《数学分析》第五章导数和微分

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1、5 微分微分一、问题的提出一、问题的提出实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且为为的的线线性性函函数数Ax .,很很小小时时可可忽忽略略当当的的高高阶阶无无穷穷小小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020

2、xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x.320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?二、微分的定义二、微分的定义定义定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可

3、微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的的线线性性主主部部叫叫做做函函数数增增量量微微分分ydy(微分的实质微分的实质)由定义知由定义知:;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy;)()2(高高阶阶无无穷穷小小是是比比 xxodyy ;,0)3(是是等等价价无无穷穷小小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有关有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA).(,)5(线性主部线性主部很小时很小时当当dyyx 三、

4、可微的条件三、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1)必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2)充分性充分性),()(0 xxxfy 从从而而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可可微微在在点点函函数数).

5、(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记记作作微微分分称称为为函函数数的的的的微微分分在在任任意意点点函函数数例例1 1解解.02.0,23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0.,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy四、微分的几何意义四、

6、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P.,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲线线段段切切线线段段的的附附近近在在点点很很小小时时当当 五、微分的求法五、微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(co

7、scos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxd

8、yxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不变性六、微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微微函函数数的的可可即即另另一一变变量量是是中中间间变变量量时时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()(,)(dxdtt .)(dxxfdy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy

9、)(例例4 4解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 .12,sin xuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1cost

10、dtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd 七、小结七、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可可微微可可导导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)

11、(),()(.100000它它是是无无穷穷小小实实际际上上的的定定义义域域是是它它的的线线性性函函数数是是而而微微分分处处的的导导数数是是一一个个定定数数在在点点函函数数Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx .0.)(,()()()(,)(,()()(,.200000000的的纵纵坐坐标标增增量量线线方方程程在在点点处处的的切切在在点点是是曲曲线线而而微微分分处处切切线线的的斜斜率率点点在在是是曲曲线线从从几几何何意意义义上上来来看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与

12、与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.一、一、填空题：填空题：1 1、已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的

13、线性全部是dy=0.8=0.8，那么，那么自变量自变量x的始值为的始值为_._.2 2、微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时，dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小.4 4、xdxd sin_.5 5、dxedx2_.6 6、xdxd3sec_2.7 7、xexy22,_22dxdedyx .8 8、_)2(arctan2 xeddxdex_.练练 习习 题题二二、求求下下列列函函数数的的微微分分：1 1、12 xxy；2 2、2)1ln(xy ；3 3、21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ；5 5、xeyx3cos3 ，求求3 xdy；6 6、求求由由方方程程22)cos(yxxy 所所确确定定的的 y微微分分.一、一、1 1、-2 2；2 2、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；、曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；3 3、高阶；、高阶；4 4、Cx cos1；5 5、Cex 221；6 6、Cx 3tan31；7 7、xex22,；8 8、xxxxeeee424222,222 .二、二、1 1、dxx232)1(；2 2、dxxx1)1ln(2 ；练习题答案练习题答案3 3、10,101,122xxdxxxdxdy；4 4、dxxx412；5 5、dx3；6 6、dxxy.