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1、 章末复习总结 万有引力与航天问题中常用的模型有如下几种：一、“椭圆轨道”模型 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨道的一个焦点上 由于受数学知识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性【例1】天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是8.91010 m，但它离太阳的最远距离不能测出试根据开普勒定律计算这个最远距离已知太阳系的开普勒常量k3.3541018 m3/s2.答案：5.2241012 m 二、“中心天体圆周轨道”模型 指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另一个天体(环绕天体)以它为圆心做匀
2、速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有引力作用 式中M为中心天体的质量，m为环绕天体的质量，an、v、和T分别表示环绕天体做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期根据问题的特点条件，灵活选用相应的公式进行分析求解 此类模型所能求出的物理量也是最多的(1)对中心天体而言，可求量有两个：【例2】我国第一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”于2007年10月24日成功发射如图1所示，“嫦娥一号”进入地月转移轨道段后，关闭发动机，在万有引力作用下，“嫦娥一号”通过P点时的运动速度最小“嫦娥一号”到达月球附近后进入环月轨道段若地球质量为M，月球质量为m，地心与月心距离为R，卫星绕月球运动的轨道半径为r，G
3、为万有引力常量，则下列说法正确的是()答案：答案：BC 三、“同步卫星”模型 地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全球通信和转播电视信号 同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天体环绕天体”模型同步卫星具有四个一定：定轨道平面：轨道平面与赤道平面共面；定运行周期：与地球的自转周期相同，即T24 h；一颗同步卫星可以覆盖地球大约40%的面积，若在此轨道上均匀分布3颗通信卫星，即可实现全球通信(两极有部分盲区)为了卫星之间不相互干扰，相邻两颗卫星对地心的张角不能小于3，这样地球的同步轨道上至多能有120颗通信卫星，可见，空间位置也是一种资源【例3】某颗
4、地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射 解析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有 春分时，太阳光直射地球赤道，如图2所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向)，其正下方的观察者将看不见它，据此再考虑到对称性，有 四、“天体相遇”模型 两天体(行星、卫星或探
5、测器)相遇，实际上是指两天体相距最近若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧时相距最近两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的异侧时则相距最远 设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2的整数倍，则两卫星又相距最近，即1t2t2n(n1,2,3，)；如果经过时间t，两卫星与地心连线半径转过的角度相差的奇数倍，则两卫星相距最远，即 1t2t(2n1).(n1,2,3，)【例4】如图3所示，A是地球的同步卫星另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球
6、自转角速度为0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心(1)求卫星B的运行周期；(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？对一些未知天体，通过测量一些数据并应用万有引力定律的计算，可以发现和预测未知天体的一些物理量 六、“星体自转不解体”模型 指星球表面上的物体随星球自转而绕自转轴(某点)做匀速圆周运动，其特点为：具有与星球自转相同的角速度和周期；万有引力除提供物体做匀速圆周运动所需的向心力外，还要产生重力 因此，它既不同于星球表面附近的卫星环绕星球做匀速圆周运动(二者轨道半径虽然相同，但周期不同)，
7、也不同于同步卫星的运转(二者周期虽相同，但轨道半径不同)这三种情况又极易混淆，同学们应弄清【例6】如果一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：他先利用手表，记下一昼夜的时间T；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力，发现在赤道上的重力仅为两极的90%.试写出星球平均密度的估算式 解析：设星球的质量为M，半径为R，平均密度为，砝码的质量为m.砝码在赤道上失重：190%10%，表明砝码在赤道上随星球自转做圆周运动的向心力为 七、“双星”模型 对于双星问题要注意：两星球所需的向心力由两星球间万有引力提供，两星球圆周运动向心力大小相等；两星球绕两星球间连线上的某点(转动中心)做圆周运动
8、的角速度或周期T的大小相等；两星球绕转的半径r1、r2的和等于两星球间的距离L，即r1r2L.说明万有引力公式和向心力公式中都有r这个物理量，但它们的含义不同：万有引力定律中的r是指两物体间的距离，而向心力公式中的r则指的是圆周运动的半径一般情况下，它们二者是相等的，如月球绕地球的运动，但在此双星问题中则根本不同：万有引力定律中的rL，而向心力公式中的r则分别为r1和r2，它们的关系是r1r2L.【例7】在天文学上把两个相距较近，由于彼此的引力作用而沿轨道互相绕转的恒星系统称为双星已知两颗恒星质量分别为m1、m2，两星之间的距离为L，两星分别绕共同的中心做匀速圆周运动，求各个恒星的运转半径和角
9、速度 解析：两恒星构成的系统能保持距离L不变，则两恒星转动的角速度(周期)相同，设它们的角速度为，半径分别为r1、r2，则r1r2L.它们间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，则答案：答案：见解析见解析 八、“卫星变轨”模型 解答这一模型的有关问题，可根据圆周运动的向心力供求平衡关系进行分析求解：若F供 F求，供求平衡物体做匀速圆周运动；若F供F求，供过于求物体做向心运动【例8】2006年2月10日，面向社会征集的月球探测工程标志最终确定上海设计师作品“月亮之上”最终当选我国的探月计划分为“绕”“落”“回”三阶段第一阶段“绕”的任务由我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”来承担发射后，“嫦娥一
10、号”探测卫星将用8天至9天的时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段的飞行其中，假设地月转移轨道阶段可以简化为：绕地球做匀速圆周运动的卫星，在适当的位置点火加速，进入近地点在地球表面附近、远地点在月球表面附近的椭圆轨道运行，如图5所示若要此时的“嫦娥一号”进入环月轨道，则必须 ()A在近地点P启动火箭向运动的反方向喷气 B在近月点(远地点)Q启动火箭向运动的反方向喷气 C在近月点(远地点)Q启动火箭向运动方向喷气 D在近地点P启动火箭向运动方向喷气 解析：要使月球探测卫星在地球椭圆轨道上变轨绕月球运行，则必须在近月点Q处点火减速，即启动火箭向运动的方向喷气使探测器减速，使月球对探测卫星的
11、引力大于做圆周运动所需的向心力而做向心的变轨运动，正确答案为选项C.答案：C 九、“航天器对接”模型 航天器对接是指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机、空间站等)在太空轨道会合并连接成一个整体它是实现太空装配、补给、维修、航天员交换等过程的先决条件空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接，所谓交会是指两个航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体 解答两个航天器的交会对接问题，其实质仍然是航天器的变轨运行问题，即根据圆周运动的向心力“供”和“求”关系进行分析【例9】如图6所示，m1、m2为两颗一前一后在同一轨道绕地球做匀速圆周运动的
12、卫星，试述用何种方法可使卫星m2追上前面的卫星m1?解析：m2不能像在地面上行驶的汽车一样加大速度去追赶m1，而应先通过反向制动火箭把速度变小，这样万有引力就大于m2做匀速圆周运动所需要的向心力，从而轨道半径变小，在较低轨道上做匀速圆周运动，由于在较低轨道上m2的运行速率要大些，大于m1的运行速率，就会慢慢赶上前上方的m1，再在恰当位置m2通过助推火箭把速度变大，这时万有引力又小于所需要的向心力，m2将做离心运动，轨道半径将变大到与m1相同，这时m2就追上了m1.答案：见解析 十、“能量守恒”模型 在发射人造卫星(或探测器、太空飞船)过程中，火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射动能(速度)就越大利用功能关系或能量守恒可计算出发射人造卫星而运转于某圆轨道所需要的能量【例10】设想宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，由月球表面乘坐返回舱返回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图7所示，为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须 面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响，则宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？
曲线运动万有引力与航天末复习总结课件
