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1、222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法
2、1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程02Cyx当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.定理定理1.1.设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数().yf x解解:令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由 定理
3、1 可知,1)0,0(yF0().yf x导的隐函数 则xyFy cos在 x=0 的某邻域内方程存在单值可0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(yxFFxxyxxydd则还有01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解:求0ddxxy
4、0 xFFyx 1xy cosyex0,0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy 3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy1,0,0yyx0 xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x=0,注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0,0(cosxyyex 利用隐函数求导若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz
5、定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxz
6、xz322)2()2(zxz2zxzx242 zFzzxFFxz xz设F(x,y)具有连续偏导数,0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程故对方程两边求微分:1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd210),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0
7、隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0
8、000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0故得
9、系数行列式同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.利用微分形式不变性利用微分形式不变性;方法方法3.代公式代公式
10、1.设,),(zyxzyxfz求.,yxzxxz ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf zx 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf,),(zyxzyxfzxy),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由d y,d z 的系数即可得)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,2.设解
11、解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此 zxFyFy0zFz fx)1(y)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得ffxfzyfx xzyFzFyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得
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