高等数学第十一章章节小结

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1、第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分（第二类曲线积分）（第二类曲线积分）对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（第一类曲线积分）格林公式及格林公式及四个等价命题四个等价命题高斯公式高斯公式对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）（第二类曲面积分）对面积的曲面积分对面积的曲面积分（第一类曲面积分）（第一类曲面积分）曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分（第一类第一类曲线积分）曲线积分）对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分（第二类第二类曲线积分）曲线积分）格林公式及格林公式及四个等价命题

2、四个等价命题曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分（第一类第一类曲面积分）曲面积分）对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分（第二类第二类曲面积分）曲面积分）高斯公式高斯公式1 对弧长的曲线积分v定义：v （函数 在光滑平面曲线 上有界）v性质：v v v v几何意义：v 当 时，为曲线 的弧长。01(,)lim(,)niiiLif x y dsfs 1(,)(,)(,)(,)LLLf x yg x ydsf x y dsg x y ds 12122(,)(,)(,)LLLLf x y dsf x y dsf x y ds(,)f x yL(,)1f x y 01limniLidsssL(3)(,)

3、(,),(,)(,).LLLf x yg x yf x y dsg x y ds设在 上则1.1 对弧长的曲线积分的计算 22(),(),(),()(,)(),()()()Lxx tyy ttx ty tf x y dsf x ty tx ty tdt 1 设平面曲线的导函数 连续且不同时为零,则 L:2222(),(),(),(),(),()(,)(),(),()()()()xx tyy tzz ttx ty tz tf x y z dsfttttttdt 设空间曲线：的导函数连续且不同时为零,则1.2利用对称性及奇偶性简化对曲线积分的计算v 设平面曲线 关于 轴对称，且位于上半v平面的部分

4、曲线为 ，则v 如果被积函数 关于 是奇函数，v则 ；v 如果被积函数 关于 是偶函数，v则 ；v 平面曲线 关于 轴对称时有类似的结论。x0L(,)0Lf x y ds(,)f x yy(,)f x yy0(,)2(,)LLf x y dsf x y dsyLLv设空间曲线 关于 面对称，且位于v面上半部分曲线为 ，则v如果被积函数 关于 是奇函数，v则 ；v如果被积函数 关于 是偶函数，v则 ；v关于其它坐标面的对称性也有类似结论。xoyxoy0(,)f x y zz(,)0f x y z ds(,)f x y zz(,)2(,)f x y z dsf x y z ds01.2利用对称性及

5、奇偶性简化对曲线积分的计算2.1 对坐标的曲线积分的定义v定义：函数 在 上对坐标 的曲线积分v v 函数 在 上对坐标 的曲线积分(,)Q x yLy01(,)lim(,)niiiLiQ x y dyQy(,)P x yLx01(,)lim(,)niiiLiP x y dxPx 01(,)(,)lim(,)(,)niiiiiiLiP x y dx Q x y dyPxQy 2.1 对坐标的曲线积分的定义01lim(,)(,)(,)(,)(,)(,)niiiiiiiiiiiiiPxQyRzP x y z dxQ x y z dyR x y z dz 定义：在空间的有向光滑曲线 上的对坐标的曲

6、线积分：性质：1212(1)LLLLPdxQdyPdxQdyPdxQdy(2)LLPdxQdyPdxQdy 2.2 对坐标曲线积分的计算 v设有向光滑曲线 ，起点参数 ，终点参数 ，当 单调地从 变到 时，点 从起点变到终点，连续且不同时为零，则v同理，v一般的，Mt():()xtLyttt()tt、（）P Q L、在 上连续(,)(),()()LP x y dxPttt dt(,)(),()()LQ x y dyQttt dt (),()()(),()()LPdxQdyPtttQtttdtv对于空间有向光滑曲线 ，则v两类曲线积分之间的关系：其中，是空间曲线方向的方向余弦。(),(),(),

7、:xt yt zt t：(,)(,)(,)(),(),()()(),(),()()(),(),()()LP x y z dx Q x y z dyR x y z dzPttttQttttRtttt dt(coscos)LLPdxQdyPQds(coscoscos)PdxQdyRdzPQRdscos,cos,cos3.1 格林公式v有界闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 、v 在区域 内的一阶偏导数连续，是区域 的正向边界曲线，则 v v 注：LD(,)P x y(,)Q x yDLDDLdyPxQQdyPdx)()(2的面积为区域其中DAAydxxdyL3.2 四个等价命题v 设 为单连通区

8、域，函数 、在区域 内的一阶偏导数连续，则以下四个命题等价：v 在 内，；v 对于 内的任意一条闭曲线 ，；v 对于 内任意一条曲线 ，积分 值与路 v 径无关，只与 的起点和终点有关；v 存在 内的可微函数 ，使得 。LD(,)P x y(,)Q x yDDQPxyD0LQdyPdxDLLPdxQdyL(,)u x yduPdxQdyD4.1 对面积的曲面积分v定义：v v性质：v几何意义：v （是曲面 的面积）01(,)lim(,)niiiiif x y z dSfS 1212(,)(,)(,)f x y z dSf x y z dSf x y z dS 01limniidSSSS(,)f

9、 x y z注：函数在光滑曲面 上有界。4.2 对面积的曲面积分的计算 v 设曲面v一阶偏导数连续，则v当 时，v如果曲面方程为 或 时，有类似的计算方法。:(,),(,),(,)zz x yx yD z x yD在 上22(,)(,(,)1xyDf x y z dSf x y z x yzz d(,)1f x y z 221xyDDdSzz ddS(,)yy x z(,)xx y z4.3 关于面积的曲面积分的对称性v对于积分 ，积分曲面 关于坐标面 面对称，则v 如果被积函数 关于 是奇函数，则v ；v 如果被积函数 关于 是偶函数，则v 其中 是 的在 v坐标面上半部分的曲面，对其他情形

10、有类似的对称性。(,)f x y z dSxoy(,)f x y zz(,)0f x y z dS(,)f x y zz(,)2(,)f x y z dSf x y z dS上上xoy5.1 对坐标的曲面积分 v定义：函数 在有向曲面 上对坐标v 的曲面积分。记作：v同理，可定义：01(,)lim(,)()niiiixyiR x y z dxdyRS 10(,)lim(,)()niiiiyziP x y z dydzPS 10(,)lim(,)()niiiizxiQ x y z dzdxQS (,)R x y z,x yv性质：v（1）v（2）若 表示与 相反侧的有向曲面，则1212Pdydz

11、QdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy 5.2 对坐标的曲面积分的计算 v设曲面 ，取上侧，在 面上的投v影区域为 ，在 上连续，函数v在 上一阶偏导数连续，则v当曲面 取下侧时，:(,)zz x yxoyxyD(,)R x y z(,)zz x yxyD(,)(,(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y d(,)(,(,)xyDR x y z dxdyR x y z x y d v即v同理，（上侧为正，下侧为负）(,)(,(,)xyDR x y z dxdyR x y z

12、 x y d(,)(,),)yzDP x y z dydzP x y zy z d(,)(,(,),)zxDQ x y z dzdxQ x y x zz d（前侧为正，后侧为负）（右侧为正，左侧为负）5.3 两类曲面积分之间的关系 v其中 为有向曲面 的指定一侧v的法向方向的方向余弦。(,)(,)(,)(,)(,)(,)(coscoscos)P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyP x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdyPdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdyPQRdScoscoscos、6.高斯公式高斯公式(Gauss)v定理：设空间区域 由分片光滑的曲面 围成，函v 数 在 上的一阶偏导数v 连续，则v其中 取外侧，是 的外法线方向余弦。(,)(,)(,)P x y zQ x y zR x y z、()PQRPdydzQdzdxRdxdydvxyz(coscoscos)()PQRPQRdSdvxyzcos,cos,cos