拉普拉斯变换培训课件

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1、13.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义第第13章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一一.拉氏变换的定义拉氏变换的定义时域时域 f(t)称为称为 原函数原函数 复频域复频域 F(s)称为称为 象函数象函数1.双边拉氏变换双边拉氏变换 反变换反变换正变换正变换 )(21)()()(dsesFjtfdtetfsFstjjst 复频率复频率f(t)与与F(s)一一 一对应一对应 反变换反变换正变换正变换 0 )(21)()()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst 积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换。积分下限从积分下限从0+开始，称为开始，称为0+拉氏变换拉氏

2、变换。dtetfdtetfdtetfsFststst 0000)()()()(f(t)=(t)时此项时此项 02.单边拉氏变换单边拉氏变换 f(t)t 0,)反变换反变换正变换正变换0 )(21)()()(0tdsesFjtfdtetfsFstjjst )()()()(1sFLtftfLsF简写简写F(s)称为称为f(t)的象函数，用大写字母表示的象函数，用大写字母表示，如，如 I(s)、U(s)。f(t)为原函数用小写字母表示，如为原函数用小写字母表示，如 i(t),u(t)。3.拉氏变换存在条件拉氏变换存在条件为收敛横坐标。为收敛横坐标。称称可进行拉氏变换，可进行拉氏变换，存在，则存在，则

3、时，若时，若当当000)()(tfdtetft 的拉氏变换存在。的拉氏变换存在。衰减函数，衰减函数，为为，则，则，选，选如如)(5)(55tfeeetfttt 为收敛因子为收敛因子称称te 电工中常见信号为指数阶函数，指电工中常见信号为指数阶函数，指为有限实数为有限实数，CtMetfCt),0 )(dtMedtetftCt)(00)(CM 则则积积分分存存在在选选,C 拉拉氏氏变变换换不不存存在在，数数学学中中有有些些函函数数如如)()(2tttett 二二.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 01stes0)(1 taseas 0dtest)()(0dtetfSFst )()(.1ttf

4、)()(.2tetfat )()(.3ttf 00)(dtt=10lim stntetnttf)(.4dtettLstnn 0stnest 0dnststntseestd00 tetsnstnd01 1f1(t)e-tt01f2(t)e-tt0三个函数的拉氏变换式相同三个函数的拉氏变换式相同 ssF1)(0)()(1 tsFLtf1f3(t)e-tt013.2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一一.线性性质线性性质)()(,)()(2211sFtfLsFtfL 若若 1AL：例例sin 3tL：例例1121 jSjSj 22 S)(21tjtjeejL SA)1(2teAL ：例例)

5、11(ssA二二.时域导数性质时域导数性质sin1022 tss 22 ss)(sin1cos1tdtdLtL ：例例)(2tL：例例)(tdtdL 1)(10 tSS)()(sFtfL 设设：三三.时域的积分性质时域的积分性质tL例例21)(sstL )(0 tdL )()(sFtfL 设设：四四.时域平移时域平移(延迟定理延迟定理)f(t)(t)ttf(t-t0)(t-t0)t0f(t)(t-t0)tt0)()(sFtfL 设设：例例1：1Ttf(t)()()(Ttttf sTesssF 11)(TTf(t)()()(Tttttf )()()()()(TtTTtTttttf sTsTesT

6、esssF 2211)(例例2：例例3：周期函数的拉氏变换：周期函数的拉氏变换.tf(t)1T/2 T设设f1(t)为第一个周期的函数为第一个周期的函数)()(11sFtfL)(11)(1sFetfLsT 则：则：)2()2()()()()()(111TtTtfTtTtfttftf 证：证：)()()()(1211sFesFesFtfLsTsT1)(321 sTsTsTeeesF)(111sFesT )1(11)(2sesesFsTsT )1(12sTes )2()()(1Ttttf sessFTs211)(波形的特殊性波形的特殊性)()2()2()()(tTtTtfttf sesFsFsT1

7、)()(2 )1(1)(2sTessF .tf(t)1T/2 T五五.复频域平移性质复频域平移性质)()(sFtfL 设设：cos3teLt ：例例22)(ss2)(1 s1tteL ：例例sin2teLt ：例例22)(s1tL：例例)1(ddss 21s)1(dd ss2)(1 s2tteL ：例例六六.复频域导数性质复频域导数性质)()(sFtfL 设设：七七.初值定理和终值定理初值定理和终值定理初值定理初值定理若若Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t=0处无冲激则处无冲激则存在时存在时)(limtft 终值定理：终值定理：f(t)，f (t)的导数可进行拉氏变换的导数可进行拉氏变

8、换例例111lim)(0 sstst 例例2tteeti225)(3)0(i2215)(sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0(ssssssiss0)0(Cu)(tudtduRC ssUssRCU1)()()1(1)(sRCssU )1(1lim)0(sRCssus 0)1(1lim sRCs1)1(1lim)(0 sRCus例例3(t)RC+u-+-用初值定理和终值定理验证用初值定理和终值定理验证13.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换一一.由象函数求原函数由象函数求原函数(1)利用公式利用公式0)(21)(tdsesFjtfstjj (2)经数学处理后查拉普拉斯变换表经数

9、学处理后查拉普拉斯变换表)()()()(21sFsFsFsFn )()()()(21tftftftfn 象函数的一般形式：象函数的一般形式：)()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二二.将将F(s)进行部分分式展开进行部分分式展开f(t)=L-1F(s)nnssksskssksF 2211)(nitsiiektf1)()()()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()()(lim21sFsssFkissii )()()(lim21

10、1sFsFsssFissi )()(21iisFsF )()(21iiisFsFk ki也可用分解定理分解定理求求 nitsiiiesFsFtf121)()()()()(lim21sFsssFkissii 21321 sKsksk5.2)(01 SssFk05.155.2)(2 teetftt)2)(1(52 sssss例例1)23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5.1)2)(23 SssFk例例252)(2 ssF用分解定理求原函数用分解定理求原函数073)3()3()2()2()(32321221 teeeFFeFFtftttt6554)(2 ssssF)()(21i

11、iisFsFk 3221 ss21122 ss02)(2)(2 teettftt)2)(1(32 sss例例323772)(22 sssssF jS2,1 jskjsksF 21)(k1,k2也是一对共轭复根也是一对共轭复根 kkkk21 设设)()()()(tjjtjjeekeektf )()(tjtjteeek)cos(2 tekt注意：S1虚部+52)(2 ssssF211js 6.26559.041212422122211 jjjsskjS6.26559.041212422122212 jjjsskjS)6.262cos(559.02)(tetft)0)6.262cos(12.1 tt

12、et例例212js 法二：用配方法法二：用配方法522 sss22222)1(12)1(1 ssstetetftt2sin212cos)()()6.262cos(118.1ttet 22 sin stL222)1(11 ss21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 221)1()1(SKSK2)1(52)(sssF3)52(12 SSK2)52(dd11 SssK032)(tteetftt例例132322221)2()2()2(sKsKsK32)2(22)(ssssF例例2

13、2)2()2(42233223 SssssK122dd21)1()1()22(dd21223322221 SSsssssssK02)(2222 tetteetfttt232222123)2()2()2)(kskskssFS 2)22()2()2(22dd2233222 sSssssssK222123)2(2)2)(ddkskssFsS 32)2(2)2(2)2(1)(ssssF)()(1110nmmmssasasaSF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情况一般多重根情况1)()(1SSnnsFssk 1)()(dd11SSnnsFsssk 1)

14、()(dd!211222SSnnsFsssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk 相量形式相量形式KCL、KVL元件元件 复阻抗、复导纳复阻抗、复导纳相量形式相量形式电路模型电路模型UuIi 13.13.4 复频域中的电路定律、电路元件与模型复频域中的电路定律、电路元件与模型类似地类似地)()()()(sItisUtu元件元件 运算阻抗、运算导纳运算阻抗、运算导纳运算形式运算形式KCL、KVL运算形式运算形式电路模型电路模型IZU)()()(sIsZsU 一一.电路元件的运算形式电路元件的运算形式R：u=Ri)()(sGUsI)()(sRIsU+u -iR+U(s)-I(

15、s)RL:dtdiLuLL)0()()0()()(LLLLLLissLIissILsUsisLsUsILLL)0()()(iL+uL -L+-sL)0(LLiUL(s)IL(s)sL+-UL(s)IL(s)siL/)0(C:susIsCsUCCC)0()(1)(dtiCuutCCC 01)0()0()()(CCCCussCUsI 1 1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)IC(s)1 1/sCuC(0(0-)/sUC(s)+uC -iC dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu12222111 )0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiL

16、sISLSUMissMIiLsISLSUM:ML1L2i1i2+u1-+u2-L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1(s)-I1(s)I2(s)sL1sL2+-sM+_+_1211uuRiu )()()()(1211sUsURsIsU 受控源：受控源：(s)+-U+1(s)-RI1(s)U2U1(s)+u1-+u2-Ri1 u1二二.电路定律的运算形式电路定律的运算形式 0 KVL 0 KCL ui 0)(sU 0(s)I0)0(0)0(LCiu ttiCtiLiRu0d1dd+u-iRLC)1)(sCsLRsI 运算阻抗运算阻抗)()()(sIsZs

17、U)()()(sUsYsI)(1)(sZsY 运算形式运算形式欧姆定律欧姆定律+U(s)-I(s)RsL1/sC)(1)()()(sIsCssLIRsIsU 三三.运算电路模型运算电路模型运算电路运算电路时域电路时域电路0)0(0)0(Lciu1.电压、电流用象函数形式电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示电容电压和电感电流初始值用附加电源表示RRLLCi1i2E(t)+-RRLsL1/sCI 1(s)E/sI 2(s)+-时域电路时域电路例例52F2010100.5H50V+-uc c+-iLt=0时打开开关时打开

18、开关uC(0-)=25V iL(0-)=5At 0 运算电路运算电路200.5s-+-1/2s25/s2.55IL(s)UC(s)13.5 拉普拉斯变换法分析电路拉普拉斯变换法分析电路步骤：步骤：1.由换路前电路计算由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2.画运算电路模型画运算电路模型3.应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。反变换求原函数。VuC100)0(已已知知：t=0时闭合时闭合k,求求iL，uL。例例1：200V300.1H10-uc c+1000FiL L+-uLAiL5)0()1(解：解：(2)画运算电路画运算电路ssL1.0 sssC10

19、00101000116 Vuc100)0(200/s 30 0.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)例例1：200V300.1H10-uc c+1000FiL L+-uL )3(回路法回路法221)200()40000700(5)(sssssI5.0200)(10)1.040)(21 ssIssIssIssI100)()100010()(1021 200/s300.1s0.510101000/s100/sIL L(s)I2(s)2222111)200(200)(sKsKsKsI(4)反变换求原函数反变换求原函数221)200()40000700(5)(sssssI21)20

20、0(1500)200(05)(ssssIAtttit)()e15005()(2001 求求UL(s)UL(S)5.0)()(1 sLsIsUL2)200(30000200150 ss0e30000e150)(200200 tVttuttL200/s 30 0.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)例例2 求冲激响应求冲激响应0)0(),(Csuti)(11)(sIsCRsCRsUSC )/1(RCsRCR 1)()(RsCRsCsCsUsICC111 RsC)0(e1/tCuRCtc)0(e1)(/tRCtiRCtc 1)(sIsRC+uc isicR1/sC+Uc(s)Is

21、(s)Ic(s)tuc(V)C10ticRC1 例例3+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V23t=0时打开开关时打开开关k,求电流求电流 i1,i2。0)0(5)0(21 iAi10/s2 20.3s1.530.1sI1(s)sssI4.055.110)(1 sss)4.05(5.110 5.1275.12 ss0e75.125.121 tit)0()0(11 ii)0()0(22 iisss)5.12(75.325 ti523.750显然：显然：5.1)(3.0)(11 ssIsUL375.05.1256.6)(1 ssULUL1(s)(1.0)(12ssIsUL 5.1

22、219.2375.0)(2 ssUL)(e19.2)(375.05.122ttutL )(e56.6)(375.05.121ttutL 10/s2 20.3s1.530.1sI1(s)uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti1523.750Aiii75.31.0375.00)0()0(222 Li Aiii75.33.0375.05)0()0(111 )(e19.2)(375.05.122ttutL )(e56.6)(375.05.121ttutL 小结：小结：1、运算法直接求得全响应、运算法直接求得全响应3、运算法分析动态电路的步骤、运算法分析动态电路的步骤2、用、用0-初始条件，跳变情况自动包含在响应中初始条件，跳变情况自动包含在响应中1).由换路前电路计算由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)。2).画运算电路图画运算电路图3).应用电路分析方法求象函数。应用电路分析方法求象函数。4).反变换求原函数。反变换求原函数。磁链守恒：磁链守恒：)0()()0()0(212211 iLLiLiL75.34.0053.0