前面在推导傅里叶变换时

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1、 1 前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是前面在推导傅里叶变换时，是将非周期信号看成是周期信号周期信号T 无穷大的周期信号的极限，从而导出了无穷大的周期信号的极限，从而导出了频频谱谱密度函数的概念。密度函数的概念。本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数本节将这概念推广去求周期信号的频谱密度函数,即即求周期信号的傅里叶变换求周期信号的傅里叶变换,从而得出傅里叶级数是傅里叶从而得出傅里叶级数是傅里叶变换的特例的结论。变换的特例的结论。周期信号是不满足绝对可积条件的周期信号是不满足绝对可积条件的,同样它也仅仅在同样它也仅仅在频谱中引入冲激函数后频谱中引入冲激函数后,傅里叶变换才存在。傅里

2、叶变换才存在。因为周期信号可以展成傅里叶级数因为周期信号可以展成傅里叶级数,即展成一系列不即展成一系列不同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先同频率的复指数分量或正弦、余弦分量的叠加。下面先求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换求复指数、正弦、余弦分量的傅里叶变换,在此基础上再在此基础上再求任意周期信号的傅里叶变换。求任意周期信号的傅里叶变换。2.3.4 2.3.4 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 2一、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换一、复指数、正弦、余弦信号的傅里叶变换1 1、复指数信号、复指数信号e j 1t 的傅里叶变换的傅里叶变换 1 =2 ()e j 1t =1

3、 e j 1t=2 (1)2 2、余弦信号的傅里叶变换、余弦信号的傅里叶变换 cos 1t=0.5(e j 1t+e j 1t)cos 1t =(1)+(+1)3 3、正弦信号的傅里叶变换、正弦信号的傅里叶变换 sin 1t=(e j 1t e j 1t)/2j sin 1t =j (1)+(+1)3式中式中Xn是傅里叶级数的系数。是傅里叶级数的系数。对上式两边取傅里叶变对上式两边取傅里叶变换得换得二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换 先将任意周期信号先将任意周期信号x(t)展成傅里叶级数展成傅里叶级数 ntjnneXtx1)(nnnXX)(2)(1 dtetxTXTTtj

4、nn 221111)(1 上式说明：周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数上式说明：周期信号的傅里叶变换是由一系列冲激函数组成的，这些冲激出现在离散的谐频点组成的，这些冲激出现在离散的谐频点n 1 处，它的冲处，它的冲激强度等于激强度等于x(t)的傅里叶级数的傅里叶级数Xn的的2 倍，因此它是离散倍，因此它是离散的冲激谱。的冲激谱。4 当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时，它是有限当周期信号采用傅里叶级数表示频谱时，它是有限的幅度谱，所以两者是有区别的。的幅度谱，所以两者是有区别的。这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期这是由于傅里叶变换反映的是频谱密度概念，周期信号在各谐振点上，具有有限

5、幅度，说明在这些谐振频信号在各谐振点上，具有有限幅度，说明在这些谐振频点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。点上其频谐密度趋于无限大，所以变成冲激函数。这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特这也说明了傅里叶级数可看作傅里叶变换的一种特例。例。三、周期信号与单周期信号频谱间的关系三、周期信号与单周期信号频谱间的关系 周期信号周期信号x(t)在时域上可以看作是它的单周期信号在时域上可以看作是它的单周期信号xd(t)的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为的周期延拓。已知周期信号的傅里叶级数为：ntjnneXtx1)(dtetxTXTTtjnn 221111)(1 5单周期信号的傅里叶变换

6、单周期信号的傅里叶变换dtetxXtjdd )()(dtetxTTtjd 2211)(比较上两式比较上两式dtetxTXTTtjnn 221111)(1 1)(11 ndnXTX 上式说明：周期信号的傅里叶级数的系数上式说明：周期信号的傅里叶级数的系数Xn等于单周期等于单周期信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换Xd()在各谐频点在各谐频点n 1处的值乘以处的值乘以1/T1。或者说，周期信号的频谱是单（非）周期信号频谱或者说，周期信号的频谱是单（非）周期信号频谱在在n 1处的抽样值，仅差一系数处的抽样值，仅差一系数1/T1，这就是为求周期信，这就是为求周期信号的频谱值带来方便。号的频谱值带来方便。6

7、 例例2-13 2-13 求周期冲激信号求周期冲激信号 T(t)的傅里叶级数及傅里叶的傅里叶级数及傅里叶变换。变换。解：解：周期为周期为T1的的周期冲激信号周期冲激信号 T(t)可表示为可表示为 nTnTtt)()(1 （1 1）傅里叶级数傅里叶级数(用定义用定义)ntjnnTeXt1)(dtetxTXTTtjnn 221111)(1 dtetTTTtjn 221111)(1 11T ntjneT111 周期冲激信号的各离散谐频分周期冲激信号的各离散谐频分量的大小均是相等的，且等于量的大小均是相等的，且等于1/T1 7 （2 2）由于单个冲激信号）由于单个冲激信号(t)的频谱等于的频谱等于1

8、1（白色谱），（白色谱），周期冲激周期冲激信号的傅里叶系数应是单个信号的傅里叶系数应是单个冲激冲激信号的傅里叶信号的傅里叶变换在变换在n 1处的抽样值乘以处的抽样值乘以1/T1，所以，所以 Xn=1/T1。nnnXX)(2)(1 nnT)(1211 nn)(11 8(t)t0 T(t)t0X()0Xn()0 2 1 1 1 2 1 1/T1 1X()0 2 1 1 1 2 1 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶变换傅里叶变换 9 例例2-14 2-14 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数及傅里叶变换。变换。x(t)Et0T1 解：从单矩形脉冲信号解：从单矩形脉冲信号x

9、0(t)入手，入手，x0(t)傅里叶变换傅里叶变换为为X0()2 SaEX)(0 x(t)傅里叶级数傅里叶级数 x(t)傅里叶变换傅里叶变换 ntjnenSaTEtx12)(11 nnnXX)(2)(1 nnnSaE)(2111 10 x0(t)Et0 X0()E 2/x(t)Et0T1Xn E/T12/1X()E 12/1 11 以计算机为中心的测控系统所能处理的信号是离散以计算机为中心的测控系统所能处理的信号是离散信号，而传感器所提供的信号一般都是连续信号，因此信号，而传感器所提供的信号一般都是连续信号，因此每隔一定时间间隔从已知连续信号中逐点抽取其瞬时值，每隔一定时间间隔从已知连续信号中

10、逐点抽取其瞬时值，从而获得抽样信号从而获得抽样信号。信号的抽样过程也就是信号在时间轴上的离散化过信号的抽样过程也就是信号在时间轴上的离散化过程程,由抽样器进行。抽样器实质上是一个采样开关，每由抽样器进行。抽样器实质上是一个采样开关，每隔一定时间隔一定时间T 接通一次，每次接通时间接通一次，每次接通时间 。2.4.1 时域抽样时域抽样2.4 2.4 抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换 x(t)xs(t)T x(t)t0 xs(t)t0T 2T 3T 12 从时域上看，抽样过程丢失了信号在抽样间隔的从时域上看，抽样过程丢失了信号在抽样间隔的信信息，因此要解决抽样周期息，因此要解决抽样周期T

11、的选择问题。直观看，对缓的选择问题。直观看，对缓慢变化的信号，慢变化的信号，T 可以大些，对快速变化的信号，可以大些，对快速变化的信号，T要小要小些。些。说明了说明了T 的选择与信号频率有关，的选择与信号频率有关，研究：研究：1）抽样信号的频谱与原信号频谱的关系？）抽样信号的频谱与原信号频谱的关系？2）连续信号被抽样后，是否保留原信号的全部信息？）连续信号被抽样后，是否保留原信号的全部信息？在什么条件下，可以从抽样信号中无失真的恢复出原信在什么条件下，可以从抽样信号中无失真的恢复出原信号？号？抽样抽样量化编码量化编码调制信号调制信号x(t)数字信号数字信号抽样脉冲抽样脉冲p(t)xs(t)载波

12、信号载波信号 13 令令 x(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 X()=x(t)抽样脉冲序列抽样脉冲序列p(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 P()=p(t)抽样后信号的傅里叶变换为抽样后信号的傅里叶变换为xs(t)为为 Xs()=xs(t)若采用均匀抽样若采用均匀抽样,抽样周期为抽样周期为Ts,频率为频率为sssTf 2 2 一般情况下一般情况下,抽样过程是通过抽样脉冲序列抽样过程是通过抽样脉冲序列p(t)与连与连续信号续信号x(t)相乘来完成相乘来完成,即满足即满足 xs(t)=x(t)p(t)p(t)是周期信号，其傅里叶变换是周期信号，其傅里叶变换 nsnnPP)(2)(14根据频域卷积

13、定理根据频域卷积定理dtetpTPsssTTtjnsn 22)(1)()(21)(PXXs nsnnXP)(上式说明：信号在时域被抽样后，它的频谱上式说明：信号在时域被抽样后，它的频谱Xs()是是连续信号频谱连续信号频谱X()的形状以抽样频率的形状以抽样频率 s 为间隔周期地重为间隔周期地重复而得到，在重复过程中幅度被复而得到，在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶系数的傅里叶系数Pn所加所加权。权。15（1 1）矩形脉冲抽样）矩形脉冲抽样 抽样过程可以看作是一个周期矩形脉冲被时域连续抽样过程可以看作是一个周期矩形脉冲被时域连续信号信号x(t)调幅过程调幅过程。dtetpTPsssTTtjnsn

14、22)(1 dtEeTtjnss 221 2 ssnSaTE0 Ts 2TstE p(t)nssssnXnSaTEX)(2)(16 上式说明，矩形脉冲抽样信号的频谱上式说明，矩形脉冲抽样信号的频谱Xs()是原信号是原信号频谱频谱X()在频率轴上的周期延拓，其延拓周期为采样频在频率轴上的周期延拓，其延拓周期为采样频率率 s，同时在这种周期重复过程中，其频谱幅度将按抽，同时在这种周期重复过程中，其频谱幅度将按抽样函数的规律随频率增高而衰减。样函数的规律随频率增高而衰减。17 x(t)t0X()0 mm0 Ts 2TstE p(t)P()E s2/s xs(t)t0T 2T 3TXs()E/Ts2/

15、s 18 （2 2）冲激抽样）冲激抽样 为了进一步突出抽样信号频谱的主要本质，将周期为了进一步突出抽样信号频谱的主要本质，将周期矩形脉冲抽样理想化为周期冲激抽样。矩形脉冲抽样理想化为周期冲激抽样。即即 0，抽样过程是瞬间完成的，同时抽样信号的，抽样过程是瞬间完成的，同时抽样信号的强度等于连续信号在抽样瞬时的值。强度等于连续信号在抽样瞬时的值。冲激抽样信号冲激抽样信号x (t)同样可看作是一个周期冲激信号同样可看作是一个周期冲激信号 T(t)被连续信号被连续信号x(t)调幅的过程，故可表示为：调幅的过程，故可表示为：x (t)=x(t)T(t)sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122

16、nsssnXTX)(1)(19 冲激抽样信号的频谱是原连续信号频谱在频率轴上冲激抽样信号的频谱是原连续信号频谱在频率轴上的周期延拓的周期延拓,其延拓周期为抽样频率其延拓周期为抽样频率 s，但与矩形脉冲，但与矩形脉冲抽样信号相区别的是频谱幅度将不再随频率的增加而衰抽样信号相区别的是频谱幅度将不再随频率的增加而衰减减,而是保持不变。而是保持不变。20 x(t)t0X()0 mm0 Ts 2Tst p(t)sP()0 ss s xs(t)t0T 2T 3TXs()0 m s1/Ts 212.4.2 抽样定理抽样定理Xs()0 m ssXh()0H()0 s/2s/21 22Xs()0 m ss频谱混叠频谱混叠 抽样定理：抽样定理：s 2 m 频谱混叠现象：频限信号不满足抽样定理；频谱混叠现象：频限信号不满足抽样定理；频谱无限信号（不可避免）。频谱无限信号（不可避免）。为避免频谱混叠，可以在为避免频谱混叠，可以在A/D前引入带宽为前引入带宽为 b的的模拟低通滤波器，称为预采样滤波器。模拟低通滤波器，称为预采样滤波器。s =2.5 3 b