢 ！