高中数学点线对称问题(

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1、可求出xf.So=kf.x+x0+b,2对称问题专题【知识要点】1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P(x0,y0),对称中心为A(a,b),则P关于A的对称点为P)(2a_x0,2by0).2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知,对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组,就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则有fy-y00k=1,x一x0word.特殊地，点P(x0,y0)关于直线x=a的对称点为P(2a_x

2、0,y0)；点P(x0,y0)关于直线y=b的对称点为P(x0,2b_y0).3. 曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题,一般是转化为点的中心对称或轴对称(这里既可选特殊点,也可选任意点实施转化).一般结论如下：(1) 曲线f(x,y)=0关于已知点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a_x,2b_y)=0.(2) 曲线f(x,y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f(x,y)=0上任意一点为P(x0,y0),P点关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则由(2)知，P与P的坐标满足k=1,x+x=k+b,2从中解出x0、y0，代入已知曲线f(x,y)=0,应有f(x0

3、，y0)=0.利用坐标代换法就可求出曲线(x,y)=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.4. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：(1) 点(x,y)关于x轴的对称点为(x,_y)；(2) 点(x,y)关于y轴的对称点为(_x,y)；(3) 点(x,y)关于原点的对称点为(_x,_y)；(4) 点(x,y)关于直线x_y=0的对称点为(y,x)；(5) 点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(_y,_x).【典型例题】【例1】求直线a：2x+y_4=0关于直线l：3x+4y_1=0对称的直线b的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：(1)若

4、a、b相交，则l是a、b交角的平分线；(2)若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB丄l,并且AB的中点D在l上;(3)a以l为轴旋转180,一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多,总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件,选择适当的直线方程的形式,，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.解：由严y_4=，解得a与l的交点E(3,_2),E点也在b上解：由I3x+4y_1=0,方法一：在直线a：2x+y4=0上找一点A(2,0),设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0),由2xx0+y0+4Xo1=0,22y(2)x30

5、448=，解得B(,).由两点式得直线b的方程为2355即2x+11y+16=0.方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y1=0的对称点Q(x0，y0),则有x+xy+y3X0+4X01=0,2225解得胆x-24y+6,肝一24x一7y+8Q(x0,y0)在直线a：2x+y4=0上，7x24y+624x7y+8则2X+4=0,2525化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程.l3x+4y115y-(4-2xj-x一x0方法三：设直线b上的动点P(x,y),直线a上的点Q(x0，42x0),且P、Q两点关于直线1：3x+4y1=0对称，则有|3x+4(42x)1|00543

6、.消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0(舍).评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】光线从点A(3,4)发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B(2，6)，求射入y轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：TA(3,4)关于x轴的对称

7、点A1(3,4)在经x轴反射的光线上，同样A1(3,4)关于y轴的对称点A2(3,4)在经过射入y轴的反射线上,，kA2B=6+4=223故所求直线方程为y6=2(x+2)，即2x+y2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透.【例3】已知点M(3,5),在直线1：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使AMPQ的周长最小.剖析：如下图，作点M关于直线1的对称点M,再作点M关于y轴的对称点M2，连结MMMM2,连线MM、MM2与1及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的AMPQ的周长最小.ym2MM1Ox解：由点M（3,5）及直线l,可求得点M关于l的对称点M1（

8、5,1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）.据M1及M2两点可得到直线MM2的方程为x+2y7=0.7令x=0,得到M1M2与y轴的交点Q（0,-）.x+2y7=0，_x2y+2=0,597故点p（二，7）、Q（0，）即为所求.242评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.|不妨再试试这个小题：已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P,使得IPAI+IPBI最小，则最小值为,P点的坐标为.答案：石（,0）259解方程组得交点P（,）.24【巩固练习】与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y

9、=0对B.(b,a)C.(a,b)P(a,b),则Q(b,a).D.(b,a)1. 已知点M（a,b）称，则点Q的坐标为A.（a，b）解析：N（a，b）,答案：B2. 曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是A.y2=84xB.y2=4x8C.y2=164xD.y2=4x16解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C,在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4x，y）.因为Q（4x，y）在曲线y2=4x上,所以y2=4（4x），即y2=164x.答案：C已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l12关于y轴对称的充要条件是5p

10、11A.=B.p=5C.m=n且p=5D.=且p=5mnmn.m=n答案：4.点A解析：答案：解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（一x）+my+5=0，即xmy5=0，与l2比较，且p=5.反之亦验证成立.C（4，5）关于直线l的对称点为B（2，7），则l的方程为.对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线.3xy+3=05设直线x+4y5=0的倾斜角为9，则它关于直线y3=0对称的直线的倾斜角是解析：数形结合.答案：n96. 已知圆C与圆(X1)2+y2=l关于直线y=x对称，则圆C的方程为A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y1)2=1解析：由

11、M(x,y)关于y=x的对称点为(一y,x),即得x2+(y+1)2=1.答案：C7. 与直线x+2y1=0关于点(1,一1)对称的直线方程为A.2xy5=0B.x+2y3=0C.x+2y+3=0D.2xy1=0解析：将x+2y1=0中的x、y分别代以2x,2y,得(2x)+2(2y)1=0,即x+2y+3=0.故选C.答案：C8. 两直线y=3x和x=1关于直线i对称，直线i的方程是.解析：上的点为到两直线尸亘x与x=1距离相等的点的集合即丄二氏=lx1丨，化简得x+方y3J1+丽22=0或3xv3y2=0.答案：x+、：3y2=0或3xv3y2=0直线2xy4=0上有一点P,它与两定点A(

12、4,1)、B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是.解析：易知A(4,1)、B(3,4)在直线1：2xy4=0的两侧.作A关于直线l的对称点A1(0,1),当A1、B、P共线时距离之差最大.答案：(5,6)9. 已知ABC的一个顶点A(1,4),ZB、ZC的平分线所在直线的方程分别为11：y+1=0,12：x+y+1=0,求边BC所在直线的方程.解：设点A(1,4)关于直线y+1=0的对称点为A/(x1，y1),则x1=1,y1=2X(1)(4)=2,即Az(1,2).在直线BC上，再设点A(1,4)关于12：x+y+1=0的对称点为A(x2,y2),则有X(1)=1，广y2+42x+12+

13、1+1=0.2x1C2解得Ix2=3,丿=0，x+1齐1，即x+2y3=0为边BC所在直即A(3,0)也在直线BC上，由直线方程的两点式得污线的方程.【能力提高】11.求函数y=x2+9+：x28x+41的最小值.解：因为y=丫(x0)2+(03)2+.(x4)2+(05)2,所以函数y是x轴上的点P(x,0)与两定点A(0,3)、B(4,3)距离之和.y的最小值就是IPAI+IPBI的最小值.由平面几何知识可知，若A关于x轴的对称点为Az(0,-3),则IPAI+IPBI的最小值等于IABI,即12，得1一n0n2k(y22，y2),0n0n2vkv0.2k215.（2013湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到点P（如图1）,若光线QR经过AABC的重心，则AP等于（）CD84A2B1最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改