高三数学专题外接球

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1、高三数学专题外接球1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16nB.20nC.24nD.32n2补形法（补成长方体）例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球的表面积是3.依据垂直关系找球心例3:已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足32D.寸BA=BC=46，ZABC=n，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）2A.8nB.16nC.n3一、单选题i棱长分别为2、:5的长方体的外接球的表面积为（）A.4nC.24nD.48n2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱

2、的长都为2.3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.12nB.28nC.44nD.60n3把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（）A.32nB.27nC.18nD.9n4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）A.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n5三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=43，则球O的表面积为（）A.16nB.32nC.60nD.64n6如图ABCD-ABCD是边长为1的正方体，S-ABCD是高

3、为1的正四棱锥，若点S,1111A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为（）1111A9nB.25n16C.49n16D.81n16167已知球O的半径为R,A,B,C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为2R，AB二AC二2，ZBAC二120。，则球的表面积为（）A.16n9B.16nC.64nD.64n38已知正四棱锥P-ABCD（底面四边形ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为、而，若该正四棱锥的体积为50，则此3球的体积为（）A.18nB.8=6C.36nD.32*3n如图，在ABC中，AB=BC=、拓,ZABC=90

4、。，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PC二PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A.7nB.5nC.3nD.n9. 四面体ABCD中，ZABC=ZABD=ZCBD=60。,AB=3,CB=DB=2，则此四面体外接球的表面积为（）A19n219嬴24C.17n将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使ZBDC=120。,若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.C.13nD13n310. 在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.43而n2

5、443v43n6C.43nD.43n二、填空题棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是.已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16运,则该正四棱锥内切球的表面积为15已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为73，AB=2,AC二1,ZBAC二60。，则此球的表面积等于16.在三棱锥ABCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，则|三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为.1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16nB.20nC.24nD.32n【答案】C【解

6、析】V=a2h=16,a=2,4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24,S=24n，故选C.2.补形法（补成长方体）例2:若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为I3，则其外接球的表面积是【答案】9n【解析】4R2=3+3+3=9，S=4nR2=9n.3.依据垂直关系找球心例3:已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC满足BA=BC=屈，ZABC=2，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A.8nb.16nC.nD.n33【答案】D【解析】因为ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半径是r=丄12二方，设外接球2的半径是R，球心O到该底面的距离d，如图，则S=x

7、6=3，BD=-3，由题设ABC2V=Sh=x6h=3，3ABC6最大体积对应的高为SD=h=3，故r2=d2+3，即R2=（3-R）2+3，解之得R=2,所以外接球的体积是4nR3=迺，故答案为D.33一、单选题棱长分别为2、占、后的长方体的外接球的表面积为（）A.4nC.24nD.48n【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为R,由题意可知：（2R1=22+（：3）+（：5，则：R2=3,该长方体的外接球的表面积为S=4nR2=4nx3=12n.本题选择B选项.2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2（3，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.12nB.28nC.44nD.60n

8、【答案】B【解析】设底面三角形的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r=2，则r=2，sin60。设外接球半径为R，结合三棱柱的特征可知外接球半径R2=C3）+22=7，外接球的表面积S=4nR2=28n.本题选择B选项.3把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为（）A.32nB.27nC.18nD.9n【答案】C【解析】把边长为3的正方形ABCD沿对角线AC对折，使得平面ABC丄平面ADC，则三棱锥D-ABC的外接球直径为AC=3迈，外接球的表面积为4nR2=18n，故选C.4.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下

9、图所示，则该几何体外接球的面积为（）A.a2nB.2a2nC.3a2nD.4a2n【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为f2a的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥，另一个是棱长为的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线所以2R=a2+a2+a2所以该几何体外接球面积A2S=4nR2=4nx=3a2n，故选C.三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的表面上，AB丄平面BCD,BC=BD=2,AB=2CD=4/3，则球O的表面积为（）A.16nB.32nC.60nD.6

10、4n答案】D【解析】因为BC=BD=2,CD=2込所以cosZCBD=22+22-.ZCBD=2n因此三角形BCD外接圆半径为iCD=2,sinZCBDAB2设外接球半径为R，则R2=22+=4+12=16，.S=4nR2=64n，故选D.I2丿如图ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S,片，B,q,在同一个球面上，则该球的表面积为（）A9n16254981BnCnDn161616答案】D【解析】如图所示，连结AU，Bp，交点为M，连结SM,易知球心O在直线SM上，设球的半径R=OS=x,在RtAOMB中，由勾股定理有:OM1664又R2=R2+4

11、，解得：R2=，贝I球的表面积S=4nR2=n本题选择D选项.4338已知正四棱锥P-ABCD（底面四边形ABCD是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为50，则此+BM球的体积为（）A.18nB.8*6C.36nD.32、3n【答案】C【解析】=BO2，即：（2-x=x2，解得：x=9，贝I该球的表面积11I2丿8(92S=4nR2=4nx-18丿81n16本题选择D选项.7-已知球0的半径为RA，C三点在球0的球面上球心0到平面ABC的距离为2rAB=AC=2，ZBAC=120。，则球O的表面积为（）A16n9B.16nC.6

12、4nD.64n【答案】D【解析】由余弦定理得：BC.4+4-2x2x2cos120o=23，设三角ABC外接圆半径为r，由正弦定理可得：丄丕=2r，则r=2，sin120o如图，设正方形ABCD的中点为E，正四棱锥P-ABCD的外接球心为O,底面正方形的边长为、：10,EA=.5,t正四棱锥的体积为50，.V=1xC10）xPE=50，3P-ABCD33贝PE二5，.OE=|5-R，球3在AOE中由勾股定理可得：（5-R2+5=R2，解得R二3,.V、=4nR3=36n，故选C.9.如图，在ABC中，AB=BC二6,ZABC=90。，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PC二

13、PD，连接PC，得到三棱锥P-BCD若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，贝该球的表面积是（）A.7nB.5nC.3n【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为再的正三角形，且BD丄平面PCD，设三棱锥P-BDC外接球的球心为O,PCD外接圆的圆心为O，则OO丄面PCD，四边形OODB为直角梯形,由BD=、疔，OD=，及OB=OD，得OB=，外接球半径为R=7该球的表面积S=4nR2=4nx=7n.故选A.4CB=DB=2，则此四面10.四面体ABCD中，ZABC=ZABD=/CBD=60。,AB=3,体外接球的表面积为（）A.19n2口l38nB.24C.17n【答案】A解析】-BC

14、D的外接圆半径r=互=BE，FE=33/ZABC=ZABD=60。，可得AD=AC二訂，可得AF二厉，二AF丄FB，二AF丄BCD,四面体ABCD咼为AF=、6.设外接球R，O为球心，OE=m，可得：r2+m2=R2,C6一兀）+EF2=R2由解得：四面体外接球的表面积：S=4nR2=19n2故选A11将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使ZBDC=120。，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）1313A.nB.7nC.nD.n223【答案】B【解析】ABCD中，BD=1,CD=1,ZBDC=120。,底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为r，由余弦定理得到BC二込

15、，再由正弦定理得到_=2rnr=1，sin120。见图示：AD是球的弦，DA仝，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置，二OM二亘，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD,2OD即为球的半径.球的半径OD；1+3=7.该球的表面积为4nxOD2=7n；故选B.4212在三棱锥A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为（）43、五2443j43n6C43nD.43n【答案】D【解析】分别取AB,CD的中点E,F，连接相应的线段CE,ED,EF,由条件，AB=CD=4,BC=AC=AD=BD=5，可知，ABC与A

16、DB，都是等腰三角形，AB丄平面ECD，二AB丄EF，同理CD丄EF，二EF是AB与CD的公垂线,球心G在EF上，推导出AAGBACGD，可以证明G为EF中点，DE八259=4,DF二3,EF=16-9=万,斗，球半径DG=2故选D.二外接球的表面积为S=4nXDG2=43n.13. 二、填空题棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是.【答案】84n【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为r=-x=-x皂=2翻,2sin602侖2则外接球的半径R：32+G汀*9+12二-汤,则外接球的表面积为S=4nR2=4nx21=84n.14. 已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为1673，则该正四棱锥内

17、切球的表面积为【答案】（32-16叮3）n（rS_【解析】设正四棱锥的棱长为a，则4a2=16晁，解得a=4.其中MN=4,PM=PN=2、豆PE=2、辽.设内切圆的半径为r，由APFO=PEN，得巴=PO，即r=22-r,ENPN22典解得r=762，V3+1二内切球的表面积为S=4nr2=4n(62)=3216f3)n.已知三棱柱ABCA1BQ的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为书,AB=2,AC=1,ABAC=60。，则此球的表面积等于.【答案】8n【解析】三棱柱ABC-A1BC1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为73,AB=2,AC=1,ZBAC-60,2x2x1xsi

18、n60oxAA=-/3,AA=2,:BC2=AB2+AC22AB-ACcos60=4+1-2,BC=3,设ABC外接圆的半径为R，则=2r,.r=1,sin60外接球的半径为*1+1=辽，二球的表面积等于4nx（込1=8n故答案为8n.16.在三棱锥ABCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为.【答案】竺空3【解析】如图所示，三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD，设AB=AC=x,那么DB=DC=4x,AB丄BD，所以AD=PAB2+DB2.由题意，体积的最小值即为AD最小，AD=2+（4-x）2，所以当x=2时，AD的最小值为2込，所以半径为占,故体积的最小值为型.3