2.2.1命题与证明

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1、命题与证明命题与证明本章内容第第2章章命命 题题本课内容本节内容2.2.1 引入三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角三角形的外角.我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形三角形.结论结论 像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的明确规定的语句叫做这个概念的定义定义.说一说说一说把数与表示数的字母用运把数与表示数的字母用运算符号连接而

2、成的式子叫算符号连接而成的式子叫作代数式作代数式.你能说说你能说说“代数式代数式”的定义吗？的定义吗？请根据代数式的定义判断下列式子是不是代数式请根据代数式的定义判断下列式子是不是代数式.26xa31yx(1)(2)0 xx是是是是不是不是不是不是做一做做一做注意：注意：定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征定义必须能清楚地规定出概念最本质的特征.你能说出下列概念的定义吗？你能说出下列概念的定义吗？方程：方程：三角形的三角形的角平分线：角平分线：在三角形中，在三角形中，一个角的平分线与这个一个角的平分线与这个角的对边相交，角的对边相交，这个角的顶点与交点这个角的顶点与交点之间的线段之间的线段叫

3、作三角形的角平分线叫作三角形的角平分线.含有未知数的等式含有未知数的等式叫做方程叫做方程说一说说一说（1）三角形的内角和等于180；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？下列语句中哪些对事情做出了判断？下列语句中哪些对事情做出了判断？说一说说一说结论结论 一般地，一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作叫作命题命题.如上述语句中，（如上述语句中，（1），（），（2），（），（3）都是命题，）都是命题，（4），（），（5）就不是命题）就不是命题.下列命题的叙述方式有什么共同

4、点？下列命题的叙述方式有什么共同点？1.如果如果a=b且且b=c，那么，那么a=c2.如果两个角的和等于如果两个角的和等于9090，那么这两个角互为那么这两个角互为余角余角 它们的叙述方式都是它们的叙述方式都是“如果如果，那么，那么”观察观察结论结论 在在“如果如果，那么，那么”形式的命题中，形式的命题中，“如果如果”连连结结的部分是的部分是条件条件，“那么那么”连连结结的部分是的部分是结论结论 有的命题表面上看不具有有的命题表面上看不具有“如果如果，那么，那么”的形式，但是可以写成这种形式的形式，但是可以写成这种形式.例例 找出命题的条件和结论，并改写成找出命题的条件和结论，并改写成“如果如

5、果,那么那么”的的形式：形式：举举例例同角的余角相等同角的余角相等.如果如果两个角是同一个角的余角，两个角是同一个角的余角，那么那么这两个角相等这两个角相等改写：改写：条件条件：两个角是同一个角的余角，：两个角是同一个角的余角，结论结论：这两个角相等：这两个角相等练习练习1.下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果如果ab，bc，那么那么ac；（3）能被能被2 2整除的数是偶数整除的数是偶数.(1)条件：两个角相等；结论：它们是对顶角.(2)条件:ab，bc，结论:ac.(3)改写：如果一个数能被2整除，那么这个数是

6、偶数.条件：一个数能被2整除，结论：这个数是偶数.在上述命题中，命题在上述命题中，命题(2)的条件和结论分别是命的条件和结论分别是命题题(1)的结论和条件，这样的两个命题称为的结论和条件，这样的两个命题称为互逆命题互逆命题，其中的一个叫作其中的一个叫作原命题原命题，另一个叫另一个叫逆命题逆命题.上述命上述命题（题（1）和（）和（2）就是）就是互逆命题互逆命题.（1 1）同位角相等，两直线平行；）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同位角相等）两直线平行，同位角相等结论结论 下列命题哪些正确？哪些错误？下列命题哪些正确？哪些错误？说一说说一说（1），（），（2）（）（3）是错的是错的，（4

7、）是正确的是正确的.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.结论结论 我们把正确的命题称为我们把正确的命题称为真命题真命题，把错误的命题称为把错误的命题称为假命题假命题判断下列命题是真命题还是假命题判断下列命题是真命题还是假命题(1)相等的角是对顶角相等的角是对顶角(2)内错角相等内错角相等(3)大于大于90度的角是平角度的角是平角(4)如果如果ab，bc，那么，那么ac真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题举举例例1、同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行.2、如果两个角都是直角，那么这两个角相等如果两个角都是

8、直角，那么这两个角相等.逆命题：两直线平行，同旁内角互补逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假假3、如果一个整数的个位数字是如果一个整数的个位数字是5 5，那么这个整数能被，那么这个整数能被5 5整除整除.逆命题：如果一个整数能被逆命题：如果一个整数能被5 5整除，那么这个整数的整除，那么这个整数的 个位数字是个位数字是5.5.假假说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题题还是假命题.练习练习结论结论 像此例的第像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件

9、出发，题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理通过讲道理(推理推理)，得出它的结论成立，从而判断该，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作命题为真，这个过程叫作证明证明.像此例的第像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作命题为假，这个过程叫作举反例举反例.（1）如果如果a是整数，那么是整数，那么a是有理数；是有理数；解解 如果如果a是整数，是整数，根据有理数的定义：根据有理数的定义：“整整数和分数统称为有理数数和分数统称为有理数”，得出得

10、出a是实数是实数.因此命题因此命题(1)为真为真（2）如果）如果a是有理数，那么是有理数，那么a是整数是整数解解 0.50.5是有理数，是有理数，因此命题因此命题(2)为假为假但是但是0.50.5不是整数不是整数.判断下列命题为真命题是根据什么呢？判断下列命题为真命题是根据什么呢？说一说说一说 是分别根据有理数、是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定等腰（等边）三角形的定义作出的判断义作出的判断 （1）如果）如果a是整数，那么是整数，那么a是有理数；是有理数；（2）如果）如果三角形三角形ABCD是是等边三角等边三角形，那么它是形，那么它是等腰等腰三角形三角形 从上面的例子看到，在判断一个命题

11、是否为真命题从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？去判断命题的真假呢？动脑筋动脑筋结论结论数学中有些命题的正确性是数学中有些命题的正确性是人们在长期人们在长期实实践中总结践中总结出来的，并把它们作为判断其他出来的，并把它们作为判断其他命题真假的

12、原始依据，这样的命题真假的原始依据，这样的有些命题可以从公理或其他真命题出发，有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的的依据，这样的定理。定理。古希腊数学家古希腊数学家欧几里得欧几里得(Euclid，约公元前约公元前330前前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为作

13、为证明的原始依据，称这些真命题为公理公理.欧几里得欧几里得结论结论小知识小知识 欧几里得按照这种方法欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法现在称为公理化方法)编写编写了一本书，书名叫了一本书，书名叫原本原本.全书共分全书共分13卷，包括有卷，包括有5条条公理，公理，5条公设，条公设，119个定义和个定义和465条命题，构成了历史条命题，构成了历史上第一个数学公理体系上第一个数学公理体系（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不近代数学对此不再区分，都称

14、为公理再区分，都称为公理.).)举例：举例：1 本书中常用的基本事实：本书中常用的基本事实：过两点有且只有一条直线过两点有且只有一条直线.（2 2）两点之间，线段最短两点之间，线段最短.（1 1）（3 3）经过直线外一点，有且只有一条直线经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行与已知直线平行.举例：举例：2.2.定理：定理：同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等.（2 2）余角的性质：）余角的性质：同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等.（4 4）垂线的性质：）垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1 1）补角的性质：）补角的性质：

15、（3 3）对顶角的性质：）对顶角的性质：对顶角相等对顶角相等垂线段最短垂线段最短.内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行.（5 5）平行线的判定定理：）平行线的判定定理：定理也可以作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.结论结论 例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”举举例例平行线的性质定理平行线的性质定理 两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线 平行，那么同位角相等平行，那么同位角相等动脑筋动脑筋平行线的基本事实平行线的基本事实 两条直线被

16、第三条直线所截，如果同位角相等，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行那么这两条直线平行上述这两个定理是不是上述这两个定理是不是互逆互逆的的命题？命题？1212结论结论 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理.例如，例如，平行线的基本事实平行线的基本事实是是平行线的性质定理平行线的性质定理的的逆定理逆定理下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来 两条直线被第三条直线所截，如果这两直线两条直线被第三条直线所截，如果

17、这两直线 平行，那么内错角相等；平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；那么这两条直线平行；练习练习小结与复习小结与复习理解什么叫理解什么叫“定义定义”？小结与复习小结与复习 1.命题都是由条件和结论两部分组成命题都是由条件和结论两部分组成证明证明 3.说明一个命题是真命题的方法：说明一个命题是真命题的方法：举反例举反例 2.说明一个命题是假命题的方法：说明一个命题是假命题的方法：结论结论“如果如果那么那么”条件条件中考中考 试题试题 题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；所以它是错的；解解下列四个命题中是真命题的有下列四个命题中是真命题的有（）.同位角相等；同位角相等；相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；直角三角形两直角三角形两锐角互余；锐角互余；三个内角相等的三角形是等边三角形三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个C 题相等的角并不一定是对顶角；题相等的角并不一定是对顶角；题正确；题正确；题正确题正确.结结 束束