理论力学教学课件.ppt

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1、理论力学 绪 论 一、理论力学的研究对象和内容 理论力学 是研究物体机械运动一般规律的科学 机械运动 平衡 指物体相对于地面保持静止或匀速直 线运动的状态，平衡是机械运动的一种特 殊形式。 是指物体在空间的位置随时间的 改变 理论力学研究内容 : 静力学 研究物体的平衡规律，同时也研究力的一 般性质及其合成法则。 运动学 研究物体运动的几何性质，而不考虑物体 运动的原因。 动力学 研究物体的运动变化与其所受的力之间的 关系。 二、学习理论力学的目的 1、解决工程实际问题 2、为后续课打基础 静 力 学 引 言 静力学 是研究物体在力系作用下的平衡条 件的科学 1、 物体的受力分析： 分析物体（

2、包括物体系）受哪些 力，每个力的作用位置和方向，并画出物体的受力 图 2、 力系的等效替换（或简化）： 用一个简单力系等效代替 一个复杂力系 3、 建立各种力系的平衡条件： 研究作用在物体上的 各种 力系的平衡条件，并应用这些条件解决静力学实际问 题 静力学解决的三个问题 力 ： 物体间相互的机械作用，作用效果使物体的机械运动 状态发生改变 力的三要素：大小、方向、作用点 .力是矢量 力系 ： 作用在物体上的 一群力 .可分为：平面汇交（共 点）力系，平面平行力系，平面力偶系，平面任意力系； 空间汇交（共点）力系，空间平行力系，空间力偶系， 空间任意力系 平衡力系 ： 满足平衡条件的力系称为平

3、衡力系。 静力学几个基本概念： 刚体： 在力的作用下，其内部任意两点间的距离始终保 持不变的物体 . 第一章 静力学公理和物体的受力分析 1-1 静力学公理 公理 1 力的平行四边形法则 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合 力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这 两个力为边构成的平行四边形的对角线确定，如图所示。 公理 2 二力平衡条件 使刚体平衡的充分必要条件 21 FF 最简单力系的平衡条件 亦可用力三角形求得合力矢 合力 (大小与方向 ) (矢量的和 ) 21 FFF R 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且作用在

4、同一直线上。 公理 3 加减平衡力系原理 推理 1 力的可传性 作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素为大小、方向 和作用线 在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改 变原力系对刚体的作用。 作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到 刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。 推理 2 三力平衡汇交定理 平衡时 必与 共线则三力必汇交 O 点，且共面 3F 12F 作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作 用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力 的作用线通过汇交点。 公理 4 作用和反作用定律 作用力和反作用力总是同时存在，同时消失，等值、反 向、共线，作用在相互作用

5、的两个物体上 若用 F表示作用力，又用 F表示反作用力，则 F= -F 在画物体受力图时要注意此公理的应用 公理 5 刚化原理 柔性体（受拉力平衡） 刚化为刚体（仍平衡） 反之不一定成立，因对刚体平衡的充分必要条件，对 变形体是必要的但非充分的 刚体（受压平衡） 柔性体（受压不能平衡） 变形体 在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚 化为刚体，其平衡状态保持不变。 约束 ： 对非自由体的位移起限制作用的物体 . 约束力 ： 约束对非自由体的作用力 约 束 力 大小 待定 方向 与该约束所能阻碍的位移方向相反 作用点 接触处 1-2 约束和约束力 自由体 :位移不受限制的物体 . 非自由体 :

6、位移受到限制的物体 . 主动力 ：约束力以外的力 . 工程常见的约束 1、具有光滑接触面（线、点）的约束（光滑接触约束） 光滑支承接触对非自由体的约束力，作用在接触处； 方向沿接触处的公法线并指向受力物体，故称为法向 约束力，用 表示 NF 2 、由柔软的绳索、胶带或链条等构成的约束 柔索只能受拉力，又称张力 .用 表示 TF 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体 胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力 3 、光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座 等） （ 1） 径向轴承（向心轴承） 约束特点： 轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约 束 约束力 ： 当不计摩擦时，轴与孔在接触

7、为光滑接触约 束 法向约束力 约束力作用在接触处，沿径向指向轴心 当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均 有改变 可用二个通过轴心的正交分力 表示 yx FF , （ 2） 光滑圆柱铰链 约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销钉组成，如剪 刀 光滑圆柱铰链约束 A B F A B 约束力 ： 光滑圆柱铰链：亦为孔与轴的配合问题，与轴承一样，可用 两个正交分力表示 其中有作用反作用关系 cycycxcx FFFF , 一般不必分析销钉受力，当要分析时，必须把销钉单独 取出 （ 3） 固定铰链支座 约束特点 ： 由上面构件 1或 2 之一与地面或机架固定而成 约束力：与圆柱铰链相同 以

8、上三种约束（经向轴承、光滑圆柱铰链、固定铰链支 座）其约束特性相同，均为轴与孔的配合问题，都可称 作光滑圆柱铰链 Fy Fx 固定铰链支座 F 返回首页 4、其它类型约束 （ 1）滚动支座 约束特点 ： 在上述固定铰支座与光滑固定平面之间装有光滑辊轴而 成 约束力： 构件受到 光滑面的约束力 F F 滚动支座 返回首页 (2) 球铰链 约束特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意 转动，但构件与球心不能有任何移动 约束力：当忽略摩擦时，球与球座亦是光滑约束问题 约束力通过接触点 ,并指向球心 ,是一个不能预先确定的空间 力 .可用三个正交分力表示 （ 3）止推轴承 约束特点： 止推轴承

9、比径向轴承多一个轴向的 位移限制 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束反力，亦有三个正 交分力 AzAyAx FFF , （ 2）柔索约束 张力 TF 球铰链 空间三正交分力 止推轴承 空间三正交分力 （ 4）滚动支座 光滑面 NF （ 3）光滑铰链 AxAy FF （ 1）光滑面约束 法向约束力 NF 1-3 物体的受力分析和受力图 在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力） 画受力图步骤： 3、按约束性质画出所有约束（被动）力 1、取所要研究物体为研究对象（隔离体）画出其简图 2、画出所有主动力 例 1-1 解 ： 1.画出简图 2.画出主动力 3.画出约束力 碾子重为 ，拉力为 ，

10、、 处光滑 接触，画出碾子的受力图 F A BP 例 1-2 解 ： 1.取屋架 2.画出主动力 3.画出约束力 画出简图 屋架受均布风力 （ N/m）， 屋架重为 ，画出屋架的受 力图 q P 例 1-3 解 ： 取 杆，其为二力构件，简称 二力杆，其受力图如图 (b) CD 水平均质梁 重为 ，电动机 重为 ，不计杆 的自重， 画出杆 和梁 的受力 图图 (a) 2P ABCD CD AB 1P 二力构件 （二力杆） :只在两 个力作用下平衡的构件称为二 力构件。 取 梁，其受力图如图 (c) AB 若这样画，梁 的受力 图又如何改动 ? AB 杆的受力图能否画 为图（ d）所示？ CD

11、例 1-4 不计三铰拱桥的自重与摩擦， 画出左、右拱 的受力图 与系统整体受力图 CBAB, 解 ： 右拱 为二力构件，其受力 图如图（ b）所示 CB 系统整体受力图如图 （ d）所示 取左拱 ,其受力图如图 （ c）所示 AC 考虑到左拱 三个力作用下 平衡，也可按三力平衡汇交定 理画出左拱 的受力图，如 图（ e）所示 AC AC 此时整体受力图如图（ f） 所示 讨论：若左、右两拱都考 虑自重，如何画出各受力 图？ 如图 （ g） （ h） （ i） 例 1-5 不计自重的梯子放在光滑水 平地面上，画出梯子、梯子 左右两部分与整个系统受力 图图 (a) 解 ： 绳子受力图如图（ b）所

12、示 梯子左边部分受力图 如图（ c）所示 梯子右边部分受力图 如图（ d）所示 整体受力图如图（ e）所示 提问：左右两部分梯子在 A处，绳子对左右两部分梯子均有 力作用，为什么在整体受力图没有画出？ 作业： 1-1 (a),(b),(d),(e),(f) 1-2（ a),(c),(e),(h),(i) 第二章 平面汇交力系与平面力偶系 一 .多个汇交力的合成 力多边形规则 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 211 FFFR 3 1 312 i iRRR FFFF i n i inRnR FFFFF 1 1 . . . . . . . . . 3 1 312 i iRRR FFFF 21

13、1 FFFR 力多边形 平衡条件 0iF 二 .平面汇交力系平衡的几何条件 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭 . 已知： AC=CB， P=10kN,各杆自重不计； 求： CD杆及铰链 A的受力 . 解： CD为二力杆，取 AB杆，画受力图 . 用几何法，画封闭力三角形 . 按比例量得 kN4.22,kN3.28 AC FF 例 2-1 或 一 .力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 FF x c o s FF y co s 二 .平面汇交力系合成的解析法 因为 iR FF yx FFF 由合矢量投影定理，得合力投影定理 ixR

14、x FF iyRy FF 则，合力的大小为： 22 RyRxR FFF 方向为： c o s , ixR R FFi F 作用点为力的汇交点 . c os , iyR R FFj F 三 .平面汇交力系的平衡方程 平衡条件 0RF 平衡方程 0 xF 0yF 求：此力系的合力 . 解：用解析法 N3.12945c o s45c o s60c o s30c o s 4321 FFFFFF ixRx N3.11245s i n45s i n60s i n30s i n 4321 FFFFFF iyRy N3.1 7 122 RyRxR FFF 7548.0co s R Rx F F 6556.0c

15、 o s R Ry F F 01.49,99.40 例 2-2 已知：图示平面共点力系； 已知： 求：系统平衡时，杆 AB、 BC受力 . 例 2-3 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P=20kN； 解： AB、 BC杆为二力杆， 取滑轮 B（或点 B），画受力图 . 用解析法，建图示坐标系 0 ixF 030co s60co s 21 FFF BA PFF 21 060c o s30c o s 21 FFF BC 0iyF 解得： kN32.27BCF 解得： kN321.7BAF 例 2-4 求：平衡时，压块 C对工件与地面的压力， AB杆受力 . 已知： F=3kN, l=15

16、00mm, h=200mm.忽略自重； 解： AB、 BC杆为二力杆 . 取销钉 B. 用解析法 0 ixF 0c o sc o s FF BCBA 得 BCBA FF 2-3 平面力对点之矩的概念和计算 一、平面力对点之矩（力矩） 力矩作用面， O称为 矩心 ， O 到力的作用线的垂直距离 h称 为 力臂 1.大小：力 F与力臂的乘积 2.方向：转动方向 两个要素： hFFM 0 FrFM 0 力对点之矩 是 一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂 的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为 负 .常用单位 Nm或 kNm 二、汇交力系的合力矩定理 niR FFFFF 21

17、nR FrFrFrFr 21 即 iORO FMFM nR FFFF 21 平面汇交力系 iR FMFM 00 三、力矩与合力矩的解析表达式 xyxOyOO FyFxFyFxFMFMFM c o ss i n ixiiyiRO FyFxFM iORO FMFM Fx Fy 例 2-5 求 : .FM O 解 : mN93.78 co s rFhFFM O 按合力矩定理 mNrF FMFMFM rOtOO 93.78c o s ,20 mm60r已知 : F=1400N, 直接按定义 例 2-6 求： 解： qlxq qlxqlxP l 21d 0 由合力矩定理 xq l xxxqhP ll d

18、d 0 2 0 得 lh 3 2 已知： q,l； 合力及合力作用线位置 . 取微元如图 2-4 平面力偶理论 一 .力偶和力偶矩 1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为 力偶 ，记作 FF , 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向 力偶矩 A B CdFdFM 2212 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 2.力偶矩 二 . 力偶与力偶矩的性质 1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零 . 2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变 . dFM FdxFxdF FMFMFFM OOO 11 111 , FddF

19、 xFxdFFFM O 22 ,2 力矩的符号 FM O 力偶矩的符号 M 3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不变 . = = = ABDABC ABDdFFFM RRiR 21 ， A B CFdFFM i 2, = = = = 4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡 . = 已知： ;, 21 nMMM 任选一段距离 d 11 Fd M dFM 11 22 Fd M dFM nn nn FdM dFM 22 三 .平面力偶系的合成和平衡条件 = nR FFFF 21 nR FFFF 21 = = = dFM R

20、 dFdFdF n 21 nMMM 21 i n i i MMM 1 平面力偶系平衡的充要条件 M = 0， 有如下平衡方程 0 iM 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零 . 例 2-7 ;200,20,10 321 mmmNmN lMMM 求： 光滑螺柱 AB所受水平力 . 已知： 0M 0321 MMMlF A 解得 N2 0 0321 l MMMFF BA 解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为 例 2-8 ： 求：平衡时的 及铰链 O， B处的约束力 . 2M 解 （ 1）取轮 ,由力偶只能 由力偶平衡的性质 ,画受力 图 . 0 M 0s in1 r

21、FM A 解得 kN8 AO FF ;30,5.0,21 rOAM mmkN已知 （ 2）取杆 BC，画受力图 . 0 M 0s in 2 MrF A 解得 mkN 82M kN8 AB FF 作业： 书 2-5， 2-12， 2-13 第三章 平面任意力系 平面任意力系实例 1、力的平移定理 FdFMM BB )( 3-1 平面任意力系向作用面内一点简化 可以把作用在刚体上点 A的力 F平行移 到任一点 B，但必须同时附加一个力偶， 这个附加力偶的矩等于原来的力 F对新 作用点 B的矩 . 2、平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 )( 10111 FMMFF )( 20222 FMM

22、FF )(0 nnnn FMMFF iiR FFF )( iOiO FMMM 主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关 iR FF 主矢 )( iOO FMM 主矩 xixixRx FFFF yiyiyRy FFFF 如何求出主矢、主矩 ? 主矢大小 22 )()( iyixR FFF 方向 c o s( , ) ixR R FFi F c o s( , ) iy R R F Fj F 作用点 作用于简化中心上 主矩 )( iOO FMM )23()()( ixiiyiioO FyFxFMM )13( ),c os (),c os ( )()( 22 R y R R x R yxR F F

23、 jF F F iF FFF 平面固定端约束 = = = 3、 平面任意力系的简化结果分析 = R O F Md dFM Ro RRR FFF 其中 )33()()( iOORo FMMFM合力矩定理 若为 O1点，如何 ? 0RF 0OM 主矢 主矩 最后结果 说明 0OM 合力 合力 合力作用线过简化中心 0RF 合力作用线距简化中心 R O FM 0OM 0OM 合力偶 平衡 与简化中心的位置无关 与简化中心的位置无关 例 3-1 已知： 1 4 5 0 ,P kN 2 2 0 0 ,P kN 1 3 0 0 ,F kN 2 7 0 ;F kN 求： 合力作用线方程 力系的合力 合力与

24、OA杆的交点到点 O的距离 x， RF 解： （ 1）向 O点简化， 求主矢和主矩 0a r c ta n 1 6 .7ABA CB AC 12 c o s 2 3 2 . 9R x i xF F F F kN 12 s i n 6 7 0 . 1R y i yF F P P F kN 22 7 0 9 . 4R i x i yF F F kN 方向余弦 c o s , 0 . 3 2 8 3ixR R FFi F c os , 0. 94 46iyR R FFj F 主矩 1 1 23 1 . 5 3 . 9 2 3 5 5ooM M F F P P k N m 大小 RF （ 2）、求合力

25、及其作用线位置 . 2355 3 . 3 1 9 7 7 0 9 . 4 o R Md F m 00 3. 51 4c os 90 70 .8 4 dx m （ 3）、求合力作用线方程 o o R R y R x R y R xM M F x F y F x F y F 即 2 3 5 5 6 7 0 . 1 2 3 2 . 9xy 有： 6 0 7 . 1 2 3 2 . 9 2 3 5 5 0 xy 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零 即 00 oR MF 3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 )()()( 22 iOOyxR FMMFFF因为 平面任意

26、力系的平衡方程 )43( 0 0 0 o y x M F F 平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零 . 1、平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡方程的三种形式 一般式 0 0 0 A y x M F F 二矩式 0 0 0 B A x M M F 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直 BA, 三矩式 0 0 0 C B A M M M 三个取矩点，不得共线 CBA , 2、平面平行力系的平衡方程 0 xF 0000 0 xF 0c o sc o sc o s 321 FFF 0yF 0s i ns i

27、ns i n 321 FFF 平面平行力系的方程为两个，有两种形式 0 0 A y M F 各力不得与投影轴垂直 0 0 B A M M 两点连线不得与各力平行 BA, 例 3-2（例 2 1） 已知： AC=CB=l, F=10kN; 求： 铰链 A和 DC杆受力 . （用平面任意力系方法求解） 解： 取 AB梁，画受力图 . 0 xF 0yF 0c o s 4 5 0A x cFF 0s i n 4 5 0A y cF F F 0AM 0c o s 4 5 2 0cF l F l 解得 kN10,kN20,kN28.28 AyAxC FFF F F y x 例 3-3 已知： 1 1 0

28、,P kN 2 4 0 ,P kN 尺寸如图； 求： 轴承 A、 B处的约束力 . 解： 取起重机，画受力图 . 0 xF 0yF 0AM 0A x BFF 12 0AyF P P 125 1 . 5 3 . 5 0BF P P 解得 50AyF kN 31BF kN 31AxF kN P1 P2 P1 P2 例 3-4 已知： , , , ;P q a M p a 求： 支座 A、 B处的约束力 . 解：取 AB梁，画受力图 . 0 xF 0AM 0yF 0AxF 解得 0AmF 4 2 2 0BF a M P a q a a 解得 31 42BF P q a 20A y BF q a P

29、F 解得 3 42Ay PF qa y x 例 3-5 已知： 2 0 ,M k N m1 0 0 ,P kN 4 0 0 ,F kN2 0 ,q kN m 1;l m 求： 固定端 A处约束力 . 解： 取 T型刚架，画受力图 . 其中 1 1 3 3 0 2F q l kN 0 xF 0AM 0yF 01 s i n 6 0 0AxF F F 解得 3 1 6 . 4 AxF kN 解得 解得 060c o s FPF Ay 0360s i n60c o s1 lFlFlFMM A kN300AyF mkN1 1 8 8 AM 解： 取 AB 梁，画受力图 . 解得 1 7 .3 3 TF

30、 kN 例 3-14 已知： 1 4,P kN 2 1 0 ,P kN 尺寸如图； 求： BC杆受力及铰链 A受力 . 0ixF 0c o s 3 0 0A x TFF 0iyF 012 s i n 3 0 0A y TF P P F 0AM 0 21s i n 3 0 6 4 3 0TF P P (1) 5 .3 3AyF kN FAx=15kN x y 又可否列下面的方程？ 能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？ 21 12 0 c o s 3 0 0 0 sin 3 0 6 4 3 0 0 6 3 2 0 i x A x T AT B A y F F F M F P P M F P P

31、 （ 2） 21 12 12 0 si n 30 6 4 3 0 0 6 3 2 0 0 3 4 0 AT B A y C A x M F P P M F P P M F A C P P （ 3） 可否列下面的方程： 作业 书 3-2， 3-4， 3-6（ b) 3-3 物体系的平衡 静定和超静定问题 1.静定和超静定问题 在静力平衡问题中，若未知量的数目等于独立平衡方程的 数目，则全部未知量都能由静力平衡方程求出，这类问题 称为 静定问题。 如果未知量的数目多于独立平衡方程的数目，则由静力平 衡方程就不能求出全部未知量，这类问题称为 超静定问题 。 2. 物体系统的平衡 由多个处于平衡的物体

32、组成的系统 ， 称为 物体系统的平衡 例 3-7 已知： OA=R， AB= l, ,F 不计物体自重与摩擦 , 系统在图示位置平衡 ; 求 : 力偶矩 M 的大小，轴承 O处的约 束力，连杆 AB受力，冲头给导 轨的侧压力 . 解 : 取冲头 B,画受力图 . 0iyF 0c o s BFF 解得 22c o s Rl FlFF B 0ixF 0s in BN FF 解得 22t a n Rl FRFF N 取轮 ,画受力图 . 0ixF 0s in Aox FF 解得 22 Rl FRF ox 0iyF 0c o s Aoy FF 解得 FF oy 0oM 0c o s MRF A 解得

33、FRM 例 3-8 已知 : F=20kN, q=10kN/m, ,20 mkN M L=1m; 求 : A,B处的约束力 . 解 : 取 CD梁 ,画受力图 . 0cM 0230c o s260s i n 00 lFlqllF B 解得 FB=45.77kN 解得 kN89.32 AxF 0iyF 030c o s260s in 00 FqlFF BAy 解得 kN32.2 AyF 0AM 0430c o s360s i n22 00 lFlFlqlMM BA 解得 kN37.10AM 取整体 ,画受力图 . 0ixF 030s in60c o s 00 FFF BAx 例 3-9 已知 :

34、 P1, P2, P=2P1, r, R=2r, ;20 0 求 : 物 C 匀速上升时，作用于轮 I 上的力偶矩 M；轴承 A， B处的 约束力 . 解 : 取塔轮及重物 C,画受力图 . 0BM 0Pr RF 解得 110 Pr P RF 由 020t a n F F r 解得 10 64.320t a n PFF r 0ixF 0 rBx FF 164,3 PF Bx 解得 0iyF 02 FPPF By 解得 132 PF By 取轮 I，画受力图 . 0ixF 0iyF 解得 解得 0AM 0 rFM 解得 rPM 110 0 YAx FF 164.3 PF Ax 01 PFF Ay

35、 19 PF Ay 例 3-10 已知 : P=60kN, P2=10kN, P1=20kN, 风载 F=10kN, 尺寸如图 ; 求 : A,B处的约束力 . 解 : 取整体 ,画受力图 . 0AM 052461012 21 FPPPPF By 解得 kN5.77 ByF 0iyF 02 21 PPPFF ByAy 解得 kN5.72 AyF 取吊车梁 ,画受力图 . 0DM 0248 21 PPF E 解得 kN5.12 EF 取右边刚架 ,画受力图 . 0CM 04106 EBxBy FPFF 解得 kN5.17 BxF 0ixF 0 BxAx FFF 解得 kN5.7 AxF 对整体图

36、 例 3-11 已知 : DC=CE=CA=CB=2L, R=2r=L, ,45 0 P, 各构件自重不计 . 求 : A,E支座处约束力及 BD杆受力 . 解 : 取整体 ,画受力图 . 0EM 02522 lPlF A 解得 PF A 8 25 0ixF 045c o s 0 AEx FF 解得 PF Ex 8 5 0iyF 045s in 0 AEy FPF 解得 PF Ey 8 13 取 DCE杆 ,画受力图 . 0CM 02245c o s 0 lFlFlF ExKDB 解得 PF DB 8 23 (拉 ) 例 3-12 已知： P , a ,各杆重不计； 求： B 铰处约束反力 .

37、 解： 取整体，画受力图 0CM 20ByFa 解得 0 ByF 取 DEF杆，画受力图 0DM s i n 4 5 2 0EF a F a 得 s in 4 5 2 EFF 0ixF c o s 4 5 0E D xFF 得 c o s 4 5 2 D x EF F F BMo 20DxF a F a 得 2 DxFF 0AM 20B x D xF a F a 得 BxFF 取 ADB杆，画受力图 作业 书 3-10， 3-21 第四章 空间力系 c o syFF c o szFF 直接投影法 1、力在直角坐标轴上的投影 c o sFF x 41空间汇交力系 间接（二次）投影法 s inxy

38、FF s i n c o sxFF s i n s i nyFF c o szFF 2、 空间汇交力系的合力与平衡条件 R x i x xF F F R y i y yF F F R z i z zF F 合矢量（力）投影定理 R iFF 空间汇交力系的合力 合力的大小 2 2 2( ) ( ) ( ) R x y zF F F F （ 41） 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 称为空间汇交力系的平衡方程 . 0 xF 0yF (4-2) 0RF 该力系的合力等于零，即 由式（ 41） c o s( , ) xR R FFi F 方向余弦 c o s ( , ) y R R FFj F c

39、o s( , ) zR R FFk F 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通 过汇交点 . 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐 标轴上的投影的代数和分别为零 . s innz FF c o snxy FF s i nc o ss i n nxyx FFF c o sc o sc o s nxyy FFF 例 4-1 已知： nF 、 、 求：力 在三个坐标轴上的投影 . nF ， 例 4-2 已知： 物重 P=10kN， CE=EB=DE； 030 求：杆受力及绳拉力 解：画受力图如图，列 平衡方程 0 xF 045s in45s in 21 FF 0 yF

40、030c o s45c o s30c o s45c o s30s i n 21 FFF A 0 zF 030c o s30s i n45c o s30s i n45c o s 21 PFFF A 结果： kN54.3 21 FF kN66.8AF 例 4-3 求：三根杆所受力 . 已知： P=1000N ,各杆重不计 . 解：各杆均为二力杆，取球铰 O，画受 力图建坐标系如图。 0 xF 由 045s in45s in OCOB FF 0yF 045c o s45c o s45c o s OAOCOB FFF 0zF 045s in PF OA 解得 （压） N1 4 1 4 OAF （拉）

41、N7 0 7 OCOB FF 1、 力对点的矩以矢量表示 力矩矢 42 力对点的矩和力对轴的矩 ()OM F r F （ 43） (3)作用面：力矩作用面 . (2)方向 :转动方向 (1）大小 :力 F与力臂的乘积 三要素： 力对点 O的矩 在 三个坐标轴上的投影为 ()OMF ()o z yxM F y F z F ()o x zyM F z F x F x y zF F i F j F k r x i y j zk 又 ( ) ( ) ( )x y x z y xy F z F i z F x F j x F y F k （ 44） ( ) ( ) ( ) ( )O x y zM F r

42、 F x i y j z k F i F j F k 则 zyx FFF zyx kji （ 45） xyzo yFxFFM 2.力对轴的矩 力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零 . ( ) ( )z o x y x yM F M F F h （ 46） ( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y zM F M F M F M F 3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐 标 x, y, z F xF yF zF FF F求：力 对 x, y, z轴的矩 ( ) ( ) ( ) ( )x x x

43、x y x zM F M F M F M F zyF y F z =0-Fy.z+Fz.y = xFz = +0 zFx- = （ 4-8） xzF z F x ( ) ( ) ( ) ( )z z x z y z zM F M F M F M F = - yFxxFy + 0 yxF x F y = （ 4-9） ( ) ( )o z y xxM F y F z F M F ( ) ( )o x yyM F z F x F M F ( ) ( )o y z zzM F x F y F M F 比较（ 4-5）、（ 4-7）、（ 4-8）、（ 4-9）式可得 即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的

44、投影，等于 力对该轴的矩 . c o sxM F F l a c o syM F F l s i nzM F F l 例 4-4 已知： , alF 求： ,x y zM F M F M F 解：把力 分解如图 F c o s,s in FFFF zx 43 空间力偶 1、力偶矩以矢量表示 ,力偶矩矢 1 2 1 2F F F F 空间力偶的三要素 （ 1） 大小：力与力偶臂的乘积； （ 3） 作用面：力偶作用面。 （ 2） 方向：转动方向； 43 空间力偶 BAM r F 力偶矩矢 （ 410） BAr 2、空间力偶等效定理 作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等， 则它们彼此等

45、效。 （ 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变 力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （ 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变 . (4)只要保持力偶矩不变 ， 力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面 ， 对刚体的作用效果不变 . (5)力偶没有合力 ， 力偶平衡只能由力偶来平衡 . 力偶矩相等的力偶等效 力偶矩矢是自由矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去） 3力偶系的合成与平衡条件 1 1 1 2 2 2, , . . . . . . , n n nM r

46、 F M r F M r F = = iMM 有 M 为合力偶矩矢，等于各分力偶 矩矢的矢量和 . RiFF 如同右图 ,x i x y i y z i zM M M M M M 称为空间力偶系的平衡方程 . 0 0 0 x y zM M M 简写为 （ 411） 0M 空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零， 即 有 0 ixM 0 iyM 0 izM 合力偶矩矢的大小和方向余弦 M M ixc o s M M iyc o s M M izc o s 222 iziyix MMMM 例 4-5 ,x y z ,x y zM M M求：工件所受合力偶矩在 轴上的投影 . 已知：在工

47、件四个面上同时钻 5个孔，每个孔所受切削力偶 矩均为 80Nm. 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点 A . mN 1.19345c o s45c o s 543 MMMMM ixx mN 802MMM iyy mN 1.19345c o s45c o s 541 MMMMM izz 求 :轴承 A,B处的约束力 . 例 4-6 圆盘面 O1垂直于 z轴， 已知： F1=3N， F2=5N， 构件自重不计 . 两盘面上作用有力偶， 圆盘面 O2垂直于 x轴， AB =800mm, 两圆盘半径均为 200mm， 解：取整体，受力图如图 b所示 . 由力偶系平衡方程 0 xM 08 0 04

48、 0 02 AzFF 0 zM 08 0 04 0 01 AxFF 解得 N5.1 BxAx FF N5.2 BzAz FF 44 空间任意力系向一点的简化 主矢和 主矩 1 空间任意力系向一点的简化 其中 ， 各 ， 各 iiFF ()i o iM M F 一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系 . 称为空间力偶系的主矩 ()o i o iM M M F ( ) ( ) ( )o x y zM M F i M F j M F k 称为力系的主矢 空间力偶系的合力偶矩 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 对 ， ， ,轴的矩。 x y z ( ) , ( ) , ( )x y zM F

49、M F M F式中， 分别表示各力 空间汇交力系的合力 kFjFiFFF ziyixiiR 有效推进力 RxF 飞机向前飞行 RyF 有效升力 飞机上升 RzF 侧向力 飞机侧移 OxM 滚转力矩 飞机绕 x轴滚转 OyM 偏航力矩 飞机转弯 OzM 俯仰力矩 飞机仰头 O R M d F 最后结果为一合力 .合力作用线距简化中心为 2 空间任意力系的简化结果分析 （ 最后结果 ） O R M d F 0 , 0 ,R O R OF M F M 当 时， 1） 合力 0 , 0ROFM 当 最后结果为一个合力 . 合力作用点过简化中心 . ( ) ( )O R O R OM d F M F M

50、 F 合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢 量和 . 合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和 . （ 2）合力偶 当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。 0 , 0ROFM （ 3）力螺旋 当 时 0 , 0 , R O RF M F OM 力螺旋中心轴过简化中心 当 成角 且 既不平行也不垂直时 0 , 0 , , R O R OF M F M , ,ROFM 力螺旋中心轴距简化中心为 s inO R Md F （ 4）平衡 当 时，空间力系为平衡力系 0 , 0 ROFM 45 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为

51、零 . 1.空间任意力系的平衡方程 0 0 0 x y zF F F 0 0 0 x y zM M M （ 412） 空间平行力系的平衡方程 0 0 0z x yF M M （ 413） 空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在 三个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等 于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的 代数和也等于零 . 约束类型 简图 约束力 径向轴承 蝶形铰链 圆柱铰链 球形铰 推力轴承 空间固定端 2.空间约束类型举例 例 4-7 已知： P=8kN, ,10 1 kNP 各尺寸如图 求： A、 B、 C 处约束力 解：研究对象：小车 受力： 1, , , , ,A B DP P F

52、 F F 列平衡方程 0 zF 01 DBA FFFPP 0 FM x 022.02.1 1 DFPP 0 FM y 06.02.16.08.0 1 DB FFPP 结果： kNkNkN 423.4,777.7,8.5 ABD FFF 3.空间力系平衡问题举例 例 4-8 已知： ,2 0 0 0 NF ,2 12 FF ,60,30 各尺寸如图 求： 21,FF 及 A、 B处约束力 解：研究对象 ， 曲轴 受力： 12, , , , , ,A x A z B x B zF F F F F F F 列平衡方程 0 xF 060s i n30s i n 21 BxAx FFFF 0yF 00

53、0zF 060c o s30c o s 21 BzAz FFFFF 0 FM x 040020020060c o s20030c o s 21 BxFFFF 0 FM y 0 2 12 FF DRF 0 FM z 040020060s i n20030s i n 21 BxFFF 结果： ,6000,3000 21 NN FF , 9397 , 10004 N N Az Ax F F ,1 7 9 9,3 3 4 8 NN BzBx FF 例 4-10 已知： F、 P及各尺寸 求： 杆内力 解：研究对象，长方板 受力图如图 列平衡方程 026 PaaF 0ABMF 26 PF 0AEMF 0

54、5 F 0ACMF 04 F 0EFMF 0 2 2216 ba abFPaaF 01 F 0FGMF 02 2 bFPbFb PF 5.12 0BCMF 045c o s2 32 bFPbbF PF 223 46 重 心 1 计算重心坐标的公式 对 y轴用合力矩定理 1 1 2 2 .C n n i iP x P x P x P x P x 有 ii C Pxx P 对 x轴用合力矩定理 1 1 2 2 .C n n i iP y P y P y P y P z 有 ii C Pyy P 再对 x轴用合力矩定理 1 1 2 2 .C n n i iP z P z P z P z P z ii

55、 C Pzz P 则计算重心坐标的公式为 ii C Pzz P ii C Pxx P ii C Pyy P （ 414） 对均质物体，均质板状物体，有 ii C Axx A ii C Ayy A ii C Azz A 称为重心或形心公式 2 确定重心的悬挂法与称重法 （ 1） 悬挂法 图 a中左右两部分的重量是否一定相等？ （ 2） 称重法 1CP x F l 1C FxlP 则 有 2 C Fxl P 2221 1 C FFz r l H PH 整理后，得 若汽车左右不对称，如何 测出重心距左（或右）轮 的距离？ 例 4-12 求：其重心坐标 已知：均质等厚 Z字型薄板尺寸如图所示 . 则

56、用虚线分割如图， 为三个小矩形， 其面积与坐标分别为 解 :厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的 x,y坐标即可 . mm151 x mm451y 21 3 0 0 mmA mm52x mm302 y 22 400 mmA mm153x mm53y 23 3 0 0 mmA mm2 321 332211 AAA xAxAxA A xAx ii C mm27 321 332211 AAA yAyAyA A yAy ii C 例 4-13 求：其重心坐标 . 1 2 3 4 4( ), , 0 33 R r by y y 由 ii C Ayy A 2 2 2 1 2 3, ( ) , ,22A R

57、 A r b A r 而 0,Cx 由对称性，有 小半圆（半径为 ）面积为 , rb 2A 小圆（半径为 ）面积为 ，为负值。 r 3A 解：用负面积法， 1A 设大半圆面积为 ， 为三部分组成， 已知：等厚均质偏心块的 mmmmmm 13,17,1 0 0 brR 得 mm01.40 321 332211 AAA yAyAyAy C 作业 书 4-11， 4-19 书 4-6， 4-7 第五章 摩 擦 5-1 滑动摩擦 0 xF 0 sT FF Ts FF 静滑动摩擦力的特点 1 方向： 沿接触处的公切线， 2 大小： m a x0 FF s 3 NFfF sm a x （库仑摩擦定律） 与

58、相对滑动趋势反向； 2 大小 ： NFfF dd sd ff （对多数材料，通常情况下） 动滑动摩擦的特点 1 方向 ：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 1 摩擦角 RAF 全约束力 物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角 摩擦角和自锁现象 5-2 摩擦角 ftan s f NF Fmax N Ns F Ff 全约束力和法线间的夹角的 正切等于静滑动摩擦系数 摩擦锥（角） f0 2 自锁现象 3 测定摩擦系数的一种简易方法，斜面与螺纹自锁条件 sf f t a nt a n 斜面自锁条件 f 螺纹自锁条件 f 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同 几个新特点 2

59、 严格区分物体处于临界、非临界状态 ； 3 因 ，问题的解有时在一个范围内 ma xFF s 0 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 5-3 求： 物块是否静止，摩擦力的大小和方向 030s i n30c os,0 oo sx FPFF 030c o s30s i n,0 oo Ny FPFF 解： 取物块，设物块平衡 已知： ,N1500P ,2.0 sf ,18.0df ：N400F 例 5-1 N1 4 9 9NF 物块处于非静止状态 ,N8.269 Ndd FfF 向上 Ns FfF m a x N8.299 而 解得： N6.4 03 sF (向上 ) 推

60、力为 ， 解：使物块有上滑趋势时， 1F 已知： ., sfP 水平推力 的大小 求： 使物块静止， F 例 5-2 画物块受力图 ,0 xF 0s inc o s 11 sFPF (1) ,0yF 0c o ss in 11 NFPF (2) 11 NsS FfF (3) 解得： PffF s s s i nc o s c o ss i n 1 设物块有下滑趋势时，推力为， 2F 画物块受力图： PffF s s s i nc o s c o ss i n 2 ,0 xF 0s i nc o s 22 sFPF (1) ,0 yF 0c o ss in 22 NFPF (2) 22 Nss FfF (3) 为使物块静止 12 s i nc o s c o ss i n s i nc o s c o ss i n FP f fFP f fF s s s s 若 .,0 tgPFf s 解 : 物块有向上滑动趋势时， 用几何法求解上例 . )ta n (1 PF 物块有向下滑动趋势时， 12 )t a n ()t a n ( FPFPF 利用三角公式与 ,ta n sf 得 s i nc o