理论力学-10动力学.ppt

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1、1 例 题 1. 曲柄连杆机构如图所示 .曲柄 OA以匀角速度 转 动 ,OA = AB = r.滑块 B的运动方 程为 x=2rcos如滑块 B 的质量为 m， 摩擦及连杆 AB的质量不计 .求当 =t=0时 连杆 AB所受的力 . O A B 2 解 :取滑块 B为研究对象，进行运动分析和 受力分析。 （由于杆的质量不计 ,AB为二力杆且受平 衡力系作用 .） B N mg F x = 2rcos = t ax = - 2r2cos max = - Fcos F = 2 mr2 3 例 题 2. 滑轮系统如图所示 .已 知 m1 = 4kg , m2 = 1kg和 m3 = 2kg.滑轮和

2、绳的质量及摩擦均 不计 .求三个物体的加速度 .( g = 10m/s2 ) O C m 1 m2 m3 4 解 :建立图示坐标 . x1 + xC = c1 (x2 - xC ) + (x3 - xC ) = c2 321 32 3333 2222 1111 32 1 02 0 TTT TT xmTgm xmTgm xmTgm xxx xx C C O C m 1 m2 m3 x T1 T2 T 3 m1g m2g m3 g 5 解上述方程组得 : 2 3 2 2 2 1 /2 /6 /2 smx smx smx o T1 Tc Tc c T2 T3 Fo 6 例题 3：细绳长为 l,上端固

3、定在 O点，下端系一质量为 m的小 球 ,在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为 o,小球无初 速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。 解：取小球为研究对象，进行运动 受力分析，如图。 F V F= m a, - mgsin= mdv/dt ml dv/dt=l sin= +mg=0 令 K = g/l, 2 +k =0 2 此方程的通解为 : =Acos(kt +) t=0时 =o， V=Vo=(l )o =o = - Aksin o=Acos =0 联立求解得 ： A=o, =0 微小摆动的运动方程为 ： = ocos(kt) o l o n mg F 7 例 题 4.质量为 m的质点在力

4、F = acost i+bsint j作用 下运动 ,其中 a,b与 均为常数 ,在初瞬时质点位于原 点且初速度为零 .求在瞬时 t ,(1)质点的位置 ;(2)质点 的速度 . 解 : Fx = acost Fy = bsint mdvx /dt =(acost) tv x dttam d v x 00 c o s mvx=a sint t m av x s in mdvx=(acost)dt o y x F 8 同 理 可以积得 : tx dttadxm 00 s in t m ax c os12 tm bv y c os1 tt m by s in2 dx/dt= a m sint 9

5、例 题 5. 水平面上放一质量为 M 的三棱柱 A 其上放一 质量为 m 的物块 B , 设各接触面都是光滑的 .当三棱 柱 A具有图示的加速度 ae时 ,讨论滑块下滑的加速度及 与斜面间的相互作用力 . A ae 10 解 : 取物块 B为研究对象 . ae mg N ar m(ar+aecos) = mgsin (1) maesin = N-mgcos (2) 联立 (1)(2)式解得 : ar = gsin - aecos N= m(gcos+aesin) 讨论 : (1)当 ae=gtg时 ar = 0; N= mg/cos (2)当 aegtg时 ar 0. (3)当 ae=-gct

6、g时 ar = g/sin, N=0; am = g 此时 m即将与斜面脱离而成为自由体 . 11 例题：质量为 1kg 的重物 M ，系于长度为 l = 0.3m 的线上，线的 另一端固定于天花板上的 O点，重物在水平面内作匀速圆周运动而 使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为 600。试求 重物运动的速度和线上张力 600 l r z 12 v mg FT 600 l r b n z 解：选 重物 M 为研究对象 M上的力有重力 mg及悬线的拉力 FT ，同在悬线 OM与轴 Oz 所构成的平面内。 13 v mg FT 600 l r b n z F F r v m F dt d

7、v m b n t 0 2 60c o s 0Fmg T 0 60sin 0F T 14 v mg FT 600 l r b n z F F r v m F dt dv m b n t 0 2 60c o s 0Fmg T 0 60sin 0F T NmgF T 6.1960c o s 0 smmrFv T 1.260s i n 0 15 已知 :匀速转动 时小球掉下。 0 求 :转速 n. 例 10-4 粉碎机滚筒半径为 ，绕通过中心的水 平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n 。 0 16 解：研究铁球 c

8、 o s 2 mgFRvm N Rnv 30其中 解得时当 ,0,0 NF 0c o s5 4 9.9 R gn 球不脱离筒壁。时当 ,49.9 Rgn 已知 :匀速转动。 时小球掉下。 求 :转速 n. 0 17 例题：电梯以加速度 a上升，在电梯地板上，放 有质量为 m的重物。求重物对地板的压力。 a 解：取重物为研究对象 进行受力分析与运动分析。 N mg Fy= m ay N - mg=m a N=mg+ma=N （静反力；附加动反力） 讨论：若加速度方向向下 则 N=mg - ma=N (1)a=g时， N =0； (2)ag时，重物离底。 18 例题：汽车质量为 m,以匀速 V驶过

9、拱桥，桥顶点的曲率 半径为 R。求车对桥顶的压力。 解：取汽车为研究对象，进行 运动、受力分析如图。 mg N an n Fn=man, mg - N = mv 2 / R N=mg - mv 2 / R=N an=V 2 / R=g时 ， N =0 an=V 2 飞车。 / Rg时， 19 例 1：圆轮质量为 m,半径为 R，以角速度 沿地面作纯滚动。 求：圆轮的动量。 c o Vc 解： O点为瞬心。 质心的速度为 Vc=R 动量 P=mR ( ) 20 二、质点的动量定理 : 微分形式 : dP/dt = mdv/dt=ma=F即： dP/dt=F *、守恒定理 : 若 F= 0 则 P

10、= c (恒矢量 ) 若 Fx= 0 则 Px = c (恒量 ) 积分形式 : 上式向坐标轴投影： dPx/dt=Fx IdtFPP t t 2 1 12 21 四 .质心运动定理 (1)运动定理 : M ac = R(e) e zc e yc e xc RzM RyM RxM (2)守恒定理 : 若 R(e) = 0 则 vc = c (恒矢量 ), vco = o, rc=恒矢量 若 R(e)x = 0 则 vcx = c (恒量 ), vcxo= 0, xc = 恒量 dp/dt=d(miVi)/dt=d(MVc )/dt=midVi/dt =MdVc /dt=miai= Mac =R

11、 (e) 22 例 题 2. 图示椭圆规尺 AB的 质量为 2m1 ,曲柄 OC的质量 为 m1 ,而滑块 A和 B的质量均 为 m2.已知 OC=AC=CB=l ,曲 柄和尺的质心分别在其中点 上 ,曲柄绕 O轴转动的角速度 为常量 .求图示瞬时系统的 动量 . O B C A t 23 解 :系统由四个物体组成 . 滑块 A和 B的质心与椭圆规尺 AB 的质心 C总是重合在一起 ,而 AB作 平面运动 .瞬心为 I. O B C A t I IC = OC = l vC vD OA杆作定轴转动 D为质心 . D lv D 21 lvC BAABOC PPPPP lmP OC 121 lmm

12、mPPP BAAB )2( 221= 2(m1+m2)l P = (2.5m1 + 2m2)l 24 例 题 3. 小车重 W1= 2kN, 车上有一装沙的箱重 W2=1kN,以 3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速 行驶 .今有一重 W3= 0.5kN的物体铅垂落入沙箱中 , 如图 .求此后小车的速度 . 又设重物落人沙箱后 ,沙 箱在小车上滑动 0.2 s 后 ,始与车面相对静止 , 求车 面与箱底间相互作用的摩擦力 . 25 解 :取小车 ,沙箱和重物组成的系统为研究对象 R(e)x = 0 Px = Px0 设重物落入后小车 最后具有的速度为 v ovg WWv g WWW 213

13、21 v0 = 3.5 km/h 解得 : v = 3km/h N1 N2 W W3 26 取 小 车 为研究对象 . N1 N2 P2x - P1x = I(e)x tFvvgW o 1 F = 0.14 kN W1 F N 27 例 题 4.均质杆 AD 和 BD长为 l 质量分别为 6m和 4m , 铰接如图 .开始时维持在铅垂面内静止 .设地面光滑 , 两杆被释放后将分开倒向地面 .求 D点落地时偏移 多少 . A B D 60 (系统的质心的 x坐标守衡 .沿 y 方向运动 ) 28 A B D 60 解 :取 AD和 BD组成的系统为研究对象 . C1和 C2分别为 AD杆和 BD

14、杆 的质心 .C为系统的质心 . C1C2 = 0.5l mm lmCC 46 5.04 1 = 0.2l 取过质心 C的铅垂轴为 y 轴建立坐标如图 . C1 C2 C x y O xD0 = 0.25l - 0.2l = 0.05l xD0 29 画 系 统 受力图 . A B D 60 C1 C2 C x y O 6mg 4mg 已知 vc0 = 0则 vcx = 0 由于 R(e)x = 0则 vcx = c 系统的质心沿 y轴作直线运动 .当 D点落地 时 C点应与 O点重合 . N1 N2 30 画 系 统 完全落地时的位置图 . A B D O C1 C2 (C) mm mlCC

15、 46 4 1 = 0.4l xD = 0.5l - 0.4l = 0.1l x = xD - xD0 = 0.1l - 0.05l = 0.05l x y 31 例 题 5.图示质量为 m半径为 R的均质半圆形板 ,受力偶 M作用 ,在铅垂面内绕 O轴转动 ,转动的角速度为 ,角 加速度为 . C点为半圆板的质心 ,当 OC与水平线成任 意角 时 ,求此瞬时轴 O的约束反力 .(OC=4R/3) C O M 32 C O M aCn aC 解 :取半圆板为研究对象 . s i nc os34 2 jiRa cn c oss i n34 jiRa c s i nc os34 2Ra cx c

16、oss i n34 2Ra cy 33 C O M aCn aC 画受 力 图 . XO = maCx YO - mg = maCy s i nc os34 2mRX O c oss i n34 2mRmgY O XO YO mg 应用质心运动定理 34 例 11-1 电动机外壳固定在水平基础上 ,定子和外壳 的质量为 ,转子质量为 .定子和机壳质心 ,转子质 心 , ,角速度 为常量 .求基础的水平及铅直 约束力 . 1m 2m 1O 2O eOO 21 35 temgmmF y c o s)( 2221 temF x s in22 得 emp 2 temp x c o s2 temp y

17、s in2 解 : 12 d d y y p F m g m g t d d x x p F t 由 36 x tem s in22方向 : 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为 y tem c o s22方向 : 电机不转时 , , 称 静约束力 ; 电机转动时的约束力称 动约束力 ,上面给出的是动约束 力 . 0 xF gmmF y )( 21 37 求 :电机外壳的运动 . 例 11-6 地面水平 ,光滑 ,已知 , , ,初始静止 , 常量 . 1 m 2m e (系统的质心的 x坐标守衡 .) 38 21 21 )s i n()( 2 mm seamsamx

18、 C ax C 1 解 :设 由 , 21 CC xx s in 21 2 e mm ms 得 39 例 题 . 质量均为 m的小球 A和 B置于光滑水平面上 , 用长为 l的细绳相连 .开始时给球 B一初速度 v, 如图 所示 .求 AB连线再次处于与初始位置平行时 , AB连 线平移的距离 . v A B （系统的动量守衡。） 40 v A B 解 :取小球 A和 B组成的系统为研究对象 . 由于 R(e) = 0 则 P = c 即质心 的速度为恒矢量 . (m+m)vc = mv vc = 0.5v 即系统的质心作匀速直线运动 . 系统作平面运动 . vB = vC + vBC vBC

19、 = 0.5v vA = vC + vAC vAC = - 0.5v vAC vBC C 41 计 算 系统的角速度 . vBC = 0.5l = 0.5v = v/l T = 2/ = 2l/v 当 AB 连线再次处于与初始位置平行时 , 质心运动时间为半个周期 s = vC t = 0.5v(l/v) = 0.5 l v A B vAC vBC C 42 例 题 . 在图示系统中 ,均质杆 OA、 AB与均质轮的质 量均为 m,OA杆的长度为 l1,AB杆的长度为 l2,轮的半 径为 R,轮沿水平面作纯滚动 .在图示瞬时 ,OA杆的角 速度为 ,求整个系统的动量 . O A B 43 解

20、:系统由三个物体组成 . O A B OA杆作定轴转动 C为质心 . AB杆作瞬时平动 . 轮作平面运动 B为质心 . C vC vA vB BABOA PPPP 1 2 1 lv C 1lvv BA 121 mlP OA 1mlP AB 1mlPB 1111 2521 mlmlmlmlP 44 例：一静止且质量为 m1的平台车的左端站着一个质 量为 m2的人。现人开始依相对运动方程 xr=ut 2 在车 上向右行走，求在瞬时 t平台车的位 移。 不计平台车与路面的摩擦。 m2g x o y X2 X1 m1g m2g NA NB x o y X10 X20 m 1g A B 解：取人与车组成

21、的 质点系为研究对象 +m2X20 +m2X2 FX=0 , Vco=0 , Xco=Xc=常数 Xco= m1X10 m1+m2 m1X1 m1+m2 Xc = X1=X10 - d , X2=X20 +Xr- d d= m2Xr m2ut m 1+m2 m1+m2 = 2 d 45 例 题 . 质点系由三个质点组成 ,质点的质量分 别为 m1=3kg , m2=5kg , m3=2kg ;其位置坐标 分别为 (t ,0, -t) ,(-2t ,t ,3t) ,(3t ,-t ,t) .求 : (1)质 心的矢径 rc; (2)质点系在瞬时 t的总动量 p.时 间 t以 s计 ,长度以 m计 . 解 :三个质点的矢径分别为 r1 = t i - t k r2 = -2t i + t j + 3t k r3 = 3t i -t j +tk 46 质点系的 质 心 矢径为 253 323253 ktjtitktjtitktitr c = - 0.1t i + 0.3t j + 1.4t k vc = - 0.1 i + 0.3 j + 1.4 k M = 3+5+2 = 10 p= - i + 3 j + 14 k