群论复习思考题

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1、群论复习思考题2006.121.写出c4对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论: 4v(1) c4的不变子群H的不变子群K不一定是c4的不变子群。4v4v(2) C4的不变子群的交集仍是C4的不变子群。442.试由0J生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类但与C4V不同构。(提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4中只有2个)43. 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。4. (1)设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。(2)若a，b乘积可对易，且a2=b3=e，证明a，b生成的群定是循环群。5. 叙述同态核定理，并加以证

2、明。6. 若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循 环群。7. 若群G=H K,试证明(1)商群G/H与K同构；(2)群G的类数等于两因子群类数 之积。8. (1)证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。(2)证明置换群S中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。n9.(1)设 a，b，c 为群元，试证 abc，bca，cab 同阶。 (2)证明下列循环积恒等式：(ab )6 Xb y )= (a X )b y )10.证明在适当的基函数下，群G可约表示的形式是D(A)=(DG)(A)| O、.(-x 4-aI X(A)； DG)(a)I其中D(1)(

3、A)和D(2)(A)分别是m阶和n阶方阵；X(A)是 n行m列的矩阵，而O是m行n列的零矩阵。(提示：采用行矢量基矢，9 =6,0,1 ,00) ii.(1)在r3空间中，平移用t表示。定义为t r二r二r-a，求平移算符J的形式。aaa(2)绕z轴的定轴转动rG)g SO(2)，其算符表示可以由OXY平面线性变换求得。试 求rG )的表示。12. 叙述舒尔引理I和II,分别给出一种证明。利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关 系:工 D *(卩)(g)D (Y)(g ) = 33 3lkaijanUY il jkg a6 G卩13. 给定两个基函数b (r)二 x2 - y2,b (r)二

4、2xy,构成二维空间 F 二 aC - y2)+ b(2xy)i22(a,b6 R)。求 D 群在 F 上的诱导算符表示。32M若在三维空间中给定三个独立的基矢小二1，2,3),置换群叮的元素s对a的作用是A(s)a =a 。按照这一方法写出 S 所有元素的表示矩阵。这种表示是否可约？如可约i s3它包含几个哪一类不等价不可约表示？15.试用列表形式给出 C 群的不可约表示特征标表。并加简要推导和说明。5v16个具有.对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受到压缩，压缩后对称性群是C ，给出 C 和 C 的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂 2 v4v2 v情况。17.

5、对于幺正不可约表示D( u), DG), D (y)，证明直积表示D( u D (y), D (y) D(入)和D(u) D(入)中分别包含不可约表示D*(X), D*(u), D*(y)的次数相等。证明群的正则 表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维 数。/ a - b *)()18. SU(2)群的元素可表示为I (aa* +bb* = 1丿，证明a的实部相同的元素属于(b a * 丿同一类。*19.试用SO(3)与SU(2)的对应关系D(力mm卩,几Dj (cos |严吆sinI严必由 D( j)(a, b) 给出转动矩阵元D(j)的表达式。mm20.

6、 求D群的两个2维表示直积的约化C-G系数。321. 用对称化基函数法将D3群在F3= f(r )=ax2+by2+c.2xyl a,b,cR上的诱导算符群的表示T约化(提示:D3群的3维表示一定可约)。22.采用Euler角方法，写出SO(3)群元素,卩，丫)的表示矩阵。今有一定轴转动C C)e ,e ,e )=(e ,e ,e ),求转轴k的取向和转角申。k 12323 123写出反映正四面体完全对称性的T群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不 d可约表示特征标。24求C群的不可约表示及相应的表示的特征标。nv25求立方体转动对称O群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。(提示：用

7、对称化 基函数)26叙述晶体转轴制约定理，并证明之。*27.空间平移矢量a (s二1,2,3),相应方向上的格点数为N。求平移群的不可约表示T (k),ss( n )这种表示有多少个？各是几维的？28写出NH3,CH4,C2H6分子的对称点操作群。100129 写出标准杨盘0的杨算符。试验证它们是原始幕等元。30用标准杨盘(表)方法求置换群s4的b,1不可约表示中元素(12), (23),及(14)的 表示矩阵。31. 用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。(1) 川专(2) X I,32(23)(3,22,12 )32. 利用特征标表验证下列直积表示关系D 2,1D 2,1推广到一般情况。试论

8、证：两个不可约表示的直积D（卩） D（丫）仍为不可约表示的条件是什么？33. 求置换群S的不可约表示Db的自身外积DBi 0 DBi的约化。并用表示维数加以验3证。34. （1）验证杨图等式2）计算外积0，并验证维数。3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和*35.分别计算S6群所有（K-1,K）对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。并计算它 们之间的相似变换矩阵X。23二16 0 3,3（提示：X-i23X 二16 0 3,30000-100010结果：X =00100）0-100010000丿*36. GL（5,C）群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多 少？（用 Robinson 公式）。（提示：625=5+70+315+135+100）*37.由普通张量T,写出3, 1对称形张量具体形式。i1i2i3i4*38.约化GL（3,C）群的直积表示D40 Dm，并核对维数。提示：7, 2, 7, 12, 2x 6, 2, 1 2x 5, 3, 1, 4, 4, 1, 5, 2, 2而6,13, 5,14, 5,2,12, 4,2,13, 4,22,1 不属于约化表示。