第四章微分中值定理和导数的应用

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1、第四章微分中值定理和导数的应用4.1微分中值定理本节主要介绍微分学的几个中值定理，它们将可导函数在两点的函数值与这两点之间某 一点的导数值联系在一起，揭示了函数的整体性质与局部性质之间的关系，从几何上讲，微 分中值定理给出的是整体量(割线斜率)与局部量(切线斜率)之间的关系费马引理：设函数y=f(x)在 的一个邻域上有定义，并在 可导，如果(或)，贝0.4.1.1罗尔定理罗尔(Rolle)定理：若函数f (x)满足条件：(1) 在闭区间a，b上连续；(2) 在开区间(a，b)内可导；(3) f (a) =f (b)，则在(a,b)内至少有一点，使得导数为等于零的点称为函数的驻点.罗尔定理的几何

2、意义是：如果AB是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直与x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么在曲线弧AB上至少存在一点C ()，在该点处曲线的切线平行于x轴，如图4-1所示.注意罗尔定理的三个条件是结论的充分条件，即如果缺少某一条件，结论就可能不成立，但是即使三个条件都不满足，结论中的 仍可能存在，例如：(1) 函数在区间-2, 2上除不存在外，满足罗尔定理的其他条件，但在(-2,2)内找不到一点使得(2) 函数在区间0，1上除了 x=0处不连续外，满足罗尔定理的其他条件，但在(0,1 )内，因此在(0,1)内找不到一点使得.(3)函数在区间0,1上除外，满足罗尔定理的其他条件，但在（

3、0,1）内因此在（0,1）内找不到一点使得例1.验证函数在区间-1,上满足罗尔定理的条件，并求定理中的值.答疑编号 506426040101解：由于是（）内的初等函数，所以在区间-1,上连续，在区间（-1，）内可导，且又因为，所以f（X）在-1,上满足罗尔定理的条件.令，解得 ，即，使例2.下列函数中，在区间-1,1上满足罗尔定理条件的是（）.（A）（B）（C）（D）答疑编号 506426040102答案：B解析：在x=0处无定义，与中，例3.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？如果满足，求出定理中的 值(1)（2）答疑编号 506426040103解：（1）显然y=ln （sinx）

4、在上连续，在上有定义，且所以满足罗尔定理，令（2）在x=0处无定义，所以不满足罗尔定理.例4.判断函数的导数方程有几个不同实根.答疑编号 506426040104解：由于为多项式函数，故在区间与上连续，在区间（）与（）内可导，且根据罗尔定理，在（）内至少存在一点，使得，即为的一个实根；在（）内至少存在一点为的一个实根.又为一元二次方程，至多有两个实根，故方程有例5.不求导数，判断函数 所在的区间.答疑编号 506426040105的导数有几个零点，并指出它们为多项式函数解：由于续，在区间根据罗尔定理：在内至少存在一点故 在区间内可导，且内至少存在一点使得在上连使得在内至少存在一点，使得又为一元

5、三次方程，至多有三个零点，故方程有三个不同实根，分别位于区间内，4.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a,b）内至少有一点，使得显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f（a）=f（b）时的特殊情形，拉格朗日中值定 理是罗尔定理的推广.如图.割线AB的斜率为，点C处切线的斜率为，拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在弧AB上至少有一点C（），该点处的切线平行于割线AB.推论1：如果函数f（X）在区间（a,b）内任意一点

6、的导数都等于零，那么函数f（x）在（a, b）内是一个常数.推论1：如果函数f（x）在（&，b）内每一点的导数 与都相等，则这两个函数在区间（a，b）内至多相差一个常数，即，这里C是一个确定的常数.例6.验证函数在区间-1,0上满足拉格朗日中值定理的条件，并求定理中的值.答疑编号 506426040106解：显然在-1,0上连续，在内有定义，即 在 内可导，故 在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，根据拉格朗日中值定理，得，所以例7.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足，求出定理 中的值.（1）（2）答疑编号 506426040107解：（1）显然在0,2上连续，在（0,

7、2）上有定义，所以满足拉格朗日中值定理，即所以（2）在x=1处无定义，所以不满足拉格朗日中值定理.I例8.证明：答疑编号 506426040108证：当x= 1时，等式显然成立.当时，设，由于所以又因为，故例9.利用拉格朗日中值定理，证明下列不等式：（1）；（2）；（3）答疑编号 506426040109在(a,b)内有定义，解：(1) y=arctanx 在a, b上连续，(2) y=sinx 在x,y上连续，y =cosx 在(x, y)内有定义， II sinxsiny I = I cosg (x-y)|W| xy I，g e(x, y).(3) y=ln (1+x)在0,x上连续，在(

8、0,x)有定义，则又因为 11+g 0 时，xln （1+x）.答疑编号 506426040304证：令 f (x) =x-ln (1+x)，则当x0时，所以f (x)在(0, +8)内单调增加，故f (x) f(0).又因为f (0) =0,所以f (x) =x-ln (1+x) 0,即 xln (1+x)例5.当x1时，答疑编号 506426040305解：令则，当x1时，f (x) 0,所以f (x)在(1,+8)内单调增加，故 f (x) f (1) =0，所以4.4函数的极值及其求法定义4.1设函数f (x)在点x0的某个邻域内有定义，对于邻域内异于x0的任意一点x 均有f (x)f

9、(x0)，则称f(x0)是函数f (x)的极大值(或极小值)，称x0是函数f (x)的极大值点(或极小值点)。函数的极大值和极小值统称极值；函数的极大值点和极小值点统称为极值点。显然，函数的极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点x0附近局部范围的所有点 的函数值相比较而言。极大值可能小于极小值，如图4-3, x1，x3是函数y=f (x)的极大值 点，x2，x4是极小值点，而f (x1) ,m，w求连续函数f (x)在闭区间a,b上的最值的步骤如下:(1)求出f危)在(a, b)内和 不存在的点，记为x15 x2, xn.(2) 计算函数值 f (a) , f (x1) , f (x2)，f

10、 (x，f (b).最小(3) 函数值f (a) ,f (x1) , f (x2)，f (x, f (b)中的最大者为最大值，者为最小值.12n例1. (1)若f (x0)是连续函数f (x)在a,b上的最小值，则().(A) f (x0) 一定是f (x)的极小值(B)(C) f (x0)一定是区间端点的函数值(D) xo或是极值点，或是区间端点答疑编号 506426040501答案：D(2)函数y= I x1 | +2的最小值点x=().(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3答疑编号 506426040502答案：B例2.求答疑编号 506426040503解：由又不存在的点为x=0.列

11、表如下：x10f (x)50所以 ymax=f (1) =5, ymin=f (0) =0.例 3. (1) y=ln (1+x2) , xe 1,2;(2) y=xex xe 0,4；(3)答疑编号 506426040504，令解：(1)f (- 1) =ln2, f (0) =0, f (2) =ln5, 所以 ymin=f(0)=0， ymax=f(2)=ln5.f (0) =0, f (4) =4e4,所以 ymin=f (0) =0, ymax =f (4) =4e4.(3) 令当 0x0,当 x1 时，y 0所以y在(0,1)上单调增加，在(1,8)上单调减小，因为所以当函数f (

12、x)在a,b上连续，且在(a,b)内存在唯一极值点时，则此极值点即为函 数f (x)在a,b上的最值点.在处理实际问题中的最小值和最大值时，应建立目标函数(即欲求其最值的那个函数)， 并确定其定义区间，将原问题转化为函数的最值问题特别地，如果所考虑的实际问题存在 最小值或最大值，并且所建立的目标函数f (x)有唯一的驻点x0,则f (x0)即为所求的最 小值或最大值.例4.设有一块边长为a的正方形薄铁皮，从其四角截去同样的小正方形，做成一个无 盖的方盒，问截去的小正方形边长为多少时，做成的盒子的容积最大？答疑编号 506426040505解：设截去的小正方形边长为x,则所做成方盒的容积为由所以

13、当x=时，容积V取得最大值.例5.从半径为R的圆形铁片上截下圆心角为。的扇形，做成一个圆锥形的漏斗，问。取多大时，漏斗的容积最大？答疑编号 506426040506解：设所做漏斗的底面半径为r，高为h，则漏斗的容积V为由，令，得唯一驻点h=由I因此，当时，漏斗的容积最大.例6.要造一圆柱形油罐，体积为V，问底面半径r和高h取何值时能使表面积最小？此 时底面半径与高的比为多少？答疑编号 506426040507解：由表面积例7.设某企业每周生产某产品x件的总成本为(单元：百元)，需求函数x=81-3P，其中P是产品的单价，问每周生产多少件该产品时，该企业获利 最大？最大利润为多少？答疑编号 50

14、6426040508解：设产量为x件的总收益函数为R (x)，总利润函数为L (x)，则由，得唯一驻点x=27因为，所以当x=27时，L (x)取得最大值.最大利润为L (27) =228 (百元)例8.设某产品的需求函数为p=10-3Q，其中p为价格，Q为需求量，且平均成本.问当产品的需求量为多少时，可使利润最大？并求此最大利润.答疑编号 506426040509解：设产量为Q件的总收益函数为R (Q)，总利润函数为L (Q),则R (Q) =PQ= (103Q) Q=10Q3Q2LQ) =R (Q) C (Q) =10Q4Q2L (Q) =10 8Q，令 L (Q) =0，贝0，L (Q)

15、 =80，所以当时，利润最大，最大利润为例9.某工厂生产某产品，日总成本为c元，其中固定成本为50元，每天多生产一个单 位产品，成本增加10元，该产品的需求函数为Q=502p，求当Q为多少时，工厂日总利润 最大？答疑编号 506426040510解：设产量为Q件的总收益函数为R (Q),总利润函数为L (Q),则C (Q) =50+10Q,L (Q) =Q+15，令 L (Q) =0,则 Q=15,L (Q) =10,所以当Q=15时，总利润最大.例10.某厂生产某种商品，其年产量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而 每件的年库存费为0.05元，如果均匀销售，且上批销售完后，立即生

16、产下一批(此时商品 库存数为批量的一半)，试问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？答疑编号 506426040511解：设分X批生产，每批生产万件，每万件库存费为500元，总费用为令 C (x) =0，则 x=5,所以分5批生产总费用最小.4.6函数的凹凸性和拐点如图4-4,弧ACB向上弯曲，弧ADB却向下弯曲，曲线的弯曲状况就是曲线的凹凸性.在一些曲线弧上，如果任取两点，则连接这两点间的弦总位于这两点间的弧段上方(如 图4-5 (a)；而有的曲线弧，则正好相反(如图4-5 (b).曲线的这种性质就是曲线的 凹凸性.图4-4图4-5定义4.2设函数f (x)在区间(a,b)内连续，若

17、对任意(a,b)，恒有，则称f (x)在区间(a, b)内是凹的;若对任意 (a,b),恒有，则称f (x)在区间(a,b)内是凸的.如果f (x)在区间(a,b)内具有一阶导数，则有下面的性质：性质4.1设f (x)在区间(a,b)内具有一阶导数，若曲线y=f (x)位于其每一点处 切线的上方，则函数f (x)在区间(a,b)内是凹的；若曲线y=f (x)位于其每一点处切线 的下方，则函数f (x)在区间(a,b)内是凸的.如果函数f (x)在区间(a,b)具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲 线的凹凸性.定理4.9设函数f (x)在区间(a,b)内具有二阶导数.(1) 若当x(

18、a,b)时，则曲线y=f (x)在(a,b)内是凹的.(2) 若当x(a,b)时，则曲线y=f (乂)在(a,b)内是凹的.定义4.3设M为曲线y=f (x)上一点，若曲线在点M的两侧有不同的凹凸性，则点M 称为曲线y=f (x)的拐点.定理4.10 (拐点的必要条件)若函数f (x)在x0的某个邻域U (x0)内具有二阶导数，且为曲线y=f (x)的拐点，则仅仅是拐点的必要条件，对于函数y=x4，由于，因此曲线y=x4在(-8, +8)内是凹的，这时虽然有，但(o,o)并不是该曲线的拐点.下面给出判别拐点的两个充分条件：定理4.11设函数f (x)在xo的某个邻域内具有二阶导数，且.若 在x

19、o的左、右两侧异号，则是曲线y=f (x)的拐点；若在xo的左、右两侧同号，贝0不是曲线y=f (x)的拐点.对于不存在的点xo,也可能是曲线y=f (x)的拐点.注意极值点、驻点是指x轴上的点，而拐点是指曲线上的点.拐点存在的第二充分条件(三阶导数非零法)设函数 在点 的某邻域内三阶可导，而，则点是曲线的拐点.判别曲线的凹凸性与拐点的一般步骤如下：(1)确定函数的定义域.间.(2)求，并找出和不存在的点，这些点将定义域分为若干个小区（3）列表，由在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点凹凸性、拐点与单调性、极值点的对比：单调性凹凸性极值点拐点极值点的第一充分条件拐点的第一充分条件变号变号极值

20、点的第一充分条件拐点的第一充分条件例1.求曲线的凹凸区间与拐点.答疑编号 506426040601解：曲线对应函数的定义域为（-8, +8），且令列表如下:x(-8,0)0(0,1)1(1,+8)+0-0+yU拐点n拐点U注：表中符号“U”表示凹，“C”表示凸，下同所以，曲线在（-8，0）和（1，+8）内是凹的，在（0,1）内是凸的；曲线的拐点为（0,1）和（1,0）例2.求曲线的凹凸区间与拐点.答疑编号 506426040602解：曲线对应函数的定义域为（-8，+8），且令列表如下:x(-8,)(,0)0(0，+8)-0+不存在+yn拐点U非拐点U所以，曲线在（，0）和（0, +8）内是凹的

21、，在（-8,）内是凸的；曲线的拐点为（，1-）.例3.问a,b为何值时，点（1,3）为曲线的拐点.答疑编号 506426040603解：由题意可得：，此时（1,3）为曲线拐点，所以例4.确定a, b, c，使曲线有一个拐点（1，-1），且在x=0处有极大值1.答疑编号 506426040604解：由题意可得：，此时（1, - 1）为曲线拐点，（0,1）为曲线极大值点.所以 a= - 3, b=0, c=1.4.7曲线的渐近线定义4.4当曲线y=f (x)上的一个动点P沿着曲线趋于无穷远时，如果动点P与某定 直线l的距离趋于零，那么直线l称为曲线y=f (x)的渐近线.一般地，曲线的渐近线分为水

22、平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三1.我们只讨论前面 两种.4.7.1水平渐近线设有曲线y=f (x)，如果，则称直线y=a是曲线y=f (x)在x+8时的水平渐近线；如果，则称直线y=b是曲线y=f (x)在x-8时的水平渐近线;如果，则直线y=a是曲线y=f (x)在x8时的水平渐近线.例1.求曲线的水平渐近线.答疑编号 506426040701解：因为，所以直线y=1为曲线的水平渐近线.例2.求曲线y=arctanx的水平渐近线.答疑编号 506426040702解：因为，所以直线 是曲线y=arctanx在x+8时的水平渐近线.又因为，所以直线是曲线y=arctanx在x-8时的水平渐近

23、线.例3.求曲线y=xe-c的水平渐近线.答疑编号 506426040703解：因为所以直线y=0为曲线y=xe-x在x-+8时的水平渐近线.因为，所以曲线y=xe-x在X-8时不存在水平渐近线.4.7.2铅直渐近线设有曲线y=f (x)，如果存在常数C,使得或或，那么直线x=c称为曲线y=f (x)的铅直渐近线.铅直渐近线又叫垂直渐近线.例4.求曲线y=lnx的铅直渐近线.答疑编号 506426040704解：因为，所以直线x=0为曲线y=lnx的铅直渐近线.例5.求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.答疑编号 506426040705解：因为所以直线y=4为曲线的水平渐近线，直线x=2为曲线的铅

24、直渐近线.例6.曲线在(-8，+8)内有().(A) 1条铅直渐近线，1条水平渐近线(B) 1条铅直渐近线，2条水平渐近线(C) 2条铅直渐近线，1条水平渐近线(D) 2条铅直渐近线，2条水平渐近线答疑编号 506426040706解析:所以x=1, x=2, y=1, y= - 1都是曲线的渐近线.答案：D.4.8导数在经济分析中的应用4.8.1导数的经济意义若函数y=f(X)可导，则称f (X)为f(X)的边际函数，f (X0)称为f(X)在 x0处的边际函数值，在经济学中，边际概念是反映一种经济变量y相对于另一种经济变量X 的变化率 或 1. 边际成本设C(q)表示生产某种产品q个单位的

25、总成本.平均成本表示生产q个单位产品时，平均每单位产品的成本.C (q)表示产量为q时的边际成本.根据微分定义，当很小时，有C (q+ q) -C (q) C (q)q.在经济上对大量产品而言，q=1认为很小，不防令q=1，得C (q+1) -C (q) C (q).因此边际成本C (q)表示产量从q个单位时再生产1个单位产品所需的成本，即表 示生产第q+1个单位产品的成本.2. 边际收益设R(q)表示销售某种商品q个单位的总收益.平均收益表示销售q个单位商品时，平均每单位商品的收益.R (q)表示销量为q时的边际收益.根据微分定义，得R （q+1） -R （q）R （q）.因此边际收益R （

26、q）表示销量从q个单位时再销售1个单位商品所得的收益，即表 示销售第q+1个单位商品的收益.3. 边际利润设L（q）=R（q）-C（q）表示生产或销售q个单位某种商品的总利润.平均利润表示生产或销售q个单位商品时，平均单位商品的利润.L （q）表示产量或销量为q时的边际利润.根据微分定义，得L（q+1）-L（q）L （q）.因此边际利润L （q）表示产量或销量从q个单位时再生产或销售1个单位商品所得 的利润，即表示生产或销售第q+1个单位商品的利润.例1.设生产某商品的固定成本为20000元，每生产1个单位产品，成本增加100元，总收益函数为R（q）=400q- q2.设产销平衡，试求边际成本

27、、边际收益及边际利润.答疑编号 506426040801解：总成本函数C（q）=20000+100q，边际成本C （q）=100；总收益函数R（q）=400q- q2,边际收益R （q）=400-q；总利润函数 L（q）=R（q）-C（q）= q2+300q-20000,边际利润 L （q） =R （q） -C （q） =-q+300.例2.设生产某商品x个单位的总成本函数为.试求:（1）生产900个单位产品时的总成本和平均单位成本；（2）生产900个单位到1000个单位产品时的成本平均变化率；（3）生产900个单位和1000个单位产品时的边际成本.答疑编号 506426040802解：（1）

28、C（900）=1100+=1775,（x）=(900)=(2)(3)C(x)=,C(900)=,C(1000)=.例3.设某产品生产x个单位的总收入R为x的函数，R (x) =200x-0.01x2.求生产50个 单位产品时的总收入及平均单位收入和边际收入答疑编号 506426040803解：R (50) =200 X 50-0. 01X502=99 7 5,(x) =200-0.01x,(50) =199.5,R (x) =200-0.02x, R(50) =199.例4.设某产品的需求函数为p=(其中Q 0, a,b,c为常数)，p表示某商品的价格，Q表示商品的需求量.试求：(1) 总收益

29、函数：(2) 边际收益函数.答疑编号 506426040804解：(1) R (Q) =pQ=(2) R (Q)=4.8.2弹性1. 函数弹性的定义定义4.5设函数f(x)在点x0处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比 / 称为函数f (x)在点x0与+两点间的弹性.当时， /的极限值称为函数f（X）在点xo处的弹性，记作,即.弹性又叫相对变化率.当函数f（X）在区间（a, b）内可导时，也叫做f（x）在区间（a，b）上的弹性函数.上式表示当x从X0改变1%时，f（X）从f（X。）近似地改变 %.实际问题中解释 弹性意义时，略去“近似”.例5.求函数y=2e-3X的弹性函数及 答疑编

30、号 506426040805解： =y =,=-3=-6.例6.求幕函数y=Xa（a为常数）的弹性函数. 答疑编号 506426040806解： =y，=a.由此可见，幕函数的弹性函数为常数，所以也称幕函数为不变弹性 函数.2. 需求弹性定义4.6已知某商品的需求函数Q=f（p）在点p0处可导，p表示价格，Q表示需求量./称为该商品在p0与p0+两点间的需求弹性，称为该商品在p0处的需求弹性，记作一般而言，需求量Q是价格P的减函数，因此（po）一般为负值.由，可知当价格P从po上涨（或下跌）1%时，需求量Q从Q （p。）减少（或增加） %.若 1，表示需求变动幅度大于价格变动幅度，此时称高弹性

31、；例7.设某商品的需求函数Q=,分别求p=3, p=5和p=6时的需求弹性.答疑编号 506426040807解：因为=一 ，所以，对该例题中需求函数来说：当P=3时，价格p从3上涨（或下跌）1%，需求量Q相应减少（或增加）%；当P=5时，价格p从5上涨（或下跌）1%，需求量Q相应减少（或 增加）1%；当P=6时，价格p从6上涨（或下跌）1%，需求量Q相应减少（或增加）%.例8.设某商品的需求量y是价格x的函数，y=1000-100x.求当价格x为8时的需求弹 性，并解释其经济意义.答疑编号 506426040808解：（8）=-4,表示价格x从8上升1%，需求量y减少4%.3. 用需求弹性分

32、析总收益的变化总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即R（p）=pQ（P），所以R （p）=Q（p）+pQ （p）=Q（p）1+=Q（p）（1+）.（1） 若 0，即R（p）单调增加.价格上涨，总收益增 加；价格下跌，总收益减少.（2） 若 1，即高弹性，则R （p）0，即R（p）单调减少.价格上涨，总收益减 少；价格下跌，总收益增加.（3） 若 =1，即单位弹性，则R （P）=0，此时价格的改变对总收益的影响不大 例9.设某商品的需求函数为Q=100-2p，讨论其弹性的变化.答疑编号 506426040809解：由Q=100-2p，令Q=0，得p=50，即50是需求函数Q=100-2p的最高

33、价格.因为=，所以=.当p=25时，=1，此时为单位弹性；当25p1，此时为高弹性；当0p25时，1,此时为低弹性.4. 供给弹性定义4.7已知某商品的供给函数Q=g（P）在点P0处可导，p表示价格，Q表示供应量./称为该商品在P0与P+两点间的供给弹性，称为该商品在P0处的供给弹性，记作.一般而言，供给量Q是价格P的增函数，因此 （p0）一般为正值.例10.设某商品的供给函数Q=3,求供给弹性函数及p=1时的供给弹性.解：一，.例11.已知某厂生产一种产品q件的总成本函数为C（q）=1200+2q（万元），需求函数为P=其中P为产品的价格.设需求量等于产量.（1）求需求对价格的弹性.（2）产

34、量q为多少时总利润最大？并求最大总利润.答疑编号 506426040811解：（1）需求对价格的弹性为(2)总利润 L (q) =R (q) -C (q) =pq-C (q)L (q)=.令 L (q) =0,得 q=625 (件)，L (625) =50 (万元).因为L” (625) 0,所以当产量为625件时总利润最大，最大总利 润为50万元.例12.设商品的需求函数为Q (p) =75-p2.(1) 求当p=4时的边际需求，并说明其经济意义；(2) 求当p=4时的需求函数，并说明其经济意义；(3) 当p=4及p=6时，若价格p上涨1%，总收益将分别变化百分之几？是增加还是减 少？(4) 当p为何值时，总收益最大？答疑编号 506426040812解：(1) Q (p) =-2p，Q (4) =-8，表示价格p从4上升(或下降) 1个单位，需求量Q相应减少(或增加)8个单位.(2)表示价格p从4上升(或下降)1%，需求量Q相应减少(或增加) 0.54%.(3) R (p) =pQ=p (75-p2)=75p-p3，故当p=4时，p上涨1%，总收益将增加0.46%，当p=6时，p上涨1%，总收益减少0.85%.(4) 令 R (p) =75-3p2=0,得 p=5,或 p=5 (舍)，R” (p) =-6p,R” (5) =-300.所以p=5时，总收益最大.