数形结合思想

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1、数形结合思想万金圣万金圣南莫中学南莫中学2006年高考辅导讲座年高考辅导讲座数形结合思想数形结合思想复习目标复习目标 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过来思索，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助数以形助数”或或“以数解形以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形数形结合在解题过程中应用十分广泛，巧妙运用数形结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，

2、可起到结合的数学思想方法来解决一些抽象数学问题，可起到事半功倍的效果。事半功倍的效果。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，在选择、填空中更显优越。填空中更显优越。数形结合思想应用数形结合思想应用（一）利用函数的图象性质解题（一）利用函数的图象性质解题（二）利用曲线方程的图象性质解题（二）利用曲线方程的图象性质解题（三）利用几何图形的性质解题（三）利用几何图形的性质解题一一.利用函数的图象性质解题利用函数的图象性质解题例例1 1:0 0.3 32

3、 2，l lo og g2 20 0.3 3和和2 20 0.3 3三三个个数数之之间间的的大大小小顺顺序序是是()(A)0.30.32 22 20.30.3 log log2 20.30.3 (B)0.30.32 2 log log2 20.30.32 20.30.3(C)l lo og g2 20 0.3 30 0.3 32 22 20 0.3 3 (D)l lo og g2 20 0.3 32 20 0.3 30且a 1)解的个数是（）2xxa(A)0 (B)1 (C)2 (D)随a值变化而变化分析：构造两个函数y=与y=-+2x+a 由两个函数交点个数求得方程解的个数xa2x（1）a

4、1时xyo（2）0a-1)y=kx(y0)y=kx(y=0)一一.利用函数的图象性质解题利用函数的图象性质解题k|k=4或或k0)y=(x+1)2,(x-1)显然当直线显然当直线y=kx(y0)介于切线介于切线于直线于直线y=kx(y=0)之间时，两线只之间时，两线只有一个交点。有一个交点。当直线处于切线位置时，当直线处于切线位置时，k=4（由上述方程组可得）（由上述方程组可得）所以，的取值范围为所以，的取值范围为k=4或或k0，解不等式f(x)1axxxf1)(2分析：要解不等式分析：要解不等式 1 即即 1+ax axx1212x12x12x进而转化为进而转化为y=与与y=1+ax两函两函

5、 数图象关系。只要数图象关系。只要求使求使y=1+ax图象在图象在y=上方的自变量上方的自变量x取值范围。取值范围。(二二)利用曲线方程的图象性质解题利用曲线方程的图象性质解题 2设函数设函数 ，其中其中 a 0解不等式解不等式f(x)1axxxf1)(2xyo 12xyy=ax+1当当a 1时，时，x0；当当0a 0 0)的的焦焦点点F F 的的弦弦A AB B 的的端端点点向向准准线线引引垂垂线线A AA A1 1,B BB B1 1(A A1 1,B B1 1是是垂垂足足).(三三)利用几何图形的性质解题利用几何图形的性质解题求求证证：A A1 1F FB B1 1F F；为为定定值值.

6、xyOx2=2pyB1EA1BFA4321(1)解：如图：解：如图：FBB1B连连A1F，B1F，由定义，由定义，1 2，3 4，FAA1AA B1800又又A18002 2B18002 4A B36002（2 4）1800 2 4900，A1FB1900A1FB1F +1|FA|1|FB|例例3 3从从过过抛抛物物线线x x2 2=2 2p py y(p p 0 0)的的焦焦点点F F 的的弦弦A AB B 的的端端点点向向准准线线引引垂垂线线A AA A1 1,B BB B1 1(A A1 1,B B1 1是是垂垂足足).(三三)利用几何图形的性质解题利用几何图形的性质解题xyOx2=2p

7、yB1EA1BFA求求证证：A A1 1F FB B1 1F F；为为定定值值.(2)解：设解：设A(2ph1,2ph12),B(2ph2,2ph22),(h10)则则|FA|2ph12+,P2|FB|2ph22+,P2P2AB过焦点过焦点F（0，）kAB=h2+h12ph22-2ph12 2ph2-2ph2直线直线AB方程为：方程为：y-2ph12=(h1+h2)(x-2ph1)-2ph12=(h2+h1)(0-2ph1)P2 +1|FA|1|FB|例例3 3从从过过抛抛物物线线x x2 2=2 2p py y(p p 0 0)的的焦焦点点F F 的的弦弦A AB B 的的端端点点向向准准线

8、线引引垂垂线线A AA A1 1,B BB B1 1(A A1 1,B B1 1是是垂垂足足).(三三)利用几何图形的性质解题利用几何图形的性质解题求求证证：A A1 1F FB B1 1F F；为为定定值值.整理得：整理得：h1h2=14 +=1|FA|1|FB|12ph12+p/2 12ph22+p/2+42(h22+h12)+1P16h12h22+4(h12+h22)+1=42(h12+h22)+1P4(h12+h22)+22p=xyOx2=2pyB1EA1BFA +是一定值是一定值 1|FA|1|FB|+1|FA|1|FB|4、集合、集合M=(x,y)|x=3cos,y=3sin,0

9、,N=(x,y)|y=x+b,若若MN=则则b满足满足 。分析：点集M表示的图形是半圆，点集N表示的图形为直线，它随b值变化位置不断变化。本题即转化为b取何值时，两图形没有公共点,由图形变化可得结论。xyoy=x+bb1b2故有：bb2或b3 或b-32问题：b取何值时，MN分别 有两个子集；四个子集。b3L1L2L3如图如图5、若 均为锐角，且满足:+=1 求证：tan tan tan 2cos222cos2cos分析分析：条件中的式子在什么图形中出现过？ABCDA1B1C1D1故有：故有：tan =tan =tan =acb22bca22cba22（长方体（长方体）bca=22tan ta

10、n tan =2222abcabacbcbca22cba22acb222222222)()(abcbacacb=课堂小结课堂小结（一）利用函数图象性质解题（一）利用函数图象性质解题（二）利用曲线方程图象的性质解题（二）利用曲线方程图象的性质解题（三）利用几何图形的性质解题（三）利用几何图形的性质解题本节主要讨论了利用数形结合思想来解决一些抽本节主要讨论了利用数形结合思想来解决一些抽象数学问题的题型和方法：象数学问题的题型和方法：数形结合的重点在于数形结合的重点在于“以形助数以形助数”，通过，通过“以形以形助数助数”使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。起到优化解题途径的目的。