线性规划基本题型.ppt

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1、 题型一 求线性目标函数的最值 截距型 线性规划问题的基本解法是图解法，解好线性规划问 题的关键是画好平面区域，找到目标点 例 1 若变量 x ， y 满足 2 x y 40 x 2 y 50 x 0 y 0 ， 求 z 3 x 2 y 的最大值 【分析】 解答本题可先画出可行域，采用图解法， 平行移动直线求解 【解】 由题意，满足二元一次不等式 组的解的可行域如图所示由 z 3 x 2 y ，得 y 3 2 x z 2 .要求 z 的最大值， 可求 z 2 的最大值，即求斜率为 3 2 的直 线在可行域内在 y 轴上截距的最大值 如图，显然直线过 A 点时， y 3 2 z 2 在 y 轴上

2、截距最大 联立 2 x y 40 x 2 y 5 0 ，得 x 10 y 20 ， A ( 1 0 , 2 0 ) z 3 x 2 y 的最大值为 z 3 10 2 20 7 0 . 题型二 求非线性目标函数的最值 距离型 若目标函数不是线性函数，我们可先将目标函数变形找 到它的几何意义，再利用解析几何知识求最值 例 2 已知 x y 2 0 x y 4 0 2 x y 5 0 ，求： z x 2 y 2 10 y 25 的最小值 . 【分析】 由题目可获取以下主要信息：在约束条件下， 求 z x 2 y 2 10 y 25 x 2 ( y 5) 2 的最小值 . 解答本题可先将目标函数变形找

3、到它的几何意义，再利 用解析几何知识求最值 【解】 作出可行域，如图所示，求得 A(1,3)， B(3,1)， C(7,9) ( 1 ) z x 2 ( y 5) 2 表示可行域内任一点 ( x ， y ) 到点 M ( 0 , 5 ) 的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知垂 足在 AC 上，故 MN |0 5 2| 1 1 2 3 2 3 2 2 . MN 2 ( 3 2 2 ) 2 9 2 ，故 z 的最小值为 9 2 . 【点评】 (1)对形如 z (x a)2 (y b)2型的目标函 数均可化为求可行域内的点 (x， y)与点 (a， b)间的距 离的平方的最值问题 已知实数

4、x ， y 满足 x y 6 0 ， 4 x 3 y 12 0 ， x 4. 求 y x 的最大值与最小值 . 题型三 求非线性目标函数的最值 斜率型 例 3 【解】 作出不等式组 x y 6 0 ， 4 x 3 y 12 0 ， x 4 表示的 平面区域，如图所示 ( 1 ) 令 z y x ，则 y zx .故求 y x 的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知， k OC 最小， k OA 最大 由 x y 6 0 ， x 4 ， 得 x 4 ， y 2. 故 C ( 4 , 2 ) k OC 1 2 . 由 x y 6 0 ，

5、4 x 3 y 12 0 ， 得 x 6 7 y 36 7 . 故 A ( 6 7 ， 36 7 ) k OA 6. 故 y x 的最大值为 6 ，最小值为 1 2 . 题型四 求目标函数中参数的取值范围 此类题目为线性规划的逆向思维问题解答此类 问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行 域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法 求解 例 4 已知变量 x， y满足约束条件 1 x y 4， 2 x y 2.若目标函数 z ax y(其中 a 0)仅在 点 (3,1)处取得最大值，则 a的取值范围为 _ 【 分析 】 解答本题可先作出可行域 ， 利用数形 结合求解 【 解析 】 由约束条件

6、作出可行域 (如图 ) 点 C的坐标为 (3,1)， z最大时 ， 即平移 y ax z时 使直线在 y轴上的截距最大 ， a kCD，即 a 1， a 1. 【 答案 】 a 1 【点评】 解答此类问题必须要注意边界直线斜率与 目标函数斜率的关系 (2010年北京 -7)设不等式组 表示的平面 区域为 D， 若指数函数 y=ax的图像上存在区域 D上的点 ， 则 a 的取值范围是 (A)(1， 3 (B )2， 3 (C ) (1， 2 (D ) 3， + 11 0 3 3 0 5 3 9 0 xy xy xy 解：作出可行域如右图所示绿色 区域 0a0时 ， 0ax1时 ， 当 y=ax过

7、 A(2， 9)时 ， a最 大为 3. a (1， 3. 选 A 例 5 例 6 3 4 0 22 - 0 44 A . .0 1 .1 .0 1 33 xy xy y x y a a a B a C a D a a ( 北 京 2007 6) 若 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 是 一 个 三 角 形 ， 则 的 取 值 范 围 是 （ ） 或 y x 2 3 , 2 3 1 2 1 0 D -1x y a 表 示 斜 率 为 的 动 直 线 的 左 下 方 检测： 1. 设 x ， y 满足约束条件 3 x y 6 0 ， x y 2 0 ， x 0 ， y 0 ， 若目标函数 z ax by ( a 0 ， b 0) 的最大值为 12 ，则 2 a 3 b 的最小值为 _ 解析 不等式表示的平面区域如图所示 阴影部分，当直线 ax by z ( a 0 ， b 0) 过直线 x y 2 0 与直线 3 x y 6 0 的交点 ( 4,6) 时，目标函数 z ax by ( a 0 ， b 0) 取得最大值 12 ，即 4 a 6 b 12 ，即 2 a 3 b 6 ，而 2 a 3 b ( 2 a 3 b ) 2 a 3 b 6 13 6 ( b a a b ) 13 6 2 25 6 ，故 2 a 3 b 的最小值为 25 6 . 25 6