第5章 55 552 简单的三角恒等变换

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1、5.5.2 简单的三角恒等变换教材知识探究情境引入同学们知道电脑输入法中的“半角”和“全角”的区别吗？半角、全角主要是针对标点符号来说的，全角标点占两个字节，半角占一个字节，但不管是半角还是全角，汉字都要占两个字节 .事实上，汉字字符规定了全角的英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、数字键、符号键都非半角字符.半角0中全用问题1任意角中是否也有“全角”与“半角”之分，二者有何数量关系?2.半角公式是如何推导出来的？3半角公式的符号是怎样确定的？提示1#是a的半角，a是2a的半角.2.半角公式的推导是利用公式cos 2a二2cos2a -1 = 1- 2sin2a.3半角公

2、式的符号是由半角所在的象限确定的.上新知梳理1半角公式 在利用公式时，注意符号的选取a1 cos asin = acos=1 + cos aatan=1 cos a1+荒(无理形式).。口养嵌=命（有理形式）.2辅助角公式 basin x+bcos x=Ja2+b2sin(x+e).其中tan e = =,所在象限由a和b的符号确定,或者 sin 0=, cos 0=.a2+b2a2+b2教材拓展补遗微判断l.sin 15。= 土1 cos 302)提示1 - cos 302.对于sin 15 二aR ,a 1sin=sin a 都不成立.(X)提示1 +a .(X)41 + a故 cos 4

3、.*sin a - 2sin#cos2，只有当 cos 2= 1 时 sin=gsin a 才能成立.卄003.右 5n06n, cos=a，贝U cosj=5n ,茅为第三象限角，1.化简2sin 2a1 + cos 2a cos 2acos2a的结果为.微训练解析二 tan 2a.I、_ 2sin 2a cos2a 原式- 2cos2a &s 2a答案 tan 2a2.函数fx) = 5cos x+ 12sin x的最小值为,解析 f(x) = 13sin x二 13sin(x + 0)(其中 tan 屮二f(X)min八13答案 133 .已矢口 sin a =cos a =20 , c

4、os a二0，所以a的终边落在第一象限，号的终边落在第二象限/所以tan20 ,故tan二二，32.答案-.；5-2微思考1. 半角公式中的符号是如何确定的？提示(1)当给出角a的具体范围时，先求a的范围，然后根据2的范围确定符号.(2)如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.2.sin 6+sin 0 = 2sinOcos f除了课本上的证明方法，还有什么其它的证明方法吗？提示6 + 06 0右边 二 2sin-2-cos-二吨+cos(2 -另二 2(sin#cos0 + coscosfcos 2 + sin|(33 q 丄 3一 21 sinqcosqcos?十 sm2?s

5、inQcosQ + cos2|sin2cosQ + ssincos?、 33q一 sin 3cos2$ + sin2sin q + cos22sin q + sin2$sin 3=sin 3 + sin 屮= 左边.故等式成立.课堂互动 BUffHimiH题型一 利用半角公式求值注意角的范围【例1】已知cos ap，a为第四象限角，求sina2， cos ?,解：a为第四象限角，2为第二、四象限角.当2为第二象限角时，a _sin2 一，1-cOs a -邑心321 - cos a:1 + cos aP + cos a_!6 tana _-3 込一-当2为第四象限角时，a _sin2 一/1

6、- cos a 一_走2a _tanq 一2 -a _cos? 一规律方法利用半角公式求值的思路(1)观察角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时 常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围， 求出相应半角的范围.a sin a1cos a(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan2=S a二亦a，其优点2 1cos asin a是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2a二仝举，cos2a二兰计算.(4)下结论：结合(2)求值.370【训练1】 已知sin 0=5, 3

7、n0尹，则tan2的值为()A.3B.31C-3解析T3n0=- 4 , tan#二=- 3.255* 21 + cos 0答案题型二 三角函数式的化简 注意2是a的半角，a是2a的半角例 2 】 化简：(.a a1 sin acos a) I sin2+cos2 I2=2=(兀 av)2 2cos a( a a a( a、aI 2sin22 _ 2sin2_cos2 II siny + cos 2 解原式二- 二上2a2 X 2sin2a巴isa -ms2an5(I 丿a -2a(asin2(sm22a-cos22 asin2cos aasin2asin2因为 -na0 , 所以-2ao,所

8、以 sin0 , cos 20，故原式二a , aCOS2, _ |cos2l 二acos，.题型三 三角恒等式的证明 原则：由繁到简例 3 】 证明：2sin xcos x1+cos x(sin x+cos x1)(sin xcos x+1)sin x证明 左边_2sin xcos x2sin xcos x2sin| (cos|-sin2)公碣(cosf+sinf)x x x 2smcoscost;2sin xcos x2224sin22cos xx-2-宀 x1x1+2cos2 _1cos右边=J =2x x . x 2sm2cos2sm，所以左边二右边，即等式成立.规律方法 探究证明三角

9、恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式的两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低次，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤： 先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.【训练3】求证：一-tan 0tan 23=1.cos 2 3证明1cos 23-tan 3-tan 23 =1cos 23sin 3sin 23cos 3cos 23cos 3 - 2sin23cos 3 cos 3 ( 1 - 2sin23 )1 - 2si

10、n23(2)求使函数fx)取得最大值的x的集合.解 /fx) = V3sin2x - 6J + 2sin* - 122(xn兀-巨=2sinbx - 3j + 1 ,2n：fx)的最小正周期为t=2 = n.当f(x)取得最大值时，sin2x - 3j= 1，有 2x - 3 二 2kn + 2(k $ Z),即 x = kn+ 12(k G Z),所求x的集合为(5n规律方法 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质

11、提供保障.【训练 4】已知函数fx) = cos3+x)cos3x丿，g(x)=|sin 2x-4.(1)求函数fx)的最小正周期；求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.2 sin xj丄cos x +解 (1)f(x)=(1cos x -(1半sin x2 丿1 31 cos 2 x 3 ( 1 cos 2 x )二 4cos2x - 4sin2x 二8_8= 1cos 2x- 42nf x）的最小正周期为T二T二 n.(2)h(x) =f(x) - g(x)二 *cos 2x - 2sin 2xcos(2x + 4当 2x + 彳二 2kn(kZ)

12、,即x = kn- 8(keZ)时，h(x)有最大值半.此时x的集合为 xx = kn - 8，k Z一、素养落地1.在推导公式和应用公式的过程中，熟悉角的转化方法和换元法的应用，不断提 升学生的逻辑推理、数学运算素养，并通过本节的asin x+bcos x=:a2+b2sin（x +卩）的转化过程，进一步提升学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素 养.2.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解， 要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆 公式和运用公式.屮所在象限由a, b b3.asin x+bcos x= pa2+b2sin

13、(x+0)(abHO)，其中 tan 屮=一, 确定，掌握实质并能熟练应用.二、素养训练1.若4cos 2a=,且aen2,贝 U sin a =(A.W1510B.10C.|D.10解析因为ae 2，兀,所以sin a0，由半角公式可得sin1 - cos 2asm a1+cosasm a1 cos 2a解析1 - cos 2asin 2a2sin2a_ sin a2sin acos a cos a_ tan a.答案 A 2下列各式与tan a相等的是（/1cos 2a1 + cos 2a1cos 2asin 2a答案 D3.设 5n36n, cos2=a，则 sin4等于（）A.Jl+a

14、B.2:1 a1+a c丁5n 3 3n解析5ne 6n ,440,解析 2cos2x + sin 2x = cos 2x + sin 2x + 1=%17sin2x + 4j + 1，A 二 ；2 , b 二 1.化简 1 + cos 3+sin 3 +1 cos 3+sin 35.向.1 cos 3+sin 3 1 + cos 3+sin 33 0 . 332cos2 + 2sincos2 解原式二 3. 33 +2sin2 + Zsmcos3 丄c 332sin2 + 2sincos3 丄 2 . 332cos2 + 2sincos23（3 丄.3+32cos2cos2 + sin2ji

15、n + cos3+3V +3（3+ 3inq + cos寸 2cos2, cos + sin333 亠 32sm3 -cos sin cos2十 sin2+=3333sin/ cos sincos课后作业叽固提高基础达标一、选择题B.2书D.61.函数y=3sin 4x+3cos 4x的最大值是()A.：3C.3解析 y 二 3sin 4x +、j3cos 4x2P2sin 4x + |cos 4x= 2/3sin4x + 6j ,ymax = 厂-3.羽，故选B.答案 B 2.已知 sin 2a=3，贝U cos2(a4) = (A.31C-32D-3H1 + cos 2a - 2 二21

16、+ 11 + sin 2a 3 _ 2答案 DC3.在ABC 中，若 sin Asin Bcos?/，则ABC 是()B.等腰三角形D.直角三角形A. 等边三角形C.不等边三角形解析 sin Asin B = 2(1 + cos C),即 2sin Asin B = 1 + cos C ,2sin Asin B 二 1 - cos Acos B + sin Asin B ,古攵得 cos(A - B) _ 1 ,又因为 A - BW( - n , n),A A -B_0 ,即A_B ,则AABC是等腰三角形.答案 B4.函数 fx)=2(1 + cos 2x)sin2x(xW R )是()A.

17、最小正周期为n的奇函数nB. 最小正周期为2的奇函数C. 最小正周期为n的偶函数nD. 最小正周期为2的偶函数解析由题意，得f(x) _ 4(1 + cos 2x)(1 - cos 2x) _ 4(1 - cos22x)二 4sin22x _ 8(1 -cos 4x).又f( - x) _f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为号的偶函数，选D.答案 D45.若cos a=_, a是第二象限角，贝Ual+tan2垃于()1lB.2lA.2C.2D.24解析a是第三象限角,cos a =- 5，sm a =3 , A tansin a21+cos a 14=-3,1-51 - 3_1+312.a

18、1 + tan/a1 - tan;答案 A二、填空题6.化简寸1 + sin 2的结果是解析1 + sin 2 =sin21 + cos21 + 2sin 1cos 1(sin 1 + cos 1 ) 2= Isin 1 + cos 11 ,因为隹（，2）,所以 sin 10， cos 10，1 + sin 2 = sin 1 + cos 1.答案 sin 1 + cos 11B + C7.在ABC 中，若 cos A=3，则 sin2+cos 2A =解析BCsin22+ cos 2A =1 - cos ( B + C )2+ 2cos2A- 11 + cos A+ 2cos2A - 1 =

19、19.答案8.函数f(x) = sin2x+ sin xcos x+1的最小正周期为解析f(x)= sin2x+ sin xcos x+ 1 =1 - cos 2x2丄113十 sin 2x + 1 = (sin 2x - cos 2x) + sin(2x - 4+3T = n.答案兀三、解答题acos B b、9.在ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知cos A=，求a_bcos Btan?，Btan2：2a+babacos B - b 证明因为cos A =a - bcos B(a + b)(1- cos B ) 所以 1 - cos A =a - bcos B(a

20、- b) ( 1 + cos B )1 + cos A =，a - bcos B1 - cos A ( a + b ) ( 1 - cos B) 所以=1 +cos A ( a - b ) ( 1 + cos B )1 - cos A 2sin22A而 =A = tan2-,1+cos A 2cos-AB1 - cos B 2sin22B=二 tan2,1+cos B 2cos2B2所以tan2 =a+ bBtan277a- b2A tan22 即4 = tan2a+ ba- b410.已知a为钝角，B为锐角，且sin a=,sin求 cos与tan乎值.4 12解 因为a为钝角，0为锐角，s

21、in a = 5，sin 0 = 13，所以 cos a=3.55，cos 0 = 13-所以 cos(a- 0)=cos acos 0+ sin asin 054 12X + 5X3365-因为 2an，且 Ov02，所以 Ova - 0n，即 02所以a- pcos2-2oo由s=0-2an1-COS2孚= 4665 所以 tan筈卩2652cos2=4=7-法二 由 Ova - pn , cos(a - P) = 65，得sin(a - 0) = - J1 - cos2 ( a - p)=所以 tany =sin( a- p)1 cos( a- p)5665 =4 =7.1+65能力提升

22、11.已知函数 f(x) = sin2xcos2x2:./3sin xcos x(x W R).(1)求f节)的值； (2)求fx)的最小正周期及单调递增区间.解(1)f(x)= sin2x- cos2x-23sinxcosx=- cos2x-萌sin 2x=- 2sin2x+ ”，则傅=乜山伴+訴2.(2)f(x)的最小正周期为n.由正弦函数的性质， 得2 + 2knW2x + 夢 + 2kn, kWZ ,解得6 + *兀兀辛 + kn , kWZ ,所以f(x)的单调递增区间是乎 + kn ,+ kn (kG Z)._63_12.如图所示，某市政府决定在以政府大楼 O 为中心，正北方向和正

23、东方向的马 路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边 环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面 要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R, ZMOP=45, OB与OM之间的夹角为 0.(1) 将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成0的函数.(2) 若R=45 m,求当0为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ (取抱=1.414)解 由题意，可知点M为PQ的中点，所以OMLAD.设 OM 与 BC 的交点为 F,则 BC 二 2Rsin 0 , OF = Rcos 0 ,所以 AB=OF-1ad =Rcos 0Rsin 0.

24、所以 S = ABBC = 2Rsin 0(Rcos 0 - Rsin 0) = R2(2sin 0cos 0 - 2sin20)二 R2(sin 2 0 - 1+ cos 20)二护R2sin20 + 4 - R?，0G ，4)因为0岂o,4所以20 +沪(n 3n)4, Z)所以当20 + 4 = n，即0環时，s有最大值.Smax 二(边-1)R2 二(护-1) x 452 二 0.414 X 2 025 二 838.35(m2).故当0二8时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.a2 sin2x xxx xx | 八Zsmcos十 1 2sm22 1 )(2sm2cos2 1 十 2sm22 十 1)cos 3cos 23cos 3cos 23cos 23=cos 23= 1cos 23题型四 利用辅助角公式研究函数性质【例 4】已知函数fx)=3sin(2x-6j + 2sin2(x問(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；