理论力学-虚位移原理.ppt

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1、第六章 虚位移原理 虚位移原理 动 力 学 西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽 第六章 虚位移原理 64 虚功 理想约束 63 虚位移 自由度 61 概 述 第 六 章 虚 位 移 原 理 动 力 学 目录 理论力学 6 6 广义坐标 广义坐标形式的 虚位移原理 62 约束和约束方程 65 虚位移原理 第六章 虚位移原理 6-1 概 述 第六章 虚位移原理 虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。 6-1 概 述 第六章 虚位

2、移原理 非自由质点系的平衡 ， 可以理解为主动力通过约束的 平衡 。 约束的作用在于： 一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移 ， 这时 该物体受到约束反力的作用；而另一方面 ， 约束也容许物 体有可能沿另一些方向获得位移 。 当质点系平衡时 ， 主动力与约束反力之间 ， 以及主动 力与约束所许可位移之间 ， 都存在着一定的关系 。 这两种 关系都可以作为质点系平衡的判据 。 6-1 概 述 第六章 虚位移原理 而虚位移原理则将利用后一种情况 ， 他通过主动力在 约束所许可的位移上的表现 （ 通过功的形式 ） 来给出质点 系的平衡条件 。 刚体静力学利用了前一种情况 ， 通过主动力和约束力

3、之间的关系表出刚体的平衡条件 。 因此 ， 在虚位移原理中 ， 首先要研究加在质点系上的 各种约束 ， 以及约束所许可的位移的普遍性质 。 6-1 概 述 第六章 虚位移原理 6-2 约束和约束方程 约束与约束方程 约束的类型 第六章 虚位移原理 二、约束方程 约束对质点系运动的限制可以通过质点系中各质 点的坐标和速度以及时间的数学方程来表示。这种方 程称为 约束方程 。 对非自由质点系的位置 、 速度之间预先加入的 限制条件 ， 称为约束 。 6-2 约束和约束方程 一、约束 第六章 虚位移原理 2222 lzyx 点 M被限制在以固定点 O为球 心、 l为半径的球面上运动。 这就是加于球面

4、摆的约束方程。 如取固定参考系 Oxyz，则点 M的 坐标 x， y， z满足方程 o l y z x M 球面摆 约束实例 6-2 约束和约束方程 第六章 虚位移原理 曲柄连杆机构 222 ryx AA 222 )()( lyyxx ABAB 0By 式中 xA， yA和 xB， yB分别为 A， B两点的直角坐标 。 上述方程表明这四 个坐标并非都独立 。 可以消去其中的某三个 ， 从而只剩下一个独立坐标 ， 这一坐标完全确定了此质点系的位置 。 以后我们改称系统的位置为 位形 。 这个质点系的约束方程可表示成 y x O l A B r 约束实例 6-2 约束和约束方程 第六章 虚位移原

5、理 0),( zyxf 曲 面 图示质点 A在曲面上运动 ， 质点 A的约束方程就是曲面 的曲面方程： A（ x, y, z) x y z 6-2 约束和约束方程 x y z 约束实例 第六章 虚位移原理 其约束方程的一般形式为 .;,;,.;,( 111111 z y x z y x z y xf nnnj 0);, t z y x nnn ).,2,1( s j 按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下： 1.完整约束和非完整约束 式中 n为系统中质点的个数， s为约束方程的数目。 显含坐标对时间的导数的约束方程是微分方程 ， 如果这方程不可积 分成有限形式 ， 则相应的约束称

6、为 非完整约束 （ 或 非全定约束 ） 只要质 点系中存在一个非完整约束 ， 这个系统便称为 非完整系统 。 如果约束方程可以积分成有限形式 ， 则这样的约束称为 完整约束 。 方程中不显含坐标对时间的导数的约束为 几何约束 。 当然 ， 几何约束也 属于完整约束 。 几何约束的一般形式为： 0);,; . . . ;,( 111 tzyxzyxf nnnj ),.,2,1( sj 约束类型 6-2 约束和约束方程 三、约束的类型 第六章 虚位移原理 1. 完整约束和非完整约束 完整约束 rx A y x A ry A 约束方程： 约束类型 6-2 约束和约束方程 第六章 虚位移原理 非完整约

7、束 0)s inc o ss in( rx 约束方程： 0)c o ss ins in( ry x， y、 z 为球心坐标。 、 、 为欧拉角。 约束类型 6-2 约束和约束方程 1. 完整约束和非完整约束 第六章 虚位移原理 非完整约束 约束类型 6-2 约束和约束方程 1. 完整约束和非完整约束 第六章 虚位移原理 如果约束方程中不含时间 t， 这种约束称为 定常约束 或 稳 定约束 。 2.定常约束和非定常约束 ,.;,;, .; ;, ,( 1111 11 zyxzyxzyxf nnnj 0);, nnn z y x ),.,2,1( s j 如果约束方程中含时间 t，这种约束称为 非

8、定常约束 或 不 稳定约束 。 定常约束一般形式为 约束类型 6-2 约束和约束方程 第六章 虚位移原理 定常约束 非定常约束 20022 )( tvlyx 2022 lyx 约束类型 6-2 约束和约束方程 2.定常约束和非定常约束 第六章 虚位移原理 3双面约束和单面约束 由不等式表示的约束称为 单面约束 （或 可离约束 ）。 2222 lzyx 由等式表示出的约束称为 双面约束 （或 不可离约束 ）。 约束类型 6-2 约束和约束方程 第六章 虚位移原理 双面约束 2222 lzyx 约束类型 6-2 约束和约束方程 3双面约束和单面约束 第六章 虚位移原理 单面约束 2222 lzyx

9、 约束类型 6-2 约束和约束方程 3双面约束和单面约束 第六章 虚位移原理 6-3 虚位移 自由度 虚位移 自由度 第六章 虚位移原理 质点或质点系在 给定瞬时 不破坏约束而为约束所许可 的 任何微小位移 ，称为质点或质点系的 虚位移 。 真实位移 实际发生的位移，用 dr表示，它同时满足动力学 方程、初始条件和约束条件 。 可能位移 约束允许的位移，用 r表示，它只需满足约束 条件。 定常约束情况下的可能位移 ， 非定常情况下假想约束 “ 冻结 ” 时的可能位移 ， 用 r表示 。 虚位移也可表述为： 虚位移 6-3 虚位移 自由度 一、虚位移 第六章 虚位移原理 虚位移仅与约束条件有关

10、， 在不破坏约束情况下 ， 具有任 意性 。 而实位移是在一定时间内真正实现的位移 ， 具有确定 的方向 ， 它除了与约束条件有关外 ， 还与时间 、 主动力以及 运动的初始条件有关 。 虚位移与实位移的区别： 与实际发生的微小位移 （ 简称实位移 ） 不同 ， 虚位移是纯 粹几何概念 ， 是假想位移 ， 只是用来反映约束在给定瞬时的 性质 。 它与质点系是否实际发生运动无关 ， 不涉及运动时间 、 主动力和运动初始条件 。 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 例如，一个被约束固定曲面上的质点，它的实际位移 只是一个，而虚位移在它的约束面上则有任意多个。 dr r r r 虚位

11、移与实位移的区别： 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 在定常约束的情况下，约束 性质不随时间而变，因此，实位 移只是所有虚位移中的一个。但 对非定常约束，实位移不会和某 个虚位移相重合。 t 约束方程 O x y z t dt Mdr 实位移 虚位移 0z u t 虚位移是约束被“ 冻结 ” 后此瞬时约束允许的无限小 位移，与时间 t的变化无关 ( t 0)。 Mru r rr 可能位移 虚位移与实位移的区别： 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 设有质点 M被约束在斜面上运动，同时此斜面本身以匀速 v 作水平直线运动，这里，斜面构成了非定常约束。 v r M

12、 t dr r M t + t 虚位移与实位移的区别： 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 虚位移与实位移的区别： 虚位移与实位移 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 实位移 用 dr 表示，其投影用 dx ， dy ， dz 表示 。 虚位移 用 r 表示，其投影用 x ， y ， z 表示。 以上 r 和 x ， y ， z 表示 等时变分 。 6-3 虚位移 自由度 虚位移 第六章 虚位移原理 等时变分 等时变分运算与微分运算类似，但 t = 0。 将矢径进行等时变分就是虚位移，将几何约束方程 进行等时变分就可以得到虚位移之间的关系。 确定虚位 移间的关系

13、 6-3 虚位移 自由度 0),( tf ii r 0dd ttff j i j N j j i r r 0 j N j j if r r 第六章 虚位移原理 在应用虚位移原理过程中 ， 求出系统各虚位移间的关系是 关键 ， 常用方法有： 1. 几何法 在定常约束的情况下 ， 实位移是虚位移的一个 ， 可用求实位移的方法求虚位移间的关系 ， 特别是实位移正比于 速度 ， 所以可通过各点速度间的关系来确定对应点的虚位移关 系 。 如平动刚体上各点的虚位移相等 ， 定轴转动刚体上各点虚 位移与其到转轴的距离成正比；平面运动刚体则一般可用速度 投影定理和速度瞬心法求两点虚位移间关系等 。 6-3 虚

14、位移 自由度 确定虚位移间的关系 第六章 虚位移原理 PB PA r r B A 以图曲柄连杆机构为例 ， 由于连杆 AB可作平面运动，其速度瞬心为点 P。 虚位移 rA与 rB方向如图所示。 P y x O l A B r rA rB 所以虚位移 rA与 rB大小间关 系为 6-3 虚位移 自由度 确定虚位移间的关系 第六章 虚位移原理 2. 解析法 对于较复杂的系统，各点的虚位移 间关系比较复杂，这时可建立一固定直角坐标系，将 系统放在一般位置，写出各点的直角坐标（表示为某 些独立参变量的函数），然后进行变分运算，求及各 点虚位移的投影。这种确定虚位移间关系的方法称为 解析法 。 或选取适

15、当的固定坐标系 ， 写出约束方程并进行变分 ， 即可求 得各点的虚位移间的关系 。 6-3 虚位移 自由度 确定虚位移间的关系 第六章 虚位移原理 求变分，有 ,s in rx A c o sry A s ins in lrx B 考虑到有关系，所以有 ，所以有 s ins in lr tglrx B c o ss in 上面式子西给出了 A， B 两点虚位移的投影 xA ， yA 、 xB与虚位移 的关系。 ,cosrx A sinry A c o sc o s lrx B 例如在图中，设曲柄长 OA=r，连杆长 AB=l。 6-3 虚位移 自由度 确定虚位移间的关系 y x O l A B

16、 r 则点 A和 B的坐标为 第六章 虚位移原理 2 2 2 0 x y l 2 2 0 x x y y 等时变分 x y l A 刚性杆 例如图示单摆，约束方程为 6-3 虚位移 自由度 确定虚位移间的关系 第六章 虚位移原理 一般情况，一个由 n质点系在空间的位形用直角坐标来确定需要 3n 个坐标，即 xi， yi， zi（ i=1， 2, , n）。如果系统受到有 s个完整约束， 其约束方程为 0);,.;,( 111 t z y x z y xf nnnj ).,2,1( s j 则系统的 3n各坐标并不完全独立，只有 k=3n-s个坐标是独立的，故确 定该质点系的位形只需 3n-s个

17、坐标，我们说该质点系有 3n-s个自由度。因 此， 确定受完整约束的质点系位形的独立坐标数目称为系统的 自由度 。 自由度 6-3 虚位移 自由度 二、自由度 第六章 虚位移原理 例如曲柄连杆机构： 222 ryx AA 222 )()( lyyxx ABAB 0By 式中 xA ， yA和 xB ， yB分别为 A ， B两点的直角坐标。上述方程表明这 四个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐 标，这一坐标完全确定了此质点系的位置。因此该质点系有 1个自由度。 这个质点系的约束方程可表示成 6-3 虚位移 自由度 自由度 y x O l A B r 第六章 虚位移原理

18、2222 lzyx 点 M被限制在以固定点 O为球 心、 l为半径的球面上运动。 如取固定参考系 Oxyz,则 球面摆的 约束方程为 例如球面摆 : 质点 M的自由度 ？ 6-3 虚位移 自由度 自由度 o l y z x M 第六章 虚位移原理 6-4 虚功 理想约束 虚功 理想约束 第六章 虚位移原理 力在虚位移上所做的功称为 虚功 ， 记为 W。 因为虚位移 是假想位移，所以虚功也是假想的概念。 rF W 一般来说，主动力和约束力都可以做虚功。 6-4 虚功 理想约束 因为虚位移是微小量，所以虚功计算与元功计算类似。 例如力 F 在虚位移 r上所做的虚功为 一、虚功 第六章 虚位移原理

19、如果质点系所受的约束力在任意虚位移上所做虚功之 和恒等于零，则这样的约束称为 理想约束 。 0 1 N i n i i rF 式中 FNi 是作用在第 i个质点上的约束力。 故理想约束条件可表示成 6-4 虚功 理想约束 二、理想约束 第六章 虚位移原理 这些约束包括固定的或运动着的光滑支撑面、铰链、 始终拉紧而不可伸长的软绳、刚性连接，以及作纯滚动刚体 所在的支撑面等等。 理想约束是大量实际情况的理论模型。 理想约束 动能定理里曾列举了约束力在质点系实位移上元功之和 恒等于零的各种情况。由于在定常约束情况下，实位移可以 从虚功转化而来，彼此具有相同的几何性质，所以，那里所 讲的各种情况也属于

20、理想约束。 6-4 虚功 理想约束 第六章 虚位移原理 6-5 虚位移原理 虚位移原理 应用虚位移原理解题的步骤 第六章 虚位移原理 具有双面、定常、理想约束的静止质点系，其平衡的必 要和充分条件是：所有主动力在任何虚位移上的虚功之和等 于零。 0.)( 11 i n i i n i iW rFF 表达式为 6-5 虚位移原理 在实际应用时，常将式写成解析式，得相应的平衡条件 0)()( 11 iiziiyi n i ix n i i zFyFxFW F 上式称为 静力学普遍方程或虚功方程 。 一、虚位移原理 第六章 虚位移原理 必要性证明 : 由刚体静力学知，此时作用在系统内任一质点 Ai上

21、 的主动力 Fi和约束反力 FNi之矢量和必等于零，即满足条件 0N ii FF 对每个质点选取虚位移 ri，则对应的虚功之和等于零，即 证明 : 0)( N iii rFF ),.,2,1( n i 0)( 1 N11 N i n i ii n i ii n i ii rFrFrFF 对全体 i求和，得 由于理想约束的假设 ，所以原式成立。 0 1 N i n i i rF 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 充分性证明 ： 采用反证法 。 设在条件下质点系并不平衡 ， 则必有些 质点 （ 至少一个 ） 上作用有非零的合力 FRi=Fi+FNi， 由于运动是从静止开 始的 ， 故它的实位

22、移 dri必与 FRi同向 ， 所以 FRi将做正功 ， 即 0d)( N iii rFF 对全系统求虚功和，并考虑到理想约束条件，将得到 0d 1 i n i i rF 但是，在定常约束条件下，可取实位移 dri相重合虚位移 ri，于是有 0d 1 i n i i rF 它和原设条件式矛盾，可见，质点系中没有任可质点能在此条件下进入 运动，故充分性得证。 证 明 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 1. 确定研究对象：常选定整体为研究对象； 5. 列出虚功方程并求解。 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析： 求主动力之间的关系或平衡位置时：只画主动力， 求约束反力时：解除约束，

23、视约束反力作为主动力。 4. 给出系统一组虚位移，找出它们之间的关系； 二、应用虚位移原理解题的步骤 证 明 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-1曲柄连杆机构静止在如图所示位置上 ， 已知 角度 和 。 不计机构自身重量 ， 求平衡时主动力 FA 和 FB 的大小应满足的关系 。 O A B r FA FB 例题 6-1 6-5 虚位移原理 例题 6-1 第六章 虚位移原理 以 rA 和 rB 分别代表主动力 FA 和 FB 作用点的虚位移 ， 如图所示 。 解： c o s)( s in BA rr 可见 A， B 两点的虚位移大小之比等于 )( s in c o s B A

24、 r r 根据虚位移原理的平衡方程，有 0 BBAA rFrFW 从而解得 )( s in c o s B A A B r r F F O A B r FA FB rA rB 因 AB 是刚杆 ， 两端位移在 AB 上 的投影应相等 ， 即 B A A B r r F F 例题 6-1 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-2 连杆 AB长为 l， 杆重和滑道 、 铰链上的摩 擦均忽略不计 。 求在图示位置平衡时 ， 主动力 F1和 F2 之间的关系 。 y l A B x F1 F2 O 6-5 虚位移原理 例题 6-2 第六章 虚位移原理 系统为理想约束系统。 Ar Br 由速

25、度投影定理： c o s s i nBArr 由虚功原理： l A B x F1 F2 O 应用几何法 解 : 例题 6-2 A B r r F F 2 1 6-5 虚位移原理 021 BA rFrFW t a n 2 1 A B r r F F 第六章 虚位移原理 2 2 2BAx y l 约束方程： 变分得： 2 2 0B B A Ax x y y 由虚功原理： l A B x F1 F2 O 应用解析法 0)()( 11 iiziiyi n i ix n i i zFyFxFW F A B y x F F 2 1 , t a n B A A B x y y x t a n1 A B 2

26、y x F F 6-5 虚位移原理 021 BA xFyF 例题 6-2 第六章 虚位移原理 例题 6-3已知图所示结构 ， 各杆都以光滑铰链连接 ， 且有 AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。 在点 G作用一铅直方向的力 F， 求 支座 B的水平约束反力 FBx。 A B C D E G F 例 题 6-7 例题 6-3 6-5 虚位移原理 例题 6-3 第六章 虚位移原理 例题 6-3 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 此题可用虚位移原理来求解 。 用约束力 FBx代替水平约束 ， 并将 FBx当作主动力 。 , s in3 ly G c o s2 lx B 其变分为 因坐标 设

27、 B， G二点沿 x， y的虚位移为 xB和 yG ，根据虚位移原理，有 0 BBxG xFyF c o s3 ly G s in2 lx B (b) 解： 0 s in2 c o s3 lFlF Bx 代入式 （ a） ，得 A B C D E G F x FBx xB yG y (a) c o t23 FF Bx 消去 ，解得 6-5 虚位移原理 例题 6-3 第六章 虚位移原理 如果此题在 G， C二点之间再连上一根 弹簧 ， 弹簧刚度为 k， 且在图示瞬时弹簧已 有伸长量 0 。 此弹簧对 G， C二点的拉力 FG ， FC为系统内力 ， 如图所示 。 sin2 ls 其变分为 令 s

28、=GC ，由图有 c o s2 ls (c) A B C D E G F x FBx xB yG y s FG FC 讨论 例题 6-3 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 消去 ， 解得有弹簧时 ， B处的水平约束 反力为 0 c o s2 s in2 c o s3 0 lk lFlF Bx c o t c o t23 0kFF Bx 图示位置，弹簧有伸长量 0，则弹簧拉 力为 FC=FG=FCG=k 0 。当 G， C二点间有相 对伸长的虚位移 s时，弹簧力所作虚功为负。 根据虚位移原理， 0 sFxFyF GCBBxG 将式 （ b），（ c） 代入上式，注意 FCG=k 0 ， 得

29、 A B C D E G F x FBx xB yG y s FG FC 例题 6-3 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-4 如图所示三铰拱 ， 拱重不计 。 试求在力 F及 力偶矩 M作用下铰 B的约束力 。 例 题 6-9 A B M F C a a a a D 6-5 虚位移原理 例题 6-4 例题 6-4 第六章 虚位移原理 例题 6-4 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-4 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 解： 1. 求铰 B的水平约束力 。 解除铰 B的水平 约束 ， 换成水平辊轴再加上水平约束力 FBx， 系统具有一个自由度 。 三铰拱是一

30、个受完全约束的结构 ， 使用 虚位移原理时 ， 必须首先解除约束 ， 赋予运 动自由度 。 , aDr aB 2r 0 BBxD FFMW rr 0)2( aFFaM Bx 虚位移原理给出： 给曲杆 AC一微小转角 ，曲杆 BC的转动 中心在 C* ，可得各力作用点的虚位移分别为 FBx D A B M F C a a a a rD rB rC C* B 例题 6-4 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 2. 求铰 B的垂直约束力 。 解除铰 B的垂直约束 ， 换成垂直辊轴再加上垂 直约束力 FBy。 给杆 AC一微小转角 ， 杆 BC的转动中心在 A， 可得有关虚位 移为 ,2 aBr

31、ax D 表示 在 x轴的投影 。 虚位移原理给出 Dx Dr 0 BByD FxFMW r 0)2( aFFaM By 22 F a MF By 22 F a MF Bx B M F C A FBy D rB rC rD 例题 6-4 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 图片 讨论 例题 6-4 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-5 如图所示为连续梁 。 载荷 F1= 800 N ， F2= 600 N ， F3= 1000 N ， 尺寸 a= 2 m ， b= 3 m ， 求固定端 A的 约束力 。 a a a a a a b A B C D E F G H F1 F2

32、 F3 例 题 6-10 例题 6-5 6-5 虚位移原理 例题 6-5 第六章 虚位移原理 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 用几何法求各点的虚位移 。 由图可知： 21 ay F 3843211 BG ybay 3443221212 111 BDH ybayaay 1. 为了求出固定端 A的约束力偶 MA， 可将固定端换成铰链 ， 而把固定端的 约束力偶视作为主动力 。 0131211 HGFA yFyFyFM (a) 解： A B C D E F G H F1 F2 F3 yF1 yB1 yG1 yD1 yH1 y MA 设杆系的虚位移用广义坐标的独立 变分 表示 ，

33、 有 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 0)34382( 321 FFFM A 因广义坐标的独立变分 为任意微量 0 mN 8 6 7 134382 321 FFFM A 代入式 (a)得 故 A B C D E F G H F1 F2 F3 yF1 yB1 yG1 yD1 yH1 y MA 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 用几何法求各点的虚位移。因杆 AB 只能平动，故： 2. 为了求出固定端 A的约束力 FA， 应将 A端约束换成铅直滚轮 ， 而把固定 端的铅直约束力 FA视作为主动力 。 02

34、32221 HGFAA yFyFyFyF (b) ABF yyy 22 AABG yyb ay b ay 3 2 22 AABDH yyyb ayaay 313221212 222 设杆系的虚位移用广义坐标的独 立变分 yA表示 y A B C D E F G H F1 F2 F3 yA yF2 yB2 y G2 yD2 yH2 F A 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 0)3132( 321 AA yFFFF 代入式 （ b） 得 因 ， 故 0 Ay mN 8 6 73132 321 FFFF A A B C D E F G H F1 F2 F3 yA yF2 yB2

35、y G2 yD2 yH2 F A 例题 6-5 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-6 杠杆式压力 机简图如图所示 。 手柄 O1A 通过拉杆 BC带动连杆机构 OCD， 推动压板 D进行挤压 。 试求在图示位置平衡时 ， 垂直于手柄的主动力 F与 FN 压力间的关系 。 O O1 B A C D l FN F 例 题 6-16 例题 6-6 6-5 虚位移原理 例题 6-6 第六章 虚位移原理 6-5 虚位移原理 例题 6-6 第六章 虚位移原理 根据刚体不变形的性质 ， 刚体上任意两 点的虚位移在两点连线上的投影必定相等 。 对于杆 CD， 有 c o s)90( c o s

36、 DC rr 选取机构为研究对象，图上仅画出作用 在质点系上的主动力 F和 FN。 rA ， rB ， rC 和 rD分别表示 A， B， C和 D点的虚位移，均画 在图上。 主动力在虚位移的元功之和为零，有 F rA FN rD =0 (a) O O1 B A C D l rA rB rC rD FN F 解： 例题 6-6 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 c o s c o s CB rr 或 对于杆 BC，有 DC rr )( s in c o s (b) 或 CB rr c o s c o s (c ) O O1 B A C D l rA rB rC rD FN F 例题 6-

37、6 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 其中 n为长度 O1A与 O1B的比值 。 由 （ b） ， （ c） ， （ d） 三式可得 rA与 rD 的关系为 对于杆 AB，有 BBA rnrBO AOr 1 1 (d) D CBA rn rnrnr )( s in c os c os c os c os c os (e) 6-5 虚位移原理 O O1 B A C D l rA rB rC rD FN F 例题 6-6 第六章 虚位移原理 由此可知 。 为了用较小的推力 F产 生较大的压力 FN， 应当使 和 尽量小 。 n c o s n r r F F D AN t a nt a n

38、1 c o s c o s c o s c o s 将式 （ e） 代入 （ a） ，可得 F， FN两 力的比为 6-5 虚位移原理 O O1 B A C D l rA rB rC rD FN F 例题 6-6 第六章 虚位移原理 例题 6-7 图中两根匀质刚杆各长 2l ， 质量为 m ， 在 B 端用铰链连接 ， A 端用铰链固定 ， 而自由端 C 有水平 力 F 作用 ， 求系统在铅直面内的平衡位置 。 mg mg F 例题 6-7 6-5 虚位移原理 例题 6-7 第六章 虚位移原理 本例的系统具有两个自由度，它的位置可以 用角 1 和 2 (以顺时针为正 )来表示。各主动力的 作用

39、点有关坐标是 解： 21 21 1 s in2s in2 c osc os2 c os llx lly ly C E D 这就是约束方程。 )c o s( c o s2 )s ins in2( s in 2211 2211 11 lx ly ly C E D 当角 1 和 2 获得变分 1 和 2 时，各点的有关虚位移是 mg mg F 例题 6-7 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 根据虚位移原理的平衡方程，有 0 )s i ns i n2( s i n)c o s( c o s2 2211 112211 m g l m g llF ymgymgxFW EDC 即 0)s i nc o

40、 s2()s i n3c o s2( 222111 lmgFlmgF mg mg F 例题 6-7 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 因为 1 和 2 是彼此独立的，所以上式可以分 解成两个独立方程 0s inc o s2 0s in3c o s2 22 11 mgF mgF 从而求得平衡时的角度 1 和 2 mg F mg F 2 a r c ta n 3 2 a r c ta n 2 1 mg mg F 例题 6-7 6-5 虚位移原理 第六章 虚位移原理 6-6 广义坐标 广义坐标形式 的虚位移原理 主动力均为有势力的情形下的广义力 求广义力的方法 广义形式的虚位移原理 广义力 广

41、义虚位移 广义坐标 第六章 虚位移原理 c o srx A s inry A 222 s inc o s rlrx B 例如在图中，选为 广义坐标，则有 0By 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 1. 定 义 2. 注 意 在具体问题中，广义坐标的选取要视问题的性质和方便而定。 3. 例 子 用以确定质点系位形的一组独立参变数称为 广义坐标 。 y x O l A B r 一、广义坐标 第六章 虚位移原理 c o ss inlx c o n s inly c o slz 例如在图中 球面摆 。 o l y z x M 可以选任意合适的变量作为广义坐标。 选为 ， 为广义坐标，则有 广

42、义坐标 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 一般情况下 ， 由 n个质点 A1， A2， , An组成的系统 ， 受到 s个约束 （ 即有 s个独立的约束方程 ） 时 ， 总可以选取 k=3m-s个广义坐标 q1, q2, , qk来确定它的位形 。 于是 ， 质点系内任一点 Ai的矢径可表示成广义坐标的 函数 ， 即 );.,( 21 t q , q q kii rr 取变分，可得虚位移间的广义坐标变换式 j k j j i k k iii i qqqqqqqq 1 2 2 1 1 . rrrrr 广义坐标的等时变分称为 广义虚位移， 记为 qj 。 1. 定 义

43、 2. 虚位移间的广义坐标变换式 ). . . ,2,1( n i 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 二、广义虚位移 第六章 虚位移原理 广义虚位移 求变分，有 ,s in rx A c o sry A s ins in lrx B ,cosrx A ,sin ry A c o sc o s lrx B 例子： 设曲柄长 OA=r，连杆长 AB=l，则点 A和 B的坐标为 矢径可表示成广义坐标的函数 );. . . . ,( 21 t q q q kii rr 取变分，可得虚位移间的广义坐标变换式 j k j j i k k iii i qqqqqqqq 1 2 2 1 1 . rr

44、rrr ). . . ,2,1( n i y x O l A B r 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 对于完整系统 ， 独立的广义坐标变分数目 （ 即 广义虚位 移数 ） 等于系统的独立的虚位移的个数 ， 因而也等于系统的 自由度数目 。 广义虚位移 3. 一个结论 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 i n i i n i i rW 11 )( FF jk j j ii n i qq 11 rF 0 1 1 j k j n i j i i qq rF 令 j i n t ij qQ rF 1 )., ,2 , 1( k j 式中的

45、j k j j ii q q 1 rr将前面所得虚位移间的广义坐标变换式 1. 定义 代入 虚位移原理 0.)( 11 i n i i n i iW rFF 有 0)( 11 k j jj n i i qQW F则上式为 称为对应广义坐标 qj 的 广义力 。 j in t ij qQ rF 1 广义力 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 三、广义力 第六章 虚位移原理 2. 广义力的 量纲 广义力的 量纲由它对应的广义虚位移 qj 而定。 j i n t ij qQ rF 1 ).,2,1( k j 广义力 当 qi的量纲是长度时， Qj的量纲就是力量纲；当 qj量纲是角度时， Qj

46、的量纲就是力矩的量纲。 广义力 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 因 kjir iiii zyx 故 kjir j i j i j i j i q z q y q x q 如果用直角坐标 ， 将 Ai的坐标 xi ， yi ， zi用广义坐标表示成 ) ; ,., , ( 21 tqqqxx kii ) ; , . . . , , ( 21 tqqqyy kii ) ; , . . . , , ( 21 tqqqzz kii 广义力 3. 广义力 Qj 的解析表达式 例子： 设曲柄长 OA=r，连杆长 AB=l。 ,cosrx A ,sin ry A c o sc

47、 o s lrx B y x O l A B r 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 因而广义力 Qj的表达式可写成 解析式 kjiF iziyixi FFF n t ixj FQ 1 ( ) j i iz j i iy j i q zF q yF q x ).,2,1( k j 又 j in i ij qQ rF 1kji r j i j i j i j i q z q y q x q 广义力 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 0)( 11 k j jj n i i qQW F 对于完整系统，各个广义系统的变分 qi都是独立的，故得

48、0jQ ),.,2,1( k j 即受双面、定常、理想、完整约束的质点系，其平衡的必要和充分的条件 是，系统的所有广义力都等于零。 上式表示一组方程，是彼此独立的，其数目等于广义坐标的数目，也恰 好等于系统的自由度。 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 四、广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 应用广义力定义 n i j i iz j i iy j i ixj q zF q yF q xFQ 1 )( ).,2,1( k j 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 五、求广义力的方法 第六章 虚位移原理 特别指出 ， 求广义力时并不一定要从定义即出发 。 在解决具体问题 是

49、时 ， 从元功出发直接求广义力往往更为方便 。 注意到各广义坐标 q1 , q2 , , qk是彼此独立的 ， 因此为求某个广义力 Qt可以取一组特殊的虚位移 ， 只令 ， 而其余的 ， 从而写成 )(0 tj q j ,0tq ttt qQ W 式中 表示仅虚位移 qt非零时系统上主动力的虚功之和 。 于是 ， 求 得对应广义坐标 qt的广义力 t W t t t q WQ ),.,2,1( k t 应用虚功 求 广义力方法 0)( 11 k j jj n i i qQW F 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 主动力在坐标轴上的投影分别为 , i ix x VF

50、 , i iy y VF i iz z VF 于是广义力表达式可写成 ix V n i jQ 1 ( ) j i ij i ij i q z z V q y y V q x 在主动力均为有势力的情形下 ， 广义力 Qj有更简明的表达形式 。 ).,().,( 212111 kn q q qVz x z y xVV n t ixj FQ 1 ( ) j iiz j iiy j i qzFqyFqx 由 求 广义力方法 系统有势能函数 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 六、 主动力均为有势力的情形下的广义力 第六章 虚位移原理 亦即 ， 当主动力有势时，对应于每个广义坐标的广义力等于势能

51、函数对 该坐标的偏导数冠以负号。 故当主动力有势时，质点系的平衡条件可写成 j j q VQ ).,2,1( k j ix V n i jQ 1 ( ) j i ij i ij i q z z V q y y V q x 或简写为 0 jq V ).,2,1( k j 求 广义力方法 即 ， 在势力场中，具有理想约束的质点系平衡条件为：质点系势能对 于每个广义坐标之偏导数分别为零。 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 即， 在势力场中，具有理想约束的质点系平衡条件为：质点系势能在平 衡位置处一阶变分为零。 亦即 平衡位置上保守系统的势能取极值。 故当主动力有势时，质

52、点系主动力的虚功和为 求 广义力方法 VqqVqQW k j j j k j jj n i i 111 )( F 故质点系的平衡条件亦可写成 0V 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-8 杆 OA和 AB以铰链 连接 ， O端悬挂于圆柱铰链上 ， 如图所示 。 杆长 OA=a， AB=b, 杆重和铰链的摩擦都忽略不计 。 今在点 A和 B分别作用向下的铅 垂力 FA和 FB， 又在点 B作用一水 平力 F。 试求 图示位置时广义力 ， 及 平衡时 1， 2与 FA， FB ， F之 间的关系 。 O A B 1 2 x y FA FB F 例 题 6-13

53、 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 例题 6-8 第六章 虚位移原理 杆 OA和 AB的位置可由点 A和 B的四个坐标 xA ， yA和 xB ， yB完全确定 ， 由于 OA和 AB杆的长 度一定 ， 可列出两个约束方程 222 ayx AA 222 )()( byyxx ABAB 因此系统有两个自由度。现选择 1和 2为系统的两个 广义坐标，计算其对应的广义力 Q1和 Q2。 1. 用第一种方法计算。 解： 1111 BB BAA xFyFyFQ 222 2 BB BAA xFyFyFQ (a) O A B 1 2 x y FA FB F n t ixj FQ 1

54、( ) j iiz j iiy j i q zF q yF q x 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 代入式 （ a） ， 系统平衡时应有 1 c o s ay A 21 c o s c o s bay B 21 s in s in bax B , s in 1 1 ay A , s in 1 1 ay B 1 1 c o s ax B ,0 2 Ay 2 2 c os by B , s in 22 by B 因 故 0 c o s s in)( 111 FaaFFQ BA 0 c o ss in 222 FbbFQ B (c) (b) O A B

55、1 2 x y FA FB F 解出 , ta n 1 BA FF F BF F 2 tan (d) 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 保持 2不变 ， 只有 1时 ， 由式 （ b） 的 变分可得一组虚位移 2. 用第二种方法计算。 1 c o s ay A 21 c o s c o s bay B 21 s in s in bax B （ b） O A B 1 x y 1 FA FB F 1 1a 1a 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 保持 2不变 ， 只有 1时 ， 由式 （ b） 的 变分可得一组

56、虚位移 11 1 1 BBBAA xFyFyFWQ 111 c o s s in)( FaaFFQ BA 2. 用第二种方法计算。 将式 （ e） 代入上式，得 则对应于 1的广义力为 , s in 11 ayy BA , c o s 11 ax B (e) 1 c o s ay A 21 c o s c o s bay B 21 s in s in bax B （ b） O A B 1 x y 1 FA FB F 1 1a 1a 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 保持 1不变 ， 只有 2时 ， 由式 （ b） 的变 分可得一组虚位移 O A B

57、1 2 x y 2 FA FB F 1 c o s ay A 21 c o s c o s bay B 21 s in s in bax B （ b） 2 2a 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 ,0Ay ,s in 22 by B 22c o s bx B 22 2 2 BBBAA xFyFyFWQ 22 c o s s in FbbF B 代入对应于 2的广义力表达式，得 保持 1不变 ， 只有 2时 ， 由式 （ b） 的变 分可得一组虚位移 两种方法所得的广义力是相同的 ， 显然 应得到与式 (d) 相同的结果 。 O A B 1 2 x y

58、 2 b 2 2 FA FB F 1 c o s ay A 21 c o s c o s bay B 21 s in s in bax B （ b） 例题 6-8 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 例题 6-9 求图中所示平面铰链缓冲机构的平衡位置 。 已知机构上部的载荷是 F ， 各杆的长度和弹簧的原长都是 l 。 弹簧的刚度系数是 k ， 不计机构的自重和摩擦 。 例 题 6-19 k F 例题 6-9 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 例题 6-9 第六章 虚位移原理 例题 6-9 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 解

59、 : 以底线作为重力势能的零点位置，以 弹簧原长作为弹簧势能的零点位置。取 为广义坐标，则系统的势能函数 2 2 c o s2 s in2 klFlV 而系统的平衡位置的势能应取极值，即有 0 c o s) s in 2 ( s inc o s c o s2 d d 2 2 kl F kl kllF V k F 例题 6-9 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 由此方程求得平衡位置的三个解 )2(2 ),2( a r c s in 或 klF 但从实际构造看，可能的平衡位置只有两个，即 2 )1 2 ( ) 2 ( a r c s in 或 当 kl F kl F k F 例题 6-9 6-6 广义坐标 广义坐标形式的虚位移原理 第六章 虚位移原理 片尾