3自由度旋转台的动力学分析

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1、3自由度旋转台的动力学分析 基金项目：教育厅河北省高等学校科学技术研究青年基金项目（2010217），科技部国际合作项目（2008DFR10530）高征1 肖金壮1 王洪瑞1 金振林21. 河北大学，保定，071002 2. 燕山大学，秦皇岛，066004摘要：对3自由度旋转台进行了动力学分析。该旋转台只有3个方向的转动自由度, 由2自由度球面并联机构和串联在其上的旋转电机构成。根据旋转台的几何和运动特性建立了系统的输入输出速度方程, 得出了速度雅克比矩阵和动能方程。利用拉格朗日法和虚功原理, 建立了系统的动力学模型, 解决了特定外载荷和速度、加速度条件下如何求解驱动力矩的问题。给出了动力学的

2、仿真运算实例, 讨论了在匀速和匀加速情况下, 2自由度球面并联机构驱动力矩的变化。最后根据动力学方程, 得出了串联在2自由度球面并联机构上的第三个自由度的力矩与输出转角的运动学方程。关键词：并联机构；旋转台；动力学；拉格朗日法；虚功原理中图分类号：TP242Dynamic Analysis on A 3-DOF Rotational PlatformGao Zheng1 Xiao Jinzhuang1 Wang Hongrui1 Jin Zhenlin21. Hebei University, Baoding, 071002 2. Yanshan University, QinHuangdao

3、, 066004Abstract: Dynamics is analyzed of a 3-DOF (degree of freedom) rotational platform. This rotational platform, which consists of a 2-DOF spherical parallel mechanism and a rotational degree connecting in series to the platform of the 2-DOF mechanism, has only 3 rotation freedoms. Systems input

4、-and-output velocity functions are established according to rotational platforms geometry and motion characteristics, and then obtain the velocity Jacobian metrics and energy functions. Systems dynamics model is established by Lagrange method and virtual work principle, and then the drive torque is

5、solved when given the external load, velocities and accelerations. The examples are given of dynamics simulation. The drive torques changing curves of the 2-DOF spherical mechanism is discussed under the situation of uniform speed and acceleration. Finally, according to the dynamic functions, the th

6、ird degrees kinematics equation is obtained respecting to its torque and output angle. Key words: parallel mechanism; rotation platform; dynamics; Lagrange method; virtual work principle0 前言稳定平台系统是多学科有机结合的产物，其中精密机械动力学建模设计和仿真就是主要的应用技术之一1。机构动力学模型的建立是并联机器人机构研究的一个重要方面，是并联机器人机构进行动力学模拟、动态分析、动力学优化设计及控制的基础2

7、。典型的动力学研究方法主要是Newton-Euler法、Lagrange法和Kane法等。其中基于虚功原理的Lagrange 法是以系统的动能和势能建立的，推导过程比较简便，并且总能得到形式较为简洁的动力学方程，既能用于系统动力学模拟，又能用于动力学控制，而且清楚地表示出各构件的耦合特性3。 Liu4等人将机器人的位姿视为广义坐标，以Lagrange方程为依据建立Stewart平台的动力学方程; 白志富5等利用Lagrange 法讨论了一种3-HSS并联机构在工作空间内的动力学方程，得出了其显式解，并结合实例对各滑块的驱动力进行了计算机仿真。刘善增，余跃庆6等基于有限元理论、运动弹性动力分析方

8、法和Lagrange 方程，建立了3- RRS 柔性并联机器人的支链动力学模型，通过系统的运动协调关系将各支链组装在一起，得到系统的弹性动力学方程。 陈纯，黄玉美等7采用Lagrange 方法建立了VC80 混联机床两自由度并联机构封闭形式的逆动力学模型。在2自由度球面并联机构的运动平台上串联了一个电机(转动副)构成3自由度旋转台，可应用于具有稳定和跟踪功能的稳定平台。采用基于虚功原理的Lagrange法建立了该旋转台的动力学模型，并利用Maple软件给出了计算机仿真结果。1 机构说明3-DOF(Degree of Freedom，自由度)旋转台，如图1所示机构简图，由2-DOF球面并联机构和

9、串联在其上的转动副构成。2-DOF球面并联机构为空间5杆机构，运动副均为转动副，所有轴线皆汇交于一点，其中电机1和电机2固定在机架上，为主动副，两电机轴互相垂直。2-DOF机构运动平台只能做围绕球心的转动。电机3固连在2-DOF机构的运动平台上，电机3的轴线垂直于该运动平台。支架1和支架2分别对应的圆心角，支架3对应的圆心角。如图1所示，定坐标系的原点位于2-DOF球面并联机构的旋转中心，轴沿电机1的轴线方向，轴沿电机2的轴线，轴由右手螺旋法则确定;动坐标系的原点与定坐标系的原点重合，固接于2-DOF机构运动平台中心即球面机构的旋转中心。电机1轴与支架1直接相连，输入角为，电机2轴与支架3直接

10、相连，输入角为，电机3轴与工作台直接相连，输入转角为;3-DOF旋转台的输出转角为，。 图1 3-DOF旋转台机构简图 图2 3-DOF旋转台原型图2所示为金振林等设计制造的3-DOF旋转台原型。图中，电机1和电机2通过平行四边形和分别与支架1和支架3相连。引入平行四边形结构可改变电机的安装位置，改善机构整体的紧凑性。电机3安装在电机3支架内(图2中看不到)，而电机3支架对应于图1中2-DOF机构运动平台。2 输入输出速度方程由文献8中的分析可知2-DOF球面机构的角位移输入输出关系为 (1) (2)而3-DOF中绕Z轴转动的自由度由电机3独立控制，所以 (3)式(1)左右两边对时间求导，得

11、(4)式(2)左右两边对时间求导，得 (5)式(3)左右两边对时间求导，得 (6)由式(4)(5)可得2-DOF球面并联机构的速度Jacobian矩阵为 (7)式(4)(6)即为系统的输入输出速度方程，整理得速度Jacobian矩阵 (8)3 动能方程机构的总动能由，构成，即 (9)其中为工作台、电机3和电机3支架，即2-DOF球面并联机构运动平台的动能，为连杆、()以及支架1和支架3的动能，为工作台绕轴转动的动能。 (10)式中为输出速度矢量，为平台相对于过质心的坐标系的惯量矩阵， 用输入速度矢量代替输出速度矢量，整理后得 (11)工作台、电机3和电机3支架可看作一个整体，则其惯性张量为 (

12、12)动能为 (13)为连杆的转动惯量，为支架1和支架2的转动惯量，为支架3的转动惯量，为两个平行四边形长边连杆()的质量，为两个平行四边形长边连杆的速度，为电机转轴到平行四边形长边连杆转轴中心的长度。动能为 (14)为工作台的转动惯量，是已知量。4 3-DOF旋转台的广义力分析由于机构含有3个转动自由度，可以用3个电机的主动输入为广义坐标()来描述机构的运动。为了求得广义坐标下的广义力，先设某一个广义坐标不为零，其它2个广义坐标为零，根据虚功原理有 (15)式中为机构所受的外力矩;为末端的虚角位移;为电机的驱动力矩。式(15)两边同时除以可得 () (16)式(16)写成矩阵形式 (17)所

13、以 (18)5 3-DOF旋转台的动力学方程拉格朗日方程为， 求式中各项 (19) (20) (21) (22) (23) (24)将式（1924）代入拉格朗日方程，得 (25) (26) (27)将式(2527)代入式(18)，得到输入转矩与输出转矩和机构运动参数的关系。6 实例分析机构的固有参数为：; ; ; ;。由文献9，10可知，二自由度并联球面机构在极限位置时会出现奇异，所以， 、取值范围为。(1)匀速运动状态下。当2-DOF并联球面运动平台的两个输出转角、以角速度从运动到，且外力矩，时，输入扭矩和变化曲线如图3所示。 图3 匀速运动方向受外力矩时、输入曲线而当，时，在同样的条件下，

14、输入扭矩和变化曲线如图4所示。图4 匀速运动方向受外力矩时、输入曲线(2)匀加速运动状态下。当2-DOF并联球面运动平台的两个输出转角、以的匀角加速度从运动到，且外力矩，时，输入扭矩和变化曲线如图5所示。图5匀加速运动方向受外力矩时、输入曲线当，时，在同样的条件下，输入扭矩和变化曲线如图6所示。图6 匀加速运动方向受外力矩时、输入曲线由图3、图5和图6可以看出，和的相位差约在左右，这是由机构本身的几何特性和动平台的运动特性决定的。而图4中，随时间的变化虽然呈现出正弦曲线的特征，但从数值方面看，的所有值都非常近似或等于，与提供的负载数值近似相等、方向相反，这也证明了在匀速运动状态下，机构的运动符

15、合牛顿第二定律。(3)由式(18)和(27)可得 (28)由式(28)看出，电机3应输入的扭矩仅依赖于沿轴的外力矩和工作台的转动惯量以及工作台的加速度，与2自由度球面机构的相关参数没用关系。当给定时，与成线性关系。当初始角位置为零，且初始角速度也为零时，第三个电机的转角位置与、与的关系为为时间。7结论(1) 基于虚功原理和拉格朗日法建立了3自由度旋转台的动力学模型，得出了求解驱动力矩的解析表达式，结构清晰，计算量小，可提高实时计算的速度。(2) 匀速运动时，若外力矩沿方向，2自由度球面并联机构的2个驱动力矩和曲线相位差约; 若外力矩沿方向，随时间变化呈正弦曲线，与外力矩大小相等，方向相反。(3

16、) 匀加速运动时，驱动力矩和曲线相位差约。 (4) 第三个自由度由电机3独立控制，可得到输出角位置与力矩简单直观的关系表达式。参考文献：1 付涛.三轴稳定平台控制系统的设计与仿真研究(D). 南京：南京理工大学，2009.2 冯志友, 李永刚, 张策, 杨廷力. 并联机器人机构运动与动力分析研究现状及展望J. 中国机械工程, 2006年, 17(9) : 979984.3STONE H W, SANDERSON A C, NEUMAN C P. A prototype Arm signature identification systemC/Proc. IEEE Int. Conf. on R

17、obotics and Automation, Raleigh, 1987, 1: 175182.4刘振宇, 陈英林, 曲道奎, 等.机器人标定技术研究J.机器人, 2002年, 24(5): 447450.5白志富, 韩先国, 陈五一基于Lagrange 方程三自由度并联机构动力学研究J北京航空航天大学学报, 2004年, 30(1)：51-546 刘善增，余跃庆，苏丽颖，杨建新. 3- RRS 柔性并联机器人的动力学建模与频率特性分析J. 中国机械工程, 2008年, 19(8):12191225.7 陈纯, 黄玉美, 韩旭炤. 混联机床并联机构的逆动力学分析J. 中国机械工程, 2009

18、年, 20(7): 784788.8高征，高峰，苏锐. 一种6-DOF 3-UrPS并联机构的正解研究J. 中国机械工程，2007年，18(7):846-850.9高征, 高峰. 新型并联机器人的奇异位形分析J. 机械工程学报, 2008年, 44(1)：133-138.10高征, 高峰. 新型6自由度3-UrRS并联机器人的奇异位形分析J. 机械科学与技术, 2007年, 26(3), pp：292295.作者简介:高征，女，1977年出生，河北大学电子信息工程学院，副教授，保定，071002；研究方向是并联机器人技术研究及数控技术。肖金壮，男，1976年出生，河北大学电子信息工程学院，副教授，保定，071002.王洪瑞，男，1956年出生，河北大学电子信息工程学院，教授，保定，071002金振林，男，1962年出生，燕山大学机械工程学院，教授，秦皇岛，066004