蜂房的最优化

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1、蜂房 的 最 优 化2010 全国大学生数学建模竞赛河南师大数学学院选拔赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是：蜂房最优化我们的参赛报名号为：所

2、属系、专业、班（请表明本专科）： 参赛队员（打印并签名）：.2. 3. 日期：年 月 日评阅编号（由数学建模协会评阅前进行编号）：B 题 蜂房问题当代著名生物学家达尔文 (Darwin, 1809-1882)(文献)说 ：“巢房的精 巧构造十分符合需要，如果一个人在观赏精密细致的蜂巢后，而不知加以赞扬， 那人一定是个糊涂虫。”有人比喻小小蜜蜂是卓越的建筑师。他们认为蜜蜂们“设计”的蜂房是最优 化的，试通过建立数学模型来说明。如果你能提出更优的设计，请给出你的设计摘要：本篇论文将通过建立数学模型论证蜜蜂们“设计”的蜂房是最优化的。 论文的验证过程分为以下几步：1、提出问题：验证蜂房的设计是最优化

3、的。2、提炼模型：我们知道可以进行镶嵌的只有三角形，四边形，六 边形等，蜂房都是由六边形组成的，为什么用六边形？难道是 因为六边形最省材料？还是因为六边形最省空间 ,最稳定？人 们通过测量知道六边形的钝角是109 28,锐角是70 32, 这个角有什么特殊的地方。3、针对以上各个问题查找相关资料。4、建立相应的模型并求解。5、模型评价总结反思。通过以上几个部分,我们将在下面的论文中解决这个问题。EA7DcBFDTAB图 1 图 2 基本假设：1. 蜂房是最优化的“设计”2. 如图 2，蜂房的底面用的是正六边形，1) 假设正六边形在平面内是平面利用率最大的图形2) 假设采用正六边形能做到材料最省

4、3. 从立体结构上考虑(1) 假设蜂房的顶在空间内是空间利用率最大的设计(2) 假设这样的结构可以做到材料最省 符号说明：c:图形的周长r:多边形内接圆的半径 i:多边形的边数k: 省材料的程度A:顶点A对应的角n:多边形的个数s:多边形的面积a: 增加的图形个数/增加的边数 模型的建立与求解：1. 周长为 c 的多边形中，对应的正多边形面积最大首先假设这个多边形为n边形，那么这个多边形会有1个内切圆，内切圆 的的圆心到所有边的距离都相等，现在我们假设这个内切圆半径为r,那么这个 多边形的面积是 rc/2现在我过内心做一条垂直于某一边AB的线段，这个线段就是内径，连接内心和 这条边的两个端点，

5、很容易得到，r=IABItan(A/2)/2,释怀同理我们对于每一条边 和它一端的内角都能得到这个类似的结果于是 r 就应等于所有这些结果的和除以边数(或内角数)，注意不能出现重复的 边和角，又由于所有边的和为c所有内角的和也是个定值(i-2)*180 度,因此要想 这些结果的和最大，应该有每一个结果都相等，此时，也是r最大，面积最大。 而要使类似于IABItan(A/2)/2的组合都相等，则每一个内角，每一条边都相等， 而这正是正多边形2. 正六边形是平面利用率最大的图形，也是建造相同面积周长最小的图形假设有周长都为 c 的多边形，其中只有正三角形、正方形、正六边形可以 将整个平面填满(由于

6、都是正多边形，所以当图形在平面上紧密排列时每个交接 点周围有相同数目的图形，设有x个，X* (n-2) *180/n=360=n=3、4、6),这 些图形的平面使用率是 100%正i边形与正六边形的比较(i=7或i=5,联系实际，当边数过多时制作图形的 难度加大和精确度下降，联系现在的工业水平这里我们只考虑 30边以内的多边 形以及圆做为比较对象)：假设有n个正多边形，我们用k=s/c来做标准来评定多边形省材料的程度，当图 形不是三边形四边形六边形时，每增加一个图形至多减少一条边，当是每增加一 个图形可以减少一条或两条边，s是多边形的面积，c是多边形的周长。当n个 正多边形排列:对于其他的正多

7、边形 k (i)=n*s(i)/(n*c- (n-1)*c/i) s (i)=cA2/4i*tan(180/i) ( i!=3,4,6)当 i=6 时，k=n*s/(n*c-(n-1)*2*c/6)当是圆时，k三 s/c 三 c/4 兀用MATLAB求解，程序如下：(取n=3,c=1) n=3; Pi=3.1415926;i=linspace(5,30,26);n=linspace(3,10000 ,99998);Pi=3.1415926;x=n/(24*tan(Pi/6)*(4*n+1)/6);y=n./(4.*i.*tan(Pi./i).*(n-(n-1)./i);z=1/(4*Pi);x

8、=n/(24*tan(Pi/6)*(4*n+1)/6);plot(n,z,ro,n,x,g)plot(i,y,ro,6,x,g*);结果如图(绿色的点表示六边形，红色的点表示i边形的k值，其中i=6时， 绿色点儿为有效值，红点无效.图为n从3到10000的圆和六边形相比较):0.111fl.lLfi0.10 09呻0凸i10153J2533n.11D.1Q50 10的o.dmU IB吁由此可以看出n值对红色图形等影响不大都可以看到正六边形的k值远远大 于其他图形及圆，。所以六边形比其他的图形更省材料，而且平面利用率更 大。正三边形，四边形，六边形的比较 ： 正三角形与正六边形比较因为在现实中n

9、的数值不确定，所以为了取得最优解，我们假设在添加图形 时，都在裸露的顶点中选取其周围临近图形最多的顶点处添加，这样在每一 次添加图形时可以保证增加最少边数，可以增加最多的图形个数。设&=增 加的图形个数/增加的边数；三角形的情况：在按照以上的规律来增加三角形，当增加的三角形足够多时， 我们发现最后 a 会出现饱和值， a(3)=2/3六边形的情况：增加六边形时也会出现饱和值， a(6)=1/4 由上面的假设每个图形的周长都为 c，lim(k(3)/ lim(k(6)=a(3)*(s3/(c/3) /a(6)*(s6/(c/6)=8/9( n 乂) 所以六边形比 三角形省材料。 正四边形与正六边

10、形的比较 正四边形即正方形，当用它填充平面时，知道排列后的图形越接近正方形时 其k值越大，所以我们先将(1/2)人2个图形摆成正方形，然后将n个 图形如图围绕周围排列，如图 :a(4)l/2(n 另，lim(k (4) )/lim(k (6)= a(4) *(s4/(c/4) /a (6) *(s6/(c/6)=2/免有以上可知正四边形是密铺平面最理想的图形，六边形其次，下一步我们 在底是正六边形和正四边形的基础上考虑体积固定的情况下，考虑哪一个面 积更小。3体积固定，讨论以那个为底可以建造出面积更小的图形：在建造顶部时，要注意顶部在底面上的投影应该与底面重合，所以在六边形 的基础上建造的模型

11、，顶部在底面的投影应该是正六边形，我们在建造模型 是令模型的顶尽量规则，因为图形越接近圆其体积与面积比会越大，所以对 六边形我们考虑了三种模型，如图：D.EIAI:01FiCASi但是第二个图形在排列空间时会造成空隙，造成巨大的空间浪费，所以我们 舍去不加考虑。在建造以正四边形为底的图形时，我们依照同样的原则建造了三种模型：在体积固定的情況下，比较第一种六边形模型和第三种六边形模型，蜂房模型，总表面积会最小:一个蜂巢是由很多个正 边形的蜂房所组合而成的。说得正确一点，每一个蜂房是一个以正 边形为底的 棱柱体。在这些 蜂房的中间，蜜蜂会建造一堵墙，将两边分隔开，从而成为蜂房的底部，这堵墙亦 是一

12、块平面而是好像图一中的图形般，由三个全等的 形组合而成。(图一中蜂房的形 状是倒立的，底部向上。)在体积固定的情況下，这样的蜂房，总表面积会最小 1如图一个以正 边形ABCDEF为底的 棱柱体，O为正 边形的中心。设AB=1。 连接OB和AC,并相交点为P。我们可以 用以下方法 建造出蜂房底部的 形:先在B以下的位置选一点G,并设BG=h，然后沿著AACG的边界将锥体ABCG 出，并将它反转放在三角OAC之上，即将AOAC和ABAC重 合在一起。这時, 原锥体的顶点G就会位于0之上，并称该位置为Q。如此，在AC的边上就会出 现一个 形AGCQ 。类似地，我们可以分別在D、F以下h个单位的位置定

13、出H、 K两点，从而造出另外的两个 形经过 割后的 体体积，和先前的 棱柱体 的体积是一样的，至于它的总表面积由余弦公式(Cosine Formula)，可知：AC2 = I2 +1 = 2 11 cosl20。= 3 ；1 I 1 又因为ZABP二60o,OB丄AC,所以PB二_。由此得PG = h2 + -2 4由图二可知，经 割后，AABG、ACBG和 形OABC会消失，即整个 体会1113减小面积：2 2 、二 2+2 2 “ h = h+T另外，体增加形才AGCQ，亦即增加面积:2 丄:h 2 + _241+ 4由此可知 体面积变化为：2注意:我只对AGCQ部分进 计算，其余两个 形

14、部分的结果应该柑同，故此必重复计算。我们就需要求h值，使S达至最小，令竺v3-1 0dh I 1Jh 2 + -4 1 则朽h - 严+ -即当h 寺时蜂房的总表面积会达至最小3应用勾股定 于A ABG上可以知道AG-爲最后应用余弦公式于AagC_ 1 3即当AAGC等于角109o28时，蜂房的总表面积会达到最小。在固定的体积下，比较第一种四边形模型与第三种四边形模型，得到第一种表面积更小2 比较第一种四边形模型与第三种六边形模型：（1）.体积为v的尖顶六棱柱的表面积（不算底面）的最小值是3.：2v3，而且仅当六边形边长是肩V3 高度为护V3时取最小值V即2V6a 2、：3a v8V 二迈 a

15、 2b2证：由于尖顶六棱柱的体积V和表面积S各为三V 3时S取最小值但必须检验这是否适合于而且仅当又由S 3（2V 2V 6莎t乜a 2）13 3 订 2v 3S 6a b + =c4V62V2V6S = .+ a2 + a23a83a3a8也就是a =.Iv 3, b3如果不适合，这个数值是不可能达到的。v8142体积为V的屋脊四方柱的表面积（不算底面）的最小值是V3，而且仅当316223111正方形边长是-V 3及檐高右V 3的情况下取最小值4证：由于屋脊四棱柱的体积V和表面积S各为这尖顶六棱柱的高度是b +占a二护v3，它的棱长高度是b二占4V 32V2V3a2 = + + a2a a

16、2S =+ a 2172=2336V3当且仅当a = M V :, b =兰316243v 3时取最小值,因此檐高等于b -右a =-.v 321 332 323 =-v、24 324 3323 丿1223 丄脊高为b +丄a = 2 V3界面如图，即六边形的一半。 4/3323结论：由3迈 333， 所以在保证同样容量的条件下，尖顶六棱柱比屋脊四方柱用材要少。4. 联系实际，蜂房是空间利用率最大的设计 5若蜜蜂体型直径是acm，则浪费的面积是多少?空间使用效率是多少? （1）正三角形时：如图所示圆的外切三角形面积2 - 2 - cot30-sin 60o =空间使用利率=圆面积圆的外切三角形

17、面积(3J31a244I丿沁 60.43%它浪费的面积为0.514a 2，空间使用利率60.43%圆的面积=丄兀a 24、 (1 正方形面积-圆面积=1-兀a2沁0.215a2I 4丿3)空间使用率=正六边形时：1圆面积 =4皿2 正方形面积a2兀=沁 78.54%4圆的面积=丄兀a 24VS圆的外切六边形面积=2 2 cot602 sin 60。= 3 a 2 =32圆的外切六边形面积-圆面积=-2/3 1 _ 兀4丿a2 沁 0.081a21_空间使用率=沁 90.64%圆面积=4兀2 =邑圆的外切正六边形面积花6a 22由（1）（2）（3）知正六边形空间使用率最大。模型评价： 1由以上的

18、讨论知道，在以底面为多边形建造模型时，蜂房模型是最省材料的 模型，而且空间，平面占用率都可以达到100%，是一种理想的建筑模型2. 当建造大型建筑底面为六边形，稳定坚固、对称美观、节约材料、有多面可 以采光，屋顶尖形能防潮。当建造小型的容器时，省材料，易于摆放，节约空间3. 更省材料模型的设想、建设与远模型的对比评价：出于实际的限制，蜂房的最优化讨论是在底面是多边形的情况下进行的，当底面 不是平面形状，我们设想了另一种模型。将六边形底再次进行切割制成和顶完全 相同的另一个“顶”，这样显然面积会进一步减少，而体积不变，这样的模形显 然会更省材料，且在空间无限的情况下，其空间占有率可以看成100%，但是现 实中空间一般有限，用其填充空间时，最外围部分会出现空隙。且这样的模形制 成的容器不易摆放，制成的建筑占用过多空间，且不易建造。可是有极限知道当 空间大到一定程度时，用这种模型填充空间，最终将比同面积蜂房占有更多的体 积。有一定的实用性。参考文献：12345周业官 华罗庚 华罗庚 华罗庚 陈雨蒙研究型课题例谈：蜂房结构秘密 谈谈与蜂房有关的数学问题 谈谈与蜂房有关的数学问题 谈谈与蜂房有关的数学问题 蜂窝的结构 上海中学数学江西教育 北京出版社 北京出版社 北京出版社 2005年第11期